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1、1,第4章 稳态与瞬态性能分析,在定性判断系统稳定性及能控能观性后,本章将详细介绍系统分析的另一重要内容,即如何定量确定系统的稳、准、快性能指标,同时分析各项指标与系统结构参数间的关系,以便寻求改善系统性能使其满足指标的途径。,2,4.1 性能指标,对于系统的稳、准、快性能要求,经典控制理论是按时域、频域及瞬态、稳态来给出相应的性能指标的,现代控制理论则是以时域积分性能指标形式给出的。由于各性能指标都取决于系统的结构参数,因而瞬态指标与稳态指标密切相关,时域指标与频域指标可相互转换,对低阶系统这种转换可用确定的解析式来表达。,3,4.1.1 稳态性能指标系统的稳态性能指标只有一个:稳态误差。见
2、图4.1.1,只要系统稳定,在经过一段瞬态过程后,输出就会进入一个与初始状态无关而由输入确定的稳态。在进入这个稳态之前,无论受不受干扰,系统实际输出 Xo(s)与期望输出Xor(s)之间总存在着瞬态过程偏差:,4,5,6,7,8,4.1.2 瞬态性能指标控制系统除了要满足一定的稳态精度(准)要求外,对其响应过程还要满足一定的稳定程度(稳)和响应速度(快)的要求,它们均由瞬态性能指标来表征,分为时域和频域两类。(1)时域瞬态指标由于很多高阶系统可以通过闭环主导极点简化为二阶系统,而单位阶跃输入又是对系统瞬态性能的严峻考验,所以工程上常用二阶系统的单位阶跃响应来定义系统的瞬态指标,如图4.1.4
3、所示。,9,图中表征响应速度的有:1)调节时间(过渡过程时间)ts 响应曲线进入稳态区域且不再超出这个区域所经历的时间。稳态区域指稳态值的误差为 5%的范围(有时取2%)。2)上升时间 tr 响应曲线从 0 时刻开始,首次达到稳态值所需的时间(有的取首次从稳态值的 10%上升到 90%所需的时间)。3)峰值时间 tp 响应曲线第一次达到峰值的时间。4)延迟时间 t d 响应曲线首次达到稳态值的一半所需的时间。,10,11,12,5)超调量 Mp%响应曲线第一次超过稳态值到达峰值时,超过部分的幅度与稳态值之比式中 xo(tp)表示响应峰值;xo()表示响应稳态值,图4.1.4 作了归一化处理,x
4、o()=1。6)振荡次数 N 响应曲线在过渡过程时间 ts内的振荡次数,上下各穿越一次稳态区域记为1 次振荡。单向穿越一次稳态区域记为半次振荡。,13,有关说明:有的系统响应曲线在进入了稳态区域后,以极缓慢的速度趋向稳态值(有时有反复振荡),如图4.1.5 所示,这种现象称做爬行。工程上一般要求系统运动不出现爬行,在设计和控制过程中应尽量避免爬行,但目前还未形成一个定量的指标。工程上并不要求一个控制系统要满足所有的瞬态指标,而是根据实际情况选择其主要指标。一则是因为各性能指标之间是有联系的,二则是因为稳、准、快三方面往往是相互矛盾的,如果要面面俱到则难免顾此失彼。目前我国工程界多采用超调量 M
5、p%和过渡过程时间ts这两项作为主要瞬态指标。显然两者均以小为优,通常认为,14,(2)频域瞬态指标1)开环频域指标 幅值穿越频率 c它是表征响应速度的指标。根据傅立叶变换性质可知,频域扩展()对应于时域收缩(t 0)。因此幅值穿越频率 c 越大,系统响应速度越快,反之越慢。幅值裕量 Kg、相位裕量 它是表征稳定程度的指标,见图4.1.6 和。由 Nyquist判据可知,最小相位系统的GK(j)曲线越靠近(-1、j0)点稳定程度越差,为了具有足够的稳定程度,GK(j)曲线不能太靠近(-1、j0)点,即在幅值和相位上都留出一定的裕量。,15,16,17,幅值裕量 Kg 在相位穿越频率 g 处开环
