二次型的正定性及其应用.docx

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1、推南0乾擘院毕业论文题 目：二次型的正定性及其应用学生姓名：孙云云学生学号： 0805010236系别：数学与计算科学系专业：数学与应用数学届另U ： 2012届指导教师：李远华摘要前言(1)1二次型的概念(2)1.1二次型的矩阵形式(2)1.2正定二次型与正定矩阵的概念(2)2二次型的正定性一些判别方法及其性质(3)3二次型的应用(8)3.1多元函数极值(8)3.2线性最小二乘法(12)3.3证明不等式(14)3.4二次曲线(16)结论(17)致谢(17)参考文献(17)二次型的正定性及其应用学生：孙云云指导老师：李远华淮南师范学院数学与计算科学系摘要：二次型与其矩阵具有一一对应关系，本文主

2、要通过研究矩阵的正定性来研究二次型 的正定性及其应用。通过研究二次型的性质并利用正(负)定矩阵判断多元函数的极值、证 明不等式，由矩阵的特征值求多元函数的最值，再借助于非退化线性替换判断二次曲线的形 状。关键词：二次型：矩阵；正定性；应用The second type of positive definite matrix and itsapplicationsStudent: Sun YiinYiinInstructor: Li YiianHuaDepartment of mathematics and Computational Science, Huaman Normal Univers

3、ityAbstract: Quadratic and its matrix is exactly conespondmg relation, tliis paper mainly tluough the study of the matiix is qualitative to study the second type is qualitative and its application. Tluough the study of the nature of the second type and use the positive (negative) set judgment matrix

4、 fiinction of many extieme value, to testify inequality, the chaiacteiistic value of the matiix fbr the most value of a fiinction of many； then the degradation by Imear replace judgment of the shape of the quadratic curves.Key words: Quadratic; Quadratic matiix; Qualitative; Application前宫二次型常常出现在许多实

5、际应用和理论研究中，有很大的实际使用价值。它不仅在数学的许多分支中用到，而且在物理学中也会经常用到，其中实二次型 中的正定二次型占用特殊的位置.二次型的有定性与其矩阵的有定性之间具有 一一对应关系.因此，二次型的正定性判别可转化为对称矩阵的正定性判别，因 此，对正定矩阵的讨论有重要的意义.1二次型的概念定义1. 1设P是一个数域，与cp,n个文字X.W，儿的二次齐次多项 式n /”，土） Fif+2%虾+2。讷西+ 2内+%+2必+“+2%方+%/ =插 与 f=l J=l （灼= 1,2,.,）称为数域p上的一个n元二次型，简称二次型.当今.为实 数时，f称为实二次型.当为复数时，称f为复二

6、次型.如果二次型中只含有 文字的平方项，即/（工2，.,工）=4工；+工；+.+/；称f为标准型.1. 1二次型的矩阵形式二次型 f（X，w，.“）可唯一表示成 f（xl,x2,.,xlt） = X7Ax ,其中 x = （xl,x2,.,xlt）T, A = （%.）心为对称矩阵，称上式为二次型的矩阵形式，称A为 二次型的矩阵（必是对称矩阵），称A的秩为二次型f的秩.1.2正定二次型与正定矩阵的概念定义1.2设f（xl,x29.,xn）=xTAx是n元实二次型（A为实对称矩阵），如果 对任意不全为零的实数c】,c2,.心都有0，则称f为正定二次型，称 A为正定矩阵；如果八勺,上,.弓,）20

7、,则称f为半正定二次型，称A为半正定矩 阵；如果/（cpc2,.r ）0 （或X以X0）成立，则称f = XTAX 为正定（负定）二次型，矩阵A称为正定矩阵（负定矩阵）.如果对任何非零向量X,都有XAXZO （或X7AX0（，= 1,2, ,）定理2. 3对称矩阵A为正定的充分必要条件是A的特征值全大于零.定理2. 4人为正定矩阵的充分必要条件人的正惯性指数P = n.定理2. 5矩阵人为正定矩阵的充分必要条件矩阵是：存在非奇异矩阵C,使 A = CtC.即A与E合同.推论2.1若人为正定矩阵，则|A|0.定理2. 6秩为，的元实二次型f = XTAX,设其规范形为则：（1）/负定的充分必要条

