二次曲线的化简性质及应用1.docx

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1、摘要0引言1二次曲线的化简1.1通过移轴化简二次曲线1.2利用不变量化简二次曲线1.3利用正交变换来化简二次曲线2二次曲线的性质2.1二次曲线的曲率2.1.1椭圆的曲率及性质2.1.2抛物线的曲率及性质2.1.3双曲线的曲率及性质2.2二次曲线的重要性质2.2.1椭圆中的定值2.2.2双曲线的定值2.2.3抛物线的定值(10)3二次曲线的应用(10)3.1二次曲线的光学性质(10)3.1.1抛物线的光学性质 (10)3.1.2椭圆,双曲线的光学性质 (12)参考文献(13)Abstract(13)二次曲线的化简、性质及应用作 者: 指导老师:摘要:本文将化简二次曲线的几种常用方法进行归总结，并

2、着重强调强调用正交 合同变换来化简二次曲线.实现解析几何与高等代数的结合.并进一步总结出二 次曲线的一些性质和应用.关键词:正交变换；曲率；光学性质0引言二次曲线与我们的生活密切相关，它们的某些性质在生产、生活 中被广泛应用.一般二次曲线的化简、性质及应用是平面解析几何的 中心研究课题，如何将二次曲线方程进行化简，是二次曲线一般理 论的主要问题之一.参考文献1中讲述了两种方法，一是利用移轴与 转轴来化简二次曲线，这种方法的实质是把坐标轴变换到与二次曲 线的主直径重合的位置，它的优点在于不需要用高等代数知识.缺点 是不能一步到位,且化简过程较为复杂.二是利用不变量与半不变量 方法.先计算出二次曲

3、线的不变量和半不变量,然后可判断已知曲线 为何种曲线，同时也可直接求出它的简化方程.此法的优点是快捷，但 无法画出二次曲线的图形.针对以上两种方法的优缺点，利用参考文献2中二次曲线与二 次型的关系,应用高等代数有关理论化简欧式平面上二次曲线方程为 标准方程，通过举例说明化简二次曲线方程为标准方程的方法过程及 应用的有关高等代数知识，阐述了高等代数指导学习其他几何学的意 义对于二次曲线的性质，通过查看各种资料将二次曲线的一些重要 性质进行了系统的归纳总结.1二次曲线的化简我们知道二次型理论源于化二次曲线和二次曲面为标准形式的问题，其理论在数学和物理学中都有重要的应用.任一个实对称矩阵 都可化为对

4、角形，则任一条二次曲线可通过坐标变换化为标准形式. 化二次型为标准型通常有合同变换和特征根两种方法.相应的二次曲 线就可通过合同变换和正交变换来化简.1.1通过移轴化筒二次曲线我们知道如果平面内一点的旧坐标与新坐标分别为G, y )与(x,y),那么移轴公式为!x 1 + X0 ,式中(x ,y )为新坐标系原点在旧坐 y = y，+ y00 0标系里的坐标.转轴公式为;XC0Sa ysin侦，式中的a为坐标轴的 y = x sin a + y cos a旋转角.例1化简二次曲线方程x 2 + 4xy + 4y2 + 12x y +1 = 0解因为二次曲线的方程含有xy项，因此我们可以先通过转

5、轴消去xy项.设旋转角为a，那么由cot2a = 11 a222a12得 cot2a= 3 即 1 一削2 以=342 tan a 4所以 2tan 2 a 3tan a 2 = 0,从而得 tan a =-!或2.取 tan a 二2,21x = (x 2y )那么sin a二兰,cos a =土,所以得转轴公式为J*5把由卜十x+y)代入原方程化简整理得转轴后的新方程为5x 2+2,5 x，-5、方 +1=0.利用配方是上式化为)2_w5 y，= 0,再作移轴r = x5 ,曲线方程化为最简形式：、矿二y”X 2 _ 5 y =0.因此，上面介绍的通过转轴与移轴来化简二次曲线的方法，实际上