6、幅频特性 G(j)H(j)的倒数称为幅值裕量或增益裕量:Kg=1 或Kg=0 dB时,G(j)H(j)曲线正好过(-1、j0)点,系统临界稳定。Kg 1或Kg 0 dB时,系统具有正幅值裕量。对于最小相位系统,正幅值裕量表示系统稳定,其幅值还可以扩大 Kg倍或上移 KgdB 才从稳定变为临界稳定。,18,相位裕量 在幅值穿越频率 c 处,使开环幅频特性的相位为-180需要附加的相位角,称为相位裕量:如 G(jc)H(jc)的滞后正好为180,则=0,此时系统临界稳定。,19,2)闭环频域指标 单位反馈系统,闭环频率特性为,20,零频带宽 m它是表征稳态精度指标,指 M(0)1 的带宽,该频带宽
7、度越宽,稳态精度越高。闭环截止频率 b它是表征响应速度的指标,是指系统闭环幅值下降到0.707 或 3 dB 时对应的频率。频率范围0 b称为系统频带宽度,简称频宽或带宽。截止频率b越大,带宽越宽,系统响应速度越快(不过滤波性能变差,高频噪声进入系统,抗干扰能力下降)。闭环谐振峰值 Mr它是表征稳定程度的指标,Mr=M(r),r为闭环谐振频率,此频率下闭环幅频值最大。显然,Mr越大,稳定程度越差。,21,3)关于稳定性指标的说明 如前所述,最小相位系统具有正幅值裕量和正相位裕量时稳定。但对非最小相位系统,则须具有负的幅值裕量时才稳定,至于相位裕量的正负要具体确定。在频域的三个稳定性指标中,谐振
8、峰值 Mr包含的信息比幅值裕量Kg和相位裕量 要多,一般来说,Mr小的稳定程度一定高,而 大的却不一定。因此,为了保证系统具有足够的稳定性,必须同时要求 Kg和,只要求它们当中的一个是不行的,这一点应特别注意。,22,23,根据 2.6.2 节,最小相位系统的幅频与相频都存在如下确定的对应关系:-20dB/dec-90;-40dB/dec-180;-60dB/dec-270。为使闭环系统满意地工作,一般要求它相当于其开环系统同时满足如下两个要求,24,25,4.1.3 积分性能指标靠单个时域指标 Mp、ts、tp来设计复杂系统往往有困难,因而提出用误差积分性能指标 J来综合表示系统的稳、准、快
9、性能。它着眼于误差 e(t)所发生的过程,设计时应使 J 值最小。在控制理论中常用如下5 种误差积分性能指标,又称为误差积分准则。1)误差绝对值积分(IAE)准则2)误差平方积分(ISE)准则,26,27,3)时间乘误差绝对值积分(ITAE)准则4)时间乘误差平方积分(ITSE)准则5)二次型积分准则,28,29,30,4.2.1 输入作用下的稳态误差 一般表达式 由式(4.1.3)得根据拉氏变换的终值定理,4.2 稳态误差,31,(1)单位阶跃输入下的稳态位置误差在单位阶跃输入下的稳态误差,称为位置误差,记为 esp。这里的“位置”不单指机械位置,而是指系统输出的物理量本身,它可以是温度、流
10、量、压力、浓度、转速等等,这些输出物理量统称为位置量。将 Xi(s)=1/s 代入式(4.2.2)得,32,33,(2)单位斜坡输入下的稳态速度误差在单位斜坡输入下的稳态误差,称为速度误差,记为esv。这里的“速度”是指输出位置量的变化,统称为速度量。,34,35,式中 Kv 称为稳态速度误差系数,36,37,(3)单位加速度输入下的稳态加速度误差在单位加速度输入下的稳态误差,称为加速度误差,记为es a。这里“加速度”是指速度量的变化,统称加速度量。将 Xi(s)=1/s3代入式(4.2.2)得,38,39,40,41,4.2.2 扰动作用下的稳态偏差及误差(1)一般表达式设输入信号 Xi(
