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1、,概率论与数理统计,第三讲 概率的运算法则,经济数学基础,第三节 概率的运算法则,一、概率的加法公式二、条件概率三、概率的乘法公式,一.概率的加法法则,性质1,性质2（有限可加性）,性质3,性质4,性质3,证明：,证明 性质3,证明：,证明 性质4,例1 设有一批产品共100件，其中5件是次品，任取3件，求：至少有一件是次品的概率。,解 法一.,设A表示“任取三件至少有一件次品”，Bi表示“任取,三件恰好有i件次品”，则,法二.,表示“任取三件全是正品”，而,定理1（加法公式）,证明：,因为,且,故,若A,B互不相容，有,一般地，,定理1可以推广到多个事件的情形。,推论1,若A1,A2,A3为
2、任意三个事件，则,例2 设、为两事件，,且设，求,解,而,所以,于是,二、条件概率,解,而求P(B|A)实质上是求在事件A发生的条件下B发生的概率（即甲车间生产的合格品率），由于甲车间产品有60件，而其中合格品有54件,所以,同理,同理,(3),可以验证，条件概率P(|A)满足概率公理化定义中的三条公理,定义1,为事件A发生的条件下事件B发生的条件概率,1 非负性,2 规范性,3 可列可加性,概率 P(B|A)与P(AB)的区别与联系,联系：事件A，B都发生了,区别：,（1）在P(B|A)中，事件A，B发生有时间上的差异，A先B后；在P（AB）中，事件A，B同时发生。,（2）样本空间不同，在P
3、(B|A)中，事件A成为样本空间；在P（AB）中，样本空间仍为。,因而有,？,例4 一袋中有10 个球，其中3个黑球，7个白球，依次从袋中不放回取两球。试求：已知第一次取出的是黑球，求第二次取出的仍是黑球的概率.,解,记,因为,所以,例5 考虑恰有两个小孩的家庭，若已知某一家有男孩求这家有两个男孩的概率；若已知某家第一个是男孩，求这家有两个男孩（相当于第二个也是男孩）的概率（假定生男生女为等可能）,于是得,所求的两个条件概率为,三、概率的乘法公式,定理1（乘法公式）,则由归纳法可得：,则由,可得,例6 关于某产品的检验方案为从100件中任取一件，无放回，如为次品，认为不合格；如为正品，再抽一件；如此连续至多4次，如连续抽取4件正品，则认为这批产品合格，现假定这批产品中5%是次品，问产品被拒收的概率。,解,设,则,因此,例7 在一次对一年级学生上、下两学期数学成绩的统计调查中发现，上、下两学期成绩均优的学生占5%，仅上学期得优的占7.9%,仅下学期得优的占8.9%.,(1)已知某学生上学期得优，求下学期得优的概率；,(2)已知某学生上学期没得优，求下学期得优的概率；,(3)求上、下学期均未得优的概率。,解,设,已知,故,则由已知,故,作业,习题3,
