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1、1.3 古典概型与几何概型 1.3.1 排列与组合公式 1.排列 从n个不同元素中任取r个元素排成一列（考虑元素先后出现次序），称此为一个排列，此种排列的总数为 若r=n，则称为全排列,全排列的总数为 An=n!,第1章 概率论基础,2.重复排列 从n个不同元素中每次取出一个，放回后再取出下一个，如此连续取r次所得的排列称为重复排列，此种重复排列数共有nr个，这里r允许大于n,1.3.1 排列与组合公式,3.组合 从n个不同元素中任取r个元素并成一组（不考虑元素先后出现次序），称为一个组合，此种组合的总数为易知，排列组合公式在古典概型的概率计算中经常使用,1.3.1 排列与组合公式,1.3.2
2、 古典概型 具有以下两个特点的试验称为古典概型：(1)有限性：试验的样本空间只含有限个样本点；(2)等可能性：试验中每个基本事件发生的可能性相同 对于古典概型，若样本空间中共有n个样本点，事件A包含k个样本点，则事件A的概率为 容易验证，由上式确定的概率满足公理化定义,1.3 古典概型与几何概型,【例1.5】（摸球问题）箱中盛有个白球和个黑球，从其中任意地接连取出k+1个球(k+1+)，如果每个球被取出后不再放回，试求最后取出的球是白球的概率,1.3.2 古典概型,解：由于注意了球的次序，故应考虑排列 接连不放回地取k+1个球的所有结果共有 个，即样本空间中共有 个样本点 最后取出的白球可以是
3、个白球中的任一个，共有种取法，其余k个可以是其余+1个的任意k个，共有 种取法，因而事件A=“取出的k+1球中最后一个是白球”中共含有 个样本点，于是,与k无关！,1.3.2 古典概型,【例1.6】（分房问题）有n个人，每个人都以同样的概率被分配在N（n N）间房中的每一间中，试求下列各事件的概率：(1)A=“某指定n间房中各有一人”；(2)B=“恰有n间房，其中各有一人”；(3)C=“某指定房中恰有m(m n)人”,1.3.2 古典概型,解：因为每个人都可以分配到N间房中任一间，所以n个人分配房间的方式共有Nn种，即样本空间中所有样本点的个数为Nn(1)A=“某指定n间房中各有一人”，“某指
4、定n间房中各有一人”的分配方法共有n!种，因而事件A中含有n!个样本点，于是,1.3.2 古典概型,(2)B=“恰有n间房，其中各有一人”这n间房可自N间中任意选出，共有种选法，因而事件B中含有 个样本点，于是,1.3.2 古典概型,(3)C=“某指定房中恰有m(m n)人”事件C中的m个人可自n个人中任意选出,共有种选法，其余n m个人可以任意分配在其余N 1间房里，共有 个分配法，因而事件C中有 个样本点，于是,1.3.2 古典概型,1.3.3 几何概型 具有以下两个特点的试验称为几何概型：(1)随机试验的样本空间为某可度量的区域；(2)中任一区域出现的可能性的大小与该区域的几何度量成正比
5、而与该区域的位置和形状无关,1.3 古典概型与几何概型,对于几何概型，若事件A是 中的某一区域，且A可以度量，则事件A的概率为其中，如果 是一维、二维或三维的区域，则 的几何度量分别是长度、面积和体积,1.3.3 几何概型,【例1.8】（约会问题）甲乙两人约定在下午6点到7点之间在某处会面，并约定先到者应等候另一人20分钟，过时即可离去，求两人能会面的概率,1.3.3 几何概型,解：以x和y分别表示甲乙两人到达约会地点的时间（以分钟为单位），在平面上建立xOy直角坐标系，因为甲乙都是在0到60分钟内等可能到达，所以这是一个几何概型问题 样本空间=(x，y)：0 x，y 60 事件A=“甲乙将会
6、面”=(x，y)：|x y|20因此,1.3.3 几何概型,【例1.9】（蒲丰投针问题）平面上画有间隔为d(d 0)的等距平行线，向平面任意投掷一枚长为l(l d)的针，求针与任一平行线相交的概率解：以x表示针的中点与最近一条平行线的距离，又以 表示针与直线间的交角易知样本空间 满足由这两式可以确定xOy面上的一个矩形，其面积为,1.3.3 几何概型,事件A=“针与平行线相交”当且仅当因此,1.3.3 几何概型,蒲丰投针试验的应用及意义：当投针试验次数n很大时，测出针与平行线相交的次数m，根据频率的稳定性，频率值可作为P(A)的近似值带入上式，那么利用上式可以计算圆周率 的近似值,1.3.3 几何概型,课堂思考 某接待站在某一周曾接待过 12次来访,已知所有这 12 次接待都是在周二和周四进行的,问是否可以推断接待时间是有规定的.,假设接待站的接待时间没有规定,且各来访者在一周的任一天中去接待站是等可能的.,解,一周内接待 12 次来访共有,12 次接待都是在周二和周四进行的共有,故12 次接待都是在周二和周四进行的概率为,实际应用中，认为小概率事件在一次试验中几乎是不可能发生的,从而可知接待时间是有规定的.,兴趣拓展,生日问题(1)n个人生日各不相同的概率(n365).,解答下面问题并利用计算机进行计算:,计算机计算结果:,