8、件是p = 0,且厂=.（即负定二次型，其规范形为/ = -W）（2）/半正定的充分必要条件是p = rn.（即半正定二次型的规范形为 f = W + + +如）（3）f半负定的充分必要条件是p = 0, rv/ （EP / = -Zi -Z2Z；,rn ）（4）f 不定的充分必要条件是0 /? r 01,2,.证明：必要性设二次型是正定的.对于每个A, lko,显然有.,（邑）是正定的.假设充分性的论断对于牛1元二次型己经成立，那么对元情形，令1cJh I (则矩阵力分块为由A的顺序主子式全大于零知道&的顺序主子式也全大于零.因此，由归纳假定,&是正定矩阵，即有牛1阶可逆矩阵G使令0.显然、

9、仁 JL、JLJL_ _ 这就是说，矩阵,与单位矩阵合同.所以刀是正定矩阵，故二次型正定.注：（1）若A是负定矩阵，则-A为正定矩阵.A是负定矩阵的充要条件是：（-驴|& |0,其中1是A的人阶顺序主子式.（3）对半正定（半负定）矩阵可证明以下三个结论等价:a .对称矩阵A是半正定（半负定）的;b. A的所有主子式大于（小于）或等于零;c.A的全部特征值大于（小于）或等于零.例2. 1设M是n阶实对称矩阵,则必存在正实数t,使得tl+M为正定阵,其中I是单位矩阵.证明：矩阵正定的充要条件: 对任意 x 不等于 0 向量，有 X1 MX 0, Xt(TI + M)X = TXtX + XtMX

10、,在所有的X中选一个X,使XMX的值最小，XtMX = -MAX9其中MAX0,而这 时对应的XX的值为K,且K肯定大于0.乂 K,MAX都是常数，则必存在常数T,使TK-MAX0 ,即 Xr（TI + M）X = TXrX + XTMX 0故n+M正定.例 2. 2 考虑二次型 / = xf + 4x22 + 4x + 2Axlx2 -2x + 4x2x3，问 4 为何值 时，f为正定二次型.1 2解:利用顺序主子式来判别，二次型f的矩阵为封=2 4-124A的顺序1 = 1 0=4-221 22 4-1 2-12-14=-42-42 + 8 = -4(2 -1)(2 + 2).主子式为于是

11、，二次型f正定的充要条件是：0,与0,有d=4-万0,可知， -2 2 0,可得-2A1,所以，当-220(k=l, 2,n),从而0 (k=l,2,n)即，E-A的特征值全大于零，故，-A-为正定矩阵.3二次型的应用3. 1多元函数极值在实际问题中经常要遇到求三元以上函数的极值问题，对此可由二次型的正 定性加以解决定义 3. 1.1 设元函数 f(X) =)在 X =(相,匕,的某个邻域内有一阶、二阶连续偏导数.记W(x)=切(X)预(X) dx. ，AV/(X)称为函数f(X)在点x=(勺邑，,撬,处的梯度.定义3. 1.2满足Nf(X) = 0的点X。称为函数/(X)的驻点.定义 3.

12、1.3 H(X) =0/(X)dx.巧(X)寸 f(x)dxdx.A_.叫(X)dxdx. I W(X)、.B(X)况)称为函数f(X) = fC知邑,在点X g R处的黑塞矩阵.显然H(X)是由f(X) 的n2个二阶偏导数构成的阶实对称矩阵.定理3.1.1 (极值存在的必要条件)设函数f(X)在点X = (x?,x；,.,x：)，处 存在一阶偏导数，且X。为该函数的极值点，则Vf(Xo) = O.定理3.1.2 (极值的充分条件)设函数/(X)在点Xo 6R的某个邻域内具有一阶、二阶连续偏导数，且W(X) = 冬也，奕公,，奕公)=0I 盘 1 dxn )则： 当H(X。)为正定矩阵时，/(

13、X。)为f(X)的极小值；(2) 当H(X。)为负定矩阵时，/(X。)为f(X)的极大值；(3) 当H(X。)为不定矩阵时，f(XQ)不是f(X)的极值.应注意的问题：利用二次型的正定性来判断多元函数的极值虽然是一个很好的方法,但也有 一定的局限性，因为充分条件对正定和负定的要求是很严格的，若条件不满足，那 结论就不一定成立.例 3. 1. 1 求三元函数/(x,z) = x2 + 2y2 +3z2+2x + 4y-6z 的极值.解:先求驻点，由f = 2x + 2 = 0 /y = 4+ 4 = 0得工=-1,)，= -1, = 1/； = 6z-6 = 0所以驻点为(1,一1,1).再求(

