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1、1,11.7矩阵的特征值化矩阵为对角形矩阵,特征值与特征向量,化矩阵为对角形,2,工程中的一些问题，如振动问题和稳定性问题，常可归结为求一个方阵的特征值和特征向量的问题；而数学中诸如方阵的对角化，求线性变换的不变元素等问题也需要特征值和特征向量的概念,而矩阵的对角化涉及到如何把一个二次型化成对角形，进一步化成标准形的问题，解析几何中的提法是：对二次曲线和二次曲面的一般方程通过一个坐标变换化成标准方程,3,说明,一、特征值与特征向量,而且若x是特征向量，则乘以非零常数后仍是,4,按代数基本定理，知对n阶方阵恰有n个特征值（重根按重数计）特征值有时也叫特征根,5,4.由特征多项式的定义可知：,则有
2、,这两条性质都是将一元高次方程的根与系数的关系（即韦达定理）用于特征方程可证的，此处从略,5.相似的矩阵具有相同的特征多项式，从而有相同的特征值,按相似矩阵的定义，若矩阵与矩阵相似，则存在可逆矩阵，使,这是特征多项式的常数项,6,因此,既然相似矩阵有相同的特征多项式，故有,我们再次说明了相似矩阵有相同的迹,下面我们谈一下特征值和特征向量的求法,7,解,矩阵的特征多项式,故的特征值为,特征向量是满足,的非零向量,解得一组非零解,得方程组,8,例,解,得,9,解得一个特征向量,由这两个例子可以看到，求解矩阵的特征问题是与解方程紧密联系的,我们以几个常见的简单结论暂时将特征问题告一段落,）若p是矩阵
3、的特征向量，则kp也是,）属于不同特征值的特征向量是线性无关的,10,二、矩阵的对角化,本段要讨论的问题是如何把一个矩阵对角化,由相似矩阵知，与相似是指存在可逆矩阵，使,或说对矩阵进行相似变换变成,特别地，我们要讨论的是如何把矩阵经相似变换变为对角矩阵，因为对角矩阵是最简单的矩阵,下面的定理指出了n阶矩阵可对角化的条件及方法,定理,n阶方阵与对角阵相似的充分必要条件是有n个线性无关的特征向量,的n个线性无关的特征向量,11,证明,先证必要性,假设可对角化，即存在可逆阵,使,（对角阵）,由于可逆，故其n个列向量线性无关，下面只要说明它们是的特征向量即可,比较可得,由特征值和特征向量的定义，,是的
4、特征值和特征向量,12,再证充分性,假设有n个线性无关的特征向量,即有,作矩阵,则,即,所以，矩阵可对角化,证完,定理的一个直接推论是：若有互不相同的特征值，则必可对角化,13,定理不仅指出一个矩阵可对角化的条件，而且直接指出了求相似变换的方法即求出的n个线性无关的特征向量，因此对角化问题与特征值问题紧紧连在一起,例,解,例中我们已经求得了的两个线性无关的特征向量,令,则,实际上最后一步的计算纯属多余，您知道为什么吗？,14,下面介绍对矩阵的对角化问题为此，先给出几个要用到的性质,性质,是阵，是矩阵，则,是阵,是阵，是矩阵，故,性质,矩阵的特征值是实数,设是矩阵A的特征值，则有非零向量x，使,
5、一方面,另一方面,所以是实数,15,性质,矩阵的属于两个不等特征值的特征向量必正交,设为矩阵，则,又是的两个不相等,的特征值，是相应的特征列向量,我们要说明这两个向量垂直,由于,则,从而,但,故正交,16,定理,设为矩阵，则必存在可逆的矩阵，使,其中为的特征值为对角线元素的的对角阵,此定理证明较长，我们此处略去,下面我们指出把一个矩阵对角化的具体方法,2.,1.,写出矩阵，从而可把矩阵对角化,17,由于对称矩阵是实的矩阵，故上述关于阵的性质对对称矩阵来说，都成立而对称矩阵是实际问题中最常用的,特别地，对称矩阵可经特殊的变换正交变换化为对角矩阵,下面看一例,例 对下列实对称矩阵，求出正交矩阵，使 为对角阵.,18,解,(1)第一步 求 的特征值,解得,19,第三步 将特征向量正交化,解得,解得,由于是属于的三个不同特征值的特征向量，故它们必两两正交,20,第四步 将特征向量单位化,令,得,作,则是正交矩阵，,且,由此例看到，把一个矩阵对角化的计算量是较大的,21,线性代数介绍到此,