11、s)=0,系统只受扰动N(s)作用,见图。,42,43,(2)扰动稳态误差 es N 与系统结构的关系设反馈传递函数,44,45,系统对扰动的稳态误差只与扰动作用下图4.2.5 所示的反馈通道 G1(s)和 H(s)的积分环节数有关,在H(s)=kf时只与 G1(s)的积分环节数q有关。,46,在不附加校正环节时,要消除扰动误差,必须使 G1(s)积分环节数 q=m(m=1 为阶跃扰动,m=2 为斜坡扰动,m=3为加速度扰动),如果 q 0)也有稳态误差。,47,4.2.3 输入和扰动共同作用下的稳态误差根据叠加原理得:例 4.1 计算图 4.2.6 所示系统在 xi(t)=2 t、n(t)=
12、-1 作用下的稳态误差。,48,解 按末 1 化写出开环传递函数,49,系统型号=1,开环增益 K=5,按表4.1,输入稳态速度误差 esv=2(1/K)=0.4。q=0,=1,m=1,k1=10,kf=1,按表4.2,扰动稳态误差esN=-1(-1/k1kf)=0.1。总稳态误差 ess=esv+esN=0.4+0.1=0.5。,50,4.2.4 改善系统稳态性能的途径单纯增大开环放大倍数或串入积分环节虽可改善稳态误差,但使系统稳定程度变差,不能同时满足稳态误差小、动态性能好的要求。因此工程上常常采用校正办法来解决稳态精度与稳定程度的矛盾,比如滞后校正、比例+积分(PI)校正、比例+积分+微
13、分(PID)校正以及复合校正等。前三种校正方法见第 6 章介绍,这里介绍两种复合校正输入补偿和扰动补偿。,51,(1)输入前馈补偿在输入端引入一个前馈补偿器,如图 4.2.7 上图所示(下图为等效图)。在第 1 章对图1.3.2 已进行过定性解释,这里将要具体确定出补偿器 Gr(s)的表达式。根据叠加原理,系统输出为,52,53,(2)扰动前馈补偿当扰动可以被观测时,则可利用扰动信息进行补偿,如图 4.2.8 所示。在第1 章对图1.3.3 进行过定性解释,现在来确定 Gn(s)的表达式,它应当使扰动 n(t)对输出 xo(t)没有影响,或称xo(t)对n(t)具有不变性。对扰动的闭环传递函数
14、为,54,很多工程系统可用典型形式的一阶惯性环节来描述,称为一阶系统,方块图见图 4.3.1,其数学模型和响应曲线见第 2 章式(2.6.13)(2.6.15)和图 2.6.13。本节详细讨论一阶系统的响应特征及性能指标。4.3.1 时域响应性能单位脉冲响应,4.3 一阶系统,55,56,57,根据以上三式可得出表 4.3 的数据及图 4.3.2 所示的响应曲线。,58,59,可见,一阶系统的时间响应具有如下特征:1)无论衰减或上升,过渡过程总是单调指数曲线,不振荡,无峰值。2)经过 3 T 4T 时间,响应曲线已达到稳态值的 95%98%,可认为过渡过程已基本结束而进入稳态(由此关系可确定出
15、时间常数 T)。3)经过时间 T,图(a)脉冲响应曲线衰减到稳态值的 367%;图(b)阶跃响应曲线上升到稳态值的 632%(由此关系也可确定出时间常数 T)。4)一阶系统的开环传递函数是 I 型的,故对阶跃输入无误差,对斜坡输入有恒值误差 es p=1/K=T。,60,5)输入间存在如下关系时单位脉冲输入=ddt单位阶跃输入,单位阶跃输入=ddt单位斜坡输入,61,6)将lg1-xo(t)作为纵坐标,时间t为横坐标,可得图。将实验获得的单位阶跃响应数据 xo(kT),绘制在1-xo(t)半对数坐标纸上,如果得出的是一条斜向下的直线,则可确定出该系统为一阶系统。,62,4.3.2 频域响应性能