6、 是把坐标轴变换与二次曲线的主直径（即对称轴）重合的位置.如果 是中心曲线，坐标原点与曲线的中心重合；如果是线心二次曲线，坐标 原点可以与曲线的任何一个中心重合.因此,二次曲线方程的化简，只 要先求出曲线的主直径，然后以它作为新的坐标轴，作坐标变换即可U.1.2利用不变量化筒二次曲线二次曲线在任意给定的百角坐标系中的方程为F（x,y）= a x2 + 2a xy + a y2 + 2a x + 2a y + a = 0由参考文献1 我们知道,二次曲线在百角坐标变换下，有三个不变 量I,I ,I ,与一个半不变量K :1231aaaaa111213I = a + a , I = 1112 , I

7、 = aaa111222 aa31222231222aaa132333aaaa1113+2223aaaa13332333K =1例2求二次曲线5x2 6xy + 5y2 6 2x + 2寸2y 4 = 0的简化方程.解 因为 I =10 I =16 I =-128.所以L = 3=-8,123I 162而特征方程人2-10人+16=0的两根为人=2,人=8,所以曲线的简化方程为:2x2+8y2 -8=0,2曲线的标准方程为抒+ 22 = 1,这是一个椭圆.41以上1.1和1.2是用通常的方法化简二次曲线，现在我们用二次型的理 论来求解化简二次曲线.1.3利用正交变换来化筒二次曲线我们知道，因为

8、任意实二次型)=W a x xi,jT=XAX , X =(气,x2，L ,x),A =(a )司nxn都可以用正交变换化为平方和f =X y 2+人2 2 +人2 2，这里 1 12 2n n人(i = 1,2,n)是A的全部特征值.利用高等代数里面所学的相关知识，化一个二次型为标准型通常用的方法是特征根法，相应的将一条二次曲线化为标准型可以用正交 变换，用它来化简出的标准型是唯一的.从而离心率、面积、双曲线的 渐近线及其斜率等性质都可以知道，有利于研究曲线的几何性质.例3化简二次曲线x2 xy + y 2 + 2x 4y = 0F (x, y)= x 2 y +1 = 0得中心坐标为(0,

9、2)，取(0,2)为新原点解因为如1-，0所以曲线为中心二次曲线.解1 一F (x, y)= x + y 2 = 022x 1 0 0-x 作移轴y=0 1 2y10 0 11则原方程变为:1 0x y，,1 0 10 21 0 0x12112200 1 2 y0 0 1 jl 1=x2 xy + y2 4 = 00,求出矩阵S 2的特征值为福1善o=T作_ 1F10，转轴公式xy1xr1，化为 L 对2+y24 = 022现在的二次型为A= -土 120031X =，人=12 2 2对于人=2,其单位正交的基础解系为1=1 2M 知对于人=L,其单位正交的基础解系为_L2 2IV2 V2J所

10、以标准方程为:cV 2F88x3-i例5化简二次曲线” + I2xy + * 4/2x + 4、伍y = 06，其特征多项式解因为式子中的二次项构成了实二次型/G,y)= %2 +12xy + y2 它的矩阵 A =6为:f (人=1-1-6-6X-1(X-7)(X + 5)即A的特征值x =7,X =512当X =7 ,X =5时A的特征向量分别为a =(1,1),a =(-1,1)1212单位化得& =1以p ,p为列向量作正交矩阵Q =1v21x=4 x- y* 带入原方程得7X25声+ ” = 011y=72 七y再进行配方移轴可得标准方程：7x2 5y2 = 16 （双曲线）.5例6

11、求二次曲线x2 + 2xy + y2 -8x + 4 = 0标准方程3正交变换为1解二次曲线的矩阵形式x,y,1 141 4】x1 0 y04|_1易知该曲线的主直径方程为x + y-2 = 0所以曲线与主直径的交点为=0得七=2,气=0.(1,1).又因为I = 0,所以|XE-1212当七=2,气=0时，其特征向量分别a 1 =（1,1）,a2 =（-1,1）.史密特正交化得p1(11 ( 11 hr福J,p 2=卜把,把J则令Q =作正交变换可化简为(11 小(11(11 -4整姐111 八11,F皿01 1 0-4 0 4 /步竟1111V7001t7t7(矿 y，,1)x yt17整