14、Hessian)黑塞矩阵因为 fxx = 2，底=。，兀=。 = 4,： =0,/ = 6,-2 0 0一所以H= 0 4 0,可知H是正定的，所以f(x,y,z)在(-1,-1,1)点取得极小 0 0 6值：/(-1-1,1) = -6.当然，此题也可用初等方法/(x,Z)= 3 +1)2 + 2(y +1)2 + 3(z- 1尸- 6求得极 小值-6,结果一样.定理3. 1.3设n元实函数./Cww 为在点已的一个邻域中连续，且有足 够高阶的连续偏导数，则函数为在点已近旁有性质：1)若X；4X正 定，则P。为极小点；2)若X：4X负定，则P。为极大点；3)若X4X不定，则P。 非极大点或极

15、小点；4)其余情形时，！在点P。性质有待研充余项R的性质来确 定.特别当|是二次函数时，R=0,只要X4X半正(负)定，则P。为极小(大) 占八、例3. 1. 2求函数云土访 ，一7=一 ）点,Z取极小值,极小土；在点，Z取极大值，4大=； le下面利用二次型的矩阵的特征值求多元函数的最值.设元二次型f（X）=XTAX （乂二邑,.*），则f在条件$；=1下的最大（小）值恰为 1=1矩阵A的最大（小）特征值.例 3. 1. 3 求函数解：先对二次型./854X（乍IE立wgh将其化为标准形式数的最小值.该二次型的实对称矩阵为0 1 -TA= 1 0 1-1 1 0它的特征多项式|二&对于特征值

16、九=1,求得两个线性无关的特征向量再用Schmidt正交化方法，得两个单位正交的特征向量 取正交矩阵 1 175 75。=(鸟,莹,&)= 一土 金二 0 L V3则有对二次型.7Q9三定Z锅做正交变换X=Qf,得(1)相应地，条件化为(2)于是原题意化为对(1)式的三元二次其次函数在满足条件(2)时求其最小值.此时，显然有乂当时f=2 所以/,满足条件(2)的最小值.扃而且它仅在=0和=00处取得最小值回到变元寸，与处取得最小值.最后再介绍一个有用的定理:定理3. 1.3设A为n阶正定矩阵X=(xi，x2，.,xj与6 = (q,%,c)实向量，为实数，则实函数/() = 7弘+ 2。公+

17、当x = -A-Z时取得最小值P-aT AaTAaXX1Lp_1,由A正定,证明：/ =A-存在(对称)而 E 0- AaEOA0一 a* 1_ap_10p aWa-aTA7l其中,EA正定，故X=-A-W,A 00 p-arAa 1所以/(Q取得最小值P-aTAa.3. 2线性最小二乘法众所周知，线性方程组/内+知也十.+%工_=0么为+2%十+0、也一农=。可能无解.1 + 也七. + aqb=O即任何一组也,七玉都可能使得一壬益午+汗不等于0,我们设 法找到 *T，使得！最小，这样3遵称为方程组的最小二乘解.这 种问题就叫最小二乘法问题.若记A为上述方程组的系数矩阵，于是，使得I值最小

18、.的X一定是方程组的解，而其系数矩阵A0是一个正定矩阵，它的惯 性指数等于n,因此这个线性方程组总是有解的，这个解就是最小二乘解.例3.2. 1己知某种材料在生产过程中的废品率y某种化学成分X有关，下列 表中记载了某工厂生产中y与相应的x的儿次数值X1.000.90.90. 810. 600. 560. 35V3. 63.73.83.94.04. 14.2我们想找出y对x的一个近似公式.解:把表中数值画出图来看，发现它的变化趋势近于一条直线，因此我们决定 选取x的一次式ax+b来表达，当然最好能选到适当的a, b使得下面的等式3. 6a+b-l. 00=03. 7a+b0. 9-03. 8a+

19、b0. 9-03. 9a+b-0. 81=04. Oa+b-O. 60=04.la+b-0. 56=04. 2a+b-0. 35=0都成立，实际上是不可能的.任何a,b代入上面各式都发生些误差，于是想找到a, b使得上面各式的误差的平方和最小，即找a, b使(3. 6a+b-l. 00) z + (3. 7a+b-0. 9) 2 + (3. 8a+b-0. 9) 2 + (3. 9a+b-0. 81) 2 + (4. Oa+b-O.60) 2 + (4. la+b-0. 56) 2 + (4. 2a+b-0. 35) 2最小，这里讨论的是误差的平方即二乘方，故称为最小二乘法，用最小二乘法解.