16、由图 4.3.1 可见,一阶系统的开环是一个积分环节 K/s,其增益为 K=1/T,Bode 图如图4.3.3 所示。因相位穿越频率 g,相位固定滞后 90。,63,4.3.3 性能指标综上得到一阶系统的时域和频域性能指标如下:稳定性指标:超调量,64,65,4.3.4 改善一阶系统性能的途径一阶系统惟一的结构参数是时间常数 T,故改变时间常数 T 是改善一阶系统性能的惟一途径。减小 T,系统快速性变好,准确性也变好,而稳定性并不改变。,66,可用典型振荡环节形式来描述的系统,称为二阶系统,也是工程中最常见的一类系统,其方块 图见图 4.4.1,数学模型和响应曲线 见第 2 章式(2.6.21
17、)(2.6.24)和图 2.6.18。本节详细讨论二阶系统。,4.4 二阶系统,67,68,69,4.4.1 时域响应性能(1)单位阶跃响应0 1 时,70,71,由以上各式得到不同阻尼比 的响应曲线如图 4.4.3 所示。可见,二阶系统单位阶跃响应的过渡过程具有如下特征:1)在无阻尼时,系统将以 n 为角频率作自由振荡。2)在欠阻尼时,系统以 d 为角频率作衰减振荡,振荡程度随 值的增大而减弱。3)在临界阻尼和过阻尼时,系统不再振荡,类似于一阶系统。4)过渡过程快慢取决于包络线的指数=n。,72,(2)单位脉冲响应由式(4.3.4),将以上各式求导可得,73,74,75,(3)单位斜坡响应按
18、部分分式法可得,76,4.4.2 时域性能指标瞬态性能指标以欠阻尼时的单位阶跃响应式(4.4.7)来定义,稳态性能指标则以欠阻尼时的单位斜坡响应式(4.4.16)来定义。(1)上升时间令 xo(t)=1 得 sin(d tr+)=0,即 d tr+=n,n=0,1,2,。再令 n=1 得,77,78,(2)峰值时间令 dxo(t)/d t=0 得 d t p=n,n=0,1,2,。再令 n=1 得(3)超调量将式(4.4.19)代入 Mp=xo(tp)-1 中得,79,(4)调节时间(5)稳态误差,80,例 4.3 一个重量为 87kg 的运动员向上跳起抓住悬挂在天花板上的刚性杆(忽略杆的质量
19、),如图 4.4.6 所示,悬挂装置可简化为弹簧-阻尼装置,与人一起组成一个二阶系统。设粘性阻尼系数 c=350Ns/m,弹簧刚度 k=3 500N/m。试问:运动员抓住杆后,杆发生什么运动?该运动用多少时间可以稳定下来?稳定位置比原平衡位置下落多少?稳定过程中最大超调量多大?,81,82,83,84,4.4.3 频域响应及性能指标(1)开环频率响应由图 4.4.1 可知,二阶系统的开环传递函数,85,86,开环频率特性为幅频和相频为1)幅值穿越频率,87,2)相位裕量根据定义得3)幅值裕量因相位穿越频率 g=,故有,88,(2)闭环频率响应二阶系统频域响应特征已在 2.6 节典型环节中介绍过
20、,现将图 2.6.20 详示于图。在 0707 时不出现谐振,0.5 时要出现明显的谐振,谐振频率 r也越接近于固有频率 n。现将式(2.6.27)、(2.6.28)重列于下:在 0 0.707时:,89,3)截止频率,90,91,92,4.4.4 时域指标与频域指标的关系二阶系统时域指标与频域指标之间可以互相表达,获得其中一种指标就可以计算出另一种指标。它们的关系式为,93,4.4.5 改善二阶系统性能的途径二阶系统的性能指标都与 n和 有关,要改善二阶系统的性能,必须要改变系统的 n和。但系统中可直接调整的参数一般只有开环增益K=K1K2中的 K1部分,见图4.4.11,至于 K2和时间常