12、理得x2 = 2巨y （抛物线）.2二次曲线的性质2.1二次曲线的曲率在解析几何中，我们学习了曲线论，知道曲线在平面中的一些性质, 我们学习了如何用曲线的主直径，渐近线，渐进方向和曲线的中心来刻 画曲线的性质.而在微分几何中我们进一步学习了曲线在空间中的性 质，我们用曲率4来刻画空间曲线在某点邻近的弯曲程度.我们知道二 次曲线的三大代表类型有椭圆、抛物线、双曲线，现在我们由曲率来 推导一些二次曲线的性质.2.1.1椭圆的曲率及性质椭圆的方程为三+站=1,可得其参数方程为；=。C0S a2 b2I j = b sin 则椭圆可表为；甥=(a cos, b sin ,0 ), 嘴号=(-a cos

13、, -b sin ,0 )ire.uuuii uuuuu i-acosure2b cos-b sin ire0 =(0,0, ab)又因为曲线的曲率方程为k ()=u irr x rirr 3ab(a2 - sin2 + b2 cos2 )2则 r,(0 yx r()= -a sin因为椭圆的对称性，现在只考虑y轴上半轴.再判断椭圆曲率的单调性，不妨先设a b,k，() =ab土 (a2 sin2 0 + b2 cos2 0 E sin2 +b 2 cos20 /3 sin 20 (a2 b2)0 0,k()0 所以 k()在0二为减函数;k 2)兀v 20 v 2兀sin29 v0,kf(0

14、)0或p 0时,即在x的正半轴，弯曲程度最大是在cos9 =1时双曲线的曲率k (9)=a，又因为双曲线是中心对称,所以在X的负半轴最大 b 2弯曲程度仍为a .b22.2二次曲线的重要性质首先规定,当二次曲线给定后这二次曲线中不改变的量,成为这 二次曲线的定值.研究发现,二次曲线中有很多定值.现在我们把它们 总结在一起.2.2.1椭圆中的定值5例1(i) 椭圆的两个焦点到它的任一切线的距离之积，为定值.(ii) 过椭圆长轴端点的两条切线,夹在长轴与任一切线间的线段 的积为一定值.(iii) 椭圆中互相垂直的两半直径的倒数平方和为定值.(iv) 椭圆的任意两共轭直径长的平方和为定值.2.2.2

15、双曲线的定值6例 2(i) 双曲线上任一点到两条渐近线距离之积是定值.(ii) 双曲线准线上任一点到两焦点距离平方差的绝对值为一定 值.(iii) 以双曲线两共轭直径的端点为顶点的四边形，这四边形是平 行四边形且面积为定值.(iv) 双曲线任一焦点弦的两个端点到焦点的距离的倒数和为一 定值.2.2.3抛物线的定值7例3(i )过抛物线对称轴上一定点的任一弦的端点到这对称轴的距离 之积为常数.(ii)抛物线任一焦点弦两个端点到焦点的距离倒数之和为一定 值.3二次曲线的应用3.1二次曲线的光学性质细心发现，生活中充满着二次曲线的影子.比如我们把汽车的镜 前灯卸掉，会发现它是一个抛物面，而抛物面是由

16、抛物线的旋转得到 的，那么抛物线等二次曲线有什么光学性质呢？3.1.1抛物线的光学性质如图一，设抛物线的焦距为f,焦点F(f ,0).那么易得抛物线的方程为y2 = 4fx.设从焦点F发出的光线与抛物线交与Pm,2m.不妨设 If Jm0,则 y = 2fT .由导数公式算出P处切线斜率：kp根据光的反射性质，反射面切线平分入射光线与反射光线的夹角8.当PF斜率不存在时，p(f ,2 f ) ,P处的切线斜率为1,因此反射光 线斜率为0.即反射光线平行于x轴.当PF斜率存在时（设为k）,则k = 2m = 2m f ,因为 11 竺-f m 2 -f 2f艾tan 20 = m-=2：匕.因此