20、易知J J I11JJ 1LJ5.1 1LJ J 1,B二LU11 J1.1 11 .01最小二乘解a, b所满足的方程就是ArA -AB=O.b即为尸六*解得a=-1.05,b=4.81.（取三位有效数字）3.3证明不等式其证明思路是:首先构造二次型，然后利用二次型正（半）定性的定义或等 价条件，判断该二次型（矩阵）为正（半）定矩阵，从而得到不等式.例3. 3. 1求证：9入2+ y2+3尸2yz-4个-2女（其中x,y,z是不全为零的 实数）.证明：设二次型 f（x,y,z） = 9x2 + y2 +3z2 -2yz + 4xy + 2xz ,则 f 的矩阵是921A=21-1,1-139

21、 7因为，A的各阶顺序主子式为：料=90；=50,所以，A正定,1 12 1从而/0 （因为是不全为零的实数），即/（x, y, z） = 9x2 + y2 + 3z2 - 2）z + 4xy + 2xz 0.（其中是不全为零的实数），结论得证.例3. 3.2 （,不等式）设方为任意实数，则a x .x. + axxt _ 如=0A 1.证明：设1的全部特征值为- 则A+万的全部特征值为K + 1刁因为A+E为实对称矩阵，所以存在正交矩阵，使得X-H1九+JL-.T.-只,+1，由于人为半正定矩阵，且A工0,则A+E是半正定的，且其中至少有一个人0 0，同时至少有一个等于。.故A + E =+

22、1) /l/0 +1 1,结论得证.1=1以上是根据不等式的要求证明该二次型为半正定二次型，从而证明不等式. 使用这种方法简单方便.3.4二次曲线事实上，化简二次曲线并判断曲线的类型所用的坐标变换就是二次型中的非 退化线性替换，因此可以利用二次型判断二次曲线的形状.例3. 5. 1判断二次曲线X? +4y2 -2-2xy + 2x = Q的形状.解：设 /(x,y) = x2 + 4y2 - 2- 2xy + 2x ,令 g(x,Z)= x2 +4y2 -2z2 - 2xy + 2xz，则 y) = g(x, y,l).对 g(x, y, z)实4x = X + y.z. x1 = x- y

23、+ z 1 3 1施非退化线性替换：，)=y + j，即，y = -yZ = ZZ = Z则 g(i,y,z) = x；+3y；-?艺， 从而 /(x,y) = g(x,)，,l) = r+3)T-? = 0 .即3 QX + )7 =1,故曲线 x2 +4y2 -2-2xy + 2x = 0 表示椭圆.结论二次型的研究起源于解析儿何中二次曲线和二次曲面的理论，二次型的理论 在数学和物理的许多分支都有着广泛的应用。用二次型来解决初等数学、微积分 中的一些问题，有时会起到意想不到的效果。本文通过研究二次型的性质，借助例子说明二次型在求多元函数的的极值、 最值、证明不等式、及判断二次曲线的形状等方

24、面的应用。将多元元函数求极值 问题化为一个二次型问题。在三元及三元以上多元函数求极值时，这个方法比一 般工科高等数学教材中介绍的求极值方法好用，而且能够确定是极大值还是极小 值。致谢值此本科学位论文完成之际，首先要感谢我的导师李远华老师。李老师从一 开始的论文方向的选定，到最后的整篇文论的完成，都非常耐心的对我的论文进 行指导。给我提供了大量数据资料和建议，告诉我应该注意的细节问题，细心的 给我指出错误，修改论文。李老师海人不倦的工作作风，一统不苟的工作态度， 严肃认真的治学风格给我留下深刻的影响，值得我永远学习。在此，谨向导师李 远华老师致以崇高的敬意和衷心的感谢！这次毕业论文能够得以顺利完

25、成，并非我一人之功劳，是所有指导过我的老 师，帮助过我的同学和一直关心支持着我的家人对我的教诲、帮助和鼓励的结果。 我要在这里对他们表示深深的谢意！参考文献：1 王萼方,石生明.高等代数(第三版)M.北京:高等教育出版社，2008.2 陈公宁.矩阵理论与应用M.北京:高等教育出版社,1990.3 孟道骥.高等代数与解析几何M.科学出版社,2001.4 李宏伟，等.线性代数学习辅导与习题解析M.科学出版社,2009.5 徐仲，陆全，吕全义，等.高等代数M.西北工业大学出版社，2006.6 钱吉林.高等代数题解精粹M.中央民族大学出版社，2007.7 岳贵鑫.正定矩阵及其应用J.辽宁省交通高等专科学校报，2008, 10 (5) :45-48.8 曹璞.正定矩阵的判定与性质J.南都学坛(自然科学专号),1994, 14(3):76-79.9 薛蓉华.二次型性质的若干应用J.福建工程学院学报，2011, 9 (3) : 15-18.10 钱志祥，林文生.浅谈正定二次型的实际应用J.科学创新导报，2009, 9(5):68-70.11 杨家骥.高等代数在初等数学中的应用济南：山东教育出版社，1992.