21、数T的调整,通常要改变系统结构才行。因此改善二阶系统的性能有两条途径:一是调整 K1来改变 K,二是采用校正的办法来改变 K和 T。,94,(1)调整开环增益 KK 与 n 和 的关系可由式(4.4.25)和(4.4.26)导出:1)K对稳态精度的影响因为二阶系统是型系统,esv=1/Kv=1/K,所以扩大K可以减小稳态误差,K扩大的倍数就是误差减少的倍数。2)K对响应速度的影响 在 K 1 时,由式(4.4.34)和(4.4.29)可近似得,95,96,3)K对稳定性的影响 扩大K减小了阻尼比,故超调量Mr、谐振峰值 Mp都会增大,见图。此外相位裕量 会减小,但不会改变幅值裕量 Kg(仍趋于
22、)。,97,(2)速度负反馈见图 4.4.14,在原单位反馈通道上接入传递函数为 Kd s 的检测装置,即增加一个输出的速度信号进行反馈。消去内环,可得校正后单位反馈下的开环传递函数为,98,校正后的闭环传递函数为 可见,速度负反馈可使系统阻尼比增大,而开环增益和时间常数都减小,但固有频率保持不变。由上式可得,99,(3)串联 PD 校正见图 4.4.15,校正后系统的开环传递函数为,100,101,102,103,如果不对问题作一定的简化,绝大多数的控制系统都是高阶系统。虽然用 MATLAB 可方便地得到高阶系统的响应,但系统的性能分析比较复杂,其时域性能、开环和闭环频域性能之间不存在一、二
23、阶系统那种解析关系。工程中,通常借用闭环主导极点和开环中频段特性,将高阶系统近似于低阶系统来分析与估算。本节介绍高阶系统的响应特征及其近似于低阶系统的方法,其中部分内容涉及到系统设计的相关问题。,4.5 高阶系统,104,4.5.1 时间响应性能(1)时间响应特征,105,1)稳态响应类型取决于输入类型,而大小形状取决于系数 bm,b0(即闭环增益 KB 和零点 zq)。2)瞬态响应是由一、二阶系统的响应函数组成,是多个指数曲线 ept、tept和指数衰减振荡曲线 的叠加,其指数决于系数an,a0(即闭环极点P),大小形状di、gj、hk取决于系数bm,b0(即闭环增益 KB及零点)。3)靠近
24、零点的极点(与零点一起称为一对偶极子)的留数 di、gj、hk值很小,距虚轴很远的极点的留数 di、gj、hk值也很小,且响应衰减很快,故可忽略这些极点,见图4.5.1,这样系统可近似为低阶。,106,107,(2)闭环主导极点看来,一个稳定的高阶系统,尽管闭环极点很多,但作用大小不一样,远离虚轴的极点(小参数环节)只对初始响应有影响,偶极子因零极点作用相互抵消而影响甚微,且起局部作用,见图 4.5.2,所以响应曲线的总体形状和大小是由那些不可忽略的极点来决定的。其中,靠虚轴最近且不形成偶极子的那些极点作用最突出,称为闭环主导极点。,108,(3)闭环零点与非主导极点的作用即便把高阶系统简化成
