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1、一、一般线性方程组的基本概念,二、消元法解一般线性方程组,3.1 消元法,三、齐次线性方程组,1一般线性方程组是指形式为,(1),是方程的个数;,的方程组，其中 代表 个未知量的系数，,称为方程组的系数；称为常数项。,一、一般线性方程组的基本概念,2方程组的解,设 是 个数，如果 分别用,代入后，(1)中每一个式子都变成恒等式,则称有序数组 是（1）的一个解.,(1)的解的全体所成集合称为它的解集合,解集合是空集时就称方程组（1）无解,3同解方程组,如果两个线性方程组有相同的解集合，则称它们,是同解的,4方程组的系数矩阵与增广矩阵,矩阵,称为方程组（1）的系数矩阵;,而矩阵,称为方程组（1）的
2、增广矩阵,1引例,解：第二个方程乘以2，再与第一个方程对换次序得,第二个方程减去第一个方程的2倍，,二、消元法解一般线性方程组,解线性方程组,第三个方程减去第一个方程的3倍，得,第三个方程减去第二个方程的5倍，得,第三个方程乘以，得,第一个方程加上第三个方程；,第二个方程加上第三个方程，得,这样便求得原方程组的解为,或,定义线性方程组的初等变换是指下列三种变换,用一个非零的数乘某一个方程；,将一个方程的倍数加到另一个方程上；,交换两个方程的位置,性质线性方程组经初等变换后，得到的线性方程,组与原线性方程组同解,2线性方程组的初等变换,如对方程组（1）作第二种初等变换:,简便起见，不妨设把第二个
3、方程的k倍加到第一个方程得到新方程组（1）,（1）,设 是方程组（1）的任一解，则,所以 也是方程组（1）的解.,于是有,同理可证的（1）任一解也是（1）的解.,故方程组（1）与（1）是同解的.,3利用初等变换解一般线性方程组（化阶梯方程组）,先检查(1)中 的系数，若 全为零，,则 没有任何限制，即 可取任意值，从而方程组,(1)可以看作是 的方程组来解,如果 的系数不全为零，不妨设，,分别把第一个方程 的倍加 到第i个方程,(3),于是(1)就变成,其中,即，方程组(3)有解当且仅当方程组(4)有解。,(3)是同解的，因此方程组(1)有解当且仅当(4)有解,对方程组(4)重复上面的讨论，并
4、且一步步作下去，,最后就得到一个阶梯形方程组.,的一个解；而方程组(3)的解都是方程组(4)有解。,显然，方程组(4)的一个解代入方程组(3)就得出(3),而(1)与,这时去掉它们不影响(5)的解,(5),其中,方程组(5)中的“”这样一些恒等式可能不出现,而且(1)与(5)是同解的,也可能出现，,为了讨论的方便，不妨设所得的阶梯形方程组为,考察方程组的解的情况:,由Cramer法则，此时(6)有唯一解，从而(1)有唯一解,(6),i)若 这时阶梯形方程组为,其中,时，方程组(5)有解，从而(1)有解，,时，方程组(5)无解，从而(1)无解,分两种情况：,此时去掉“”的方程,此时方程组(7)有
5、无穷多个解，从而(1)有无穷多个解.,(7),ii)若，这时阶梯形方程组可化为,其中,事实上，任意给 一组值，由(7)就唯一,地定出的 一组值,这样一组表达式称为方程组(1)的一般解，,表示出来,线性方程组消元法的矩阵表示,不妨设线性方程组(1)的增广矩阵,经过一系列初等行变换化成阶梯阵,其中,时，方程组(1)无解,时，方程组(1)有解.,且方程组(1)与方程组(7)同解,(7),当 时，方程组(1)有无穷多解,所以，当 时，方程组(1)有唯一解；,（这样，方程组(1)有没有解，以及有怎样的解，都可以通过它的增广矩阵看出。）,例解下列方程组,解：对方程组的增广矩阵作初等行变换,从最后一行知，原方程组无解。,三、齐次线性方程组的解,定理1 在齐次线性方程组,中，如果，则它必有非零解。,(1),(2),练习解下列方程组,
