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1、第一节 线性方程组的求解,一、克拉默法则二、线性方程组的消元法三、小结,第二章 线性方程组,2,一、克拉默法则,下面是行列式在一类特殊的线性方程组中的应用,利用n阶行列式求解方程个数与未知量个数都是n，且系数行列式不为零的线性方程组,3,定理2.1.1(克拉默法则),如果线性方程组,的系数矩阵,的行列式,则方程组(2.1.1)有唯一解,(j=1,2,n).(2.1.2),4,其中,(j=1,2,n).,若线性方程组(2.1.1)无解或有两个以上不同的解,则,齐次与非齐次线性方程组的概念,常数项全为零的线性方程组称为齐次线性方程组,否则称为非齐次线性方程组,推论,5,对于n个未知量n个方程的齐次
2、线性方程组,(2.1.5),(i=1,2,n)为齐次线性方程组(2.1.5)的解,将其称为该方程组的零解.,齐次线性方程组一定有零解，但不一定有非零解.,6,若齐次线性方程组(2.1.5)的系数行列式，,推论,则齐次线性方程组(2.1.5)只有零解.,推论 2.1.3,若齐次线性方程组(2.1.5)有非零解,则其系数,行列式.,7,例1 解线性方程组,解 因该方程组的系数行列式为,由推论2.1.2,该方程组仅有零解,8,例2 解方程组,解 方程组的系数行列式为,依克拉默法则知，该方程组的唯一解为,又,9,例3 设齐次线性方程组,有非零解,试求常数,的值.,有非零解,试求常数,的值.,有非零解,
3、试求常数k的值.,解 由定理知该方程组系数行列式必为零,即,k=3方程组有非零解.,10,二、线性方程组的消元解法,解方程组，就是要通过一系列能使方程组保持 同解的变换，把原方程组化为容易看出是不是 有解并在有解时容易求出解的线性方程组 什么样的变换能使变换前后的方程组满足同解 要求?同解变换能把方程组化为什么样的简单形式?,11,例4,解线性方程组,解,首先消去第二，三两个方程中含 x1 的项.为此，将第一个方程的-2 倍加到第二个方程，第一个方程的-1 倍加到第三个方程，得到同解方程组,12,然后将第二个方程的-4 倍加到第三个方程，,交换后两个方程,再将第三个方程等号两边同乘以 1/3，
4、得到,最后求得方程组的解为,x3=-6,x2=-1,x1=9,13,在例4的解题过程中使用了如下的三种变换,用一个非零数乘以某个方程 将一个方程的 k 倍加到另一个方程上 交换两个方程的位置,上述三种变换称为线性方程组的初等变换,14,用消元法解方程组实质上是对方程组的系数和常数项进行运算，因此为了简化运算过程的表达形式，可以只把线性方程组的系数按顺序写成一个矩形的数表，方程组（）的系数可写成,15,对方程组作初等变换就相当于对增广矩阵作如下的行变换,用一个非零数乘以某一行将一行的 k 倍加到另一行上交换两行的位置,系数矩阵,增广矩阵,以上三种变换称为矩阵的行初等变换,16,例4的消元求解过程
5、可以用增广矩阵的行初等变换来表示为,求得解为,其中B为行阶梯形矩阵，C为行最简形矩阵,x3=-6,x2=-1,x1=9,17,例5 解线性方程组,解 对增广矩阵作行初等变换,将其化为行最简形矩阵,18,原方程组同解的线性方程组为,即,19,线性方程组的解写成下面的形式,其中k1,k2,k3为任意常数,上述解的表达式通常称为原线性方程组的通解,20,例6 求解线性方程组,解 对方程组的增广矩阵作行初等变换,上式中最后一个矩阵的第三行所表示的方程是一个矛盾方程,故原方程组无解,21,非齐次线性方程组解的判别定理,设线性方程组(2.1.6)的系数矩阵A的秩为r,AX=的增广矩阵通过行初等变换一定可以
6、化为,(2.1.11),22,对应（）的方程组 CX=为,方程组CX=与原方程组(2.1.6)AX=是同解方程组只讨论同解方程组CX=解的情况,23,方程组 CX=在有解的情况下,当 r=n 时，方程组有唯一解 x1=d1,x2=d2,xn=dn,(2)当 rn 时,方程组有无穷多个解.把每行第一个非零元所对应的未知量作为基本未知量.其余作为自由未知量,方程组AX=有解(即CX=有解)的充要条件是 dr+1=0,24,解得,其中,为任意常数,25,n元线性方程组,有解的充分必要条件是,定理,设,当 r=n 时，原方程组有唯一解,当 rn 原方程组有无穷多解,下面通过例子说明这个定理的应用,26
7、,例7,t为何值时,下列方程组无解;有唯一解;有无穷多解？并在方程组有解时求出解,解,对方程组的增广矩阵作行初等变换,27,(1)当t=-3时,28,当t=-3时，原方程组有无穷多解，同解方程组为,令自由未知量 x3=k 得原方程组的解为,其中k为任意常数,29,(2)t=1时,原方程组无解,(3)t-3 且 t 1时,原方程组有唯一解,30,齐次线性方程组的解,求解方法与非齐次线性方程组相同,(2.1.13),定理,设n元齐次线性方程组AX=0的系数矩阵A的秩为r,那么,(1)当r=n时,方程组AX=0仅有零解(2)当rn时,方程组AX=0有无穷多解,31,推论,若齐次线性方程组中,方程的个
8、数m小于未知量个数n，则必有无穷多解,定理,设A为n阶矩阵,则n元齐次线性方程组AX=0有非零解的充分必要条件是其系数行列式|A|=0,32,试确定常数k的值,使3元齐次线性方程组,例8,有非零解,并求出它的所有非零解,对方程组的系数矩阵作行初等变换,将其化为行阶梯形矩阵,解法一,33,当b=-3时，R(A)=23原方程组有非零解,34,当b=-3时,与原方程组同解的线性方程组为,因此，原方程组的所有非零解为,其中k为任意常数,35,该题的方程个数与未知量个数相同 可应用定理,当b=-3时,方程组有非零解再就b=-3 求出方程组的解,解法二,36,克拉默法则只能求解特殊线性方程组 方程个数=未知量个数 系数行列式不为零 消元法 对增广矩阵作行初等变换 将其化为阶梯形矩阵 然后判断是否有解并在有解时求出解,三、小结,