25、了二阶系统,也不能用式(4.4.19)和(4.4.20)来确定其峰值时间tp和超调量 Mp。因为高阶系统中没有形成偶极子的孤立零点,其他不可忽略的非主导极点也要产生一定的影响。此时应按图4.5.3 所示的参量由如下修正式来进行计算:,109,4.5.2 频率响应性能用 MATLAB 容易得出高阶系统的开、闭环频率响应数据和指标,但开、闭环频域性能及瞬态性能三者间的关系比较复杂,力图去精确表达这种关系的实际意义也不大,因而工程中建立了一些经验公式或对应图表,供不具体计算情况下的分析用。(1)闭环频率响应高阶系统的闭环频率响应(图 4.1.8)的低频段幅值大多近似于 1 即 0dB,零频带 m 越
26、宽越能准确地复现输入信号。它的高频段总是衰减较快,使输入信号的高频成分受到削弱,因而输出信号的波形显得迟钝平缓,很难出现迅速的跳跃和振荡。,110,111,(2)开环频率响应开环频率特性比闭环频率特性容易获得,研究得比较充分,方法也较成熟,所以在很多情况下都基于系统的开环频率特性来进行系统设计或识别,对于一定类型的开环频率特性,已建立了一些典型模型。这里仅对其原理作简要介绍。1)低频段它是低频渐近线所在区段。低频段有两个特征量:幅值与斜率,它们确定了系统开环增益 K 和系统型号(见图 2.6.2 和表 4/1),因而对应于时间响应的稳态性能。应在综合保证精度和稳定性的情况下来确定开环增益 K
27、值。,112,113,2)中频段中频段特性对应时间响应的瞬态性能。中频段有多种定义,有的指+30dB 至-15dB那一段;有的指+20dB 至-20dB 的那一段;有的指剪切频率c附近斜率为-20dB/dec的那一段,本书把穿越0dB线的一段作为中频段,见图。,114,115,3)高频段 高频段一般表征系统所含的小时间常数环节,对应于时间响应的初始阶段。为了便于分析和综合,在系统具有足够的稳定程度时,可用等效时间常数 T来代替高频段的多个小时间常数 Ti=1/i(i=3,4,)。,116,117,118,119,4.6 小 结控制系统首先要满足稳定性要求,其次要满足快速性要求、精度要求以及滤波
28、性要求。稳定性和快速性都属于系统瞬态性能。在时间响应中主要由超调量 Mp、调节时间 t p 来表征;在闭环频率响应中由谐振峰值 Mr、谐振频率 r 等指标来表征;在开环频率响应中由相位裕量、增益裕量 Kg、幅值穿越频率 c 等指标来表征。,120,4.7 应 用 实 例实例 4.1 位置控制是最常见的一种伺服系统,广泛应用在各种自动化装置中。图 是最简单的数控机床进给系统的位置控制原理图。反馈电位器将工作台的实际位置 y(t)以电压信号u1(t)反馈到运放 K0,与来自指令电位器的给定值 u(t)相比较,得到误差信号 u(t)=u(t)-u1(t),经放大器、伺服阀 SV控制液压缸运动,与之刚
29、性连接的工作台便跟随指令电位器滑臂移动,传递函数方块图见图。,121,122,123,124,1)增大液压阻尼比h由式(4.7.1)可见,在工作台质量m、油缸面积A、油缸长l、伺服阀结构和阀芯尺寸等一定时,阀控油缸系统的液压固有频率hn和伺服阀的压力-流量系数kc也一定,这种情况下液压阻尼比 h无法改变。2)降低开环增益 K开环增益K=k1k2/A,其中伺服阀流量增益为k2和油缸面积A一定,只能减小放大器增益k1来降低K(如果增大油缸面积 A将使阻尼比 h减小)。为了获得足够的稳定性,将 K减小10倍,选 k1=0.01,于是 K=3.33。这样原曲线将下移20dB(相当于0dB线上移20dB),使穿越斜率从-40 变为-20。,125,3)选择转角频率2更高的伺服阀增大伺服阀转角频率 2可以拓宽中频段-20dB/dec 线的长度。由样本可选 的另一伺服阀。于是新的开环传递函数为,126,127,