17、tan20 = k即PF仰角为P点处切线仰角 1 m 2的两倍，因此反射光线PQ与x轴平行.因此,二次曲线的一条重要的光学性质:从抛物线焦点处发出的光线，经抛物线反射后，反射光线平行于 抛物线主光轴.由于光路可逆，平行于抛物线的主光轴光线经过抛物线反射后, 反射光线所在的直线会聚于焦点.根据这个性质，可以制作抛物线形状的镜子-凸面镜和凹面镜.如图二，当物体A,B位于主轴附近时,可近似的认为PO垂直OA而生=匹=匹=f，又因为丑=UAB AB FA v fAB v因此工=uV f v因此面镜成像与透镜有相似的性质：（v0为虚像，凹面镜f0）1 = 1 +1 （u:物距,v:像距） f u V凸面

18、镜与凹透镜相似，总能形成正立，缩小的虚像（因为f0）;凹面镜成 像与凸透镜相似,当uf时呈正立，放大的虚像,当u=f时不成像,当 fu2f时呈倒立缩小的实像.抛物线的光学性质非常有用，前面提到的汽车前灯，就是灯泡装 在抛物面的焦点处，用平行光线照亮路面;太阳能热水灶的原理就是 利用巨大的抛物面聚集日光来加热;将光线通过红宝石激光器可得激 光，这通常需要大量的红宝石，而如果用凹面镜把光线聚集起来，则可 大大减少红宝石的用量回.3.1.2椭圆,双曲线的光学性质抛物线有奇特的光学性质，同样椭圆双曲线也有一些光学性质：从椭圆或双曲线的一个焦点发射的光线，经反射后，反射光线所 在的直线过另一个焦点10

19、.个取双曲线上任意一点P（P不在y轴上），设P（m,n），则P点处切线斜率:PF斜率：1PF斜率：1bma /a 2 + m2k _ yp - yF _ b 寸a 2 + m2 - a 寸a 2 + b 21 x - xa mk Jp - % b Ja2 + m2 + a 寸a2 + b22 x - xa m因此可以求出PF与PF仰角之和（设为a ）的正切2a - b - m va 2 + m2值:tana =_1 - k ka2 m2 + a4 - b2 . m2也可求出P点处切线仰角0二倍角的正切2a - b - m fa 2 + m 22k：tan20广 H2 a2 m2 + a4 -b

20、2 m2p因此 tan 20 = tan a,即 a = 20因此P点处切线平分PF与PF的夹角.即从一个焦点处发出的光 线经双曲线反射后,反射光线所在直线过另一个焦点.同样也能证明:从椭圆一个焦点发出的光线经椭圆反射后，反射 光线经过另一个焦点.参考文献1 吕林根.解析几何M.北京：高等教育出版社,2006.4.2 王萼芳.高等代数M.北京：高等教育出版社,2007.11.徐光顺.二次曲线度量分类中的标准方程J.高等函授学报(自然科学 版)，2010,10 (4):223-224.4 梅向明.微分几何M.北京:高等教育出版社,2008,5.5 姜衡年.二次曲线的定值J.昆明师专学报(自然科学

21、版),10 (1):254-255.6 二次曲线的一个重要性质及其应用J.数学教学，2007.2 ( 26 )7 非退化二次曲线的另一类分类及其性质J.数学学报，数学教学,2007.2( 26 ) :24-258 百度文库 http/9 何郁波.线性代数中二次型应用的研究J.怀化学院学报,2009,2 ( 28 )：30-35.10 李尔源.二次曲线的判定、化简及作图J.绍兴文理学院 报,2001,21 (4):34-37Simplification, properties and applications of the second curveREN Li-juanAbstract:This

22、 will simplify the second curve and be summarized in several ways.And to highlight the way of using the contract and the orthogonal transformation to simplify the simple quadratic curve.To achieve a combination of analytic geometry and advanced algebra.And further summarizes some properties of quadratic curves and applications.Key words: Orthogonal change;Curvature;Optical properties.