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1、第3章辅导控制系统典型的输入信号1. 阶跃函数阶跃函数的定义是0, t0式中A为常数。A等于1的阶跃函数称为单位阶跃函数，如图所示。它表示为 xr(t)=l(t), 或 xr(t)=u(t)单位阶跃函数的拉氏变换为Xr(s)=L1(t)=1/s在t=0处的阶跃信号，相当于一个不变的信号突然加到系统上；对于恒值系统，相当 于给定值突然变化或者突然变化的扰动量;对于随动系统，相当于加一突变的给定位置信号。单位航氐函散2. 斜坡函数这种函数的定义是0, t 0式中A为常数。该函数的拉氏变换是Xr(s)=LAt=A/s2这种函数相当于随动系统中加入一按:恒速变化的位置信号，该恒速度为A。当A=l时，
2、称为单位斜坡函数，如图所示。3. 抛物线函数如图所示，这种函数的定义是0, t v 0七“， 0式中A为常数。这种函数相当于随动系统中加入一按照恒加速变化的位置信号，该恒 加速度为A。抛物线函数的拉氏变换是Xr(s)=LAt2=2A/s3当A=1/2时，称为单位抛物线函数：即Xr(s)=1/s3。4. 脉冲函数这种函数的定义是r n 一 一 ,0 V t V(T 0) 尤(t) = 0, t V 0, t (T 0)式中A为常数，8为趋于零的正数。脉冲函数的拉氏变换是 启 Xr(占)临-=AL 项 -当A=1，8-0时，称为单位脉冲函数5(t)，如图所示。单位脉冲函数的面积等于1, 即单位脉冲
3、函数上Ms (t )dt = 1在t=t处的单位脉冲函数用5 (t-t0)来表示，它满足如下条件幅值为无穷大、持续时间为零的脉冲纯属数学上的假设，但在系统分析中却很有用处。单位脉冲函数5 (t)可认为是在间断点上单位阶跃函数对时间的导数，即反之，单位脉冲函数5 (t)的积分就是单位阶跃函数。控制系统的时域性能指标对控制系统的一般要求归纳为稳、准、快。工程上为了定量评价系统性能好坏，必须给 出控制系统的性能指标的准确定义和定量计算方法。1动态性能指标动态性能指标通常有如下几项：延迟时间七 阶跃响应第一次达到终值h(8)的50%所需的时间。 d上升时间t 阶跃响应从终值的10%上升到终值的90%所
4、需的时间；对有振荡的系统， r也可定义为从0到第一次达到终值所需的时间。峰值时间t 阶跃响应越过稳态值h(8)达到第一个峰值所需的时间。p调节时间t 阶跃响到达并保持在终值h(8) 土5 %误差带内所需的最短时间;有时也用 s终值的土2 %误差带来定义调节时间。超调量。% 峰值h(t )超出终值h(8)的百分比，即ph(t ) 一 h(s)。 = Px 100 %h(s)在上述动态性能指标中，工程上最常用的是调节时间t (描述“快”)，超调量b % (描 s述“匀”)以及峰值时间tp。2稳态性能指标稳态误差是时间趋于无穷时系统实际输出与理想输出之间的误差，是系统控制精度或抗干扰能力的一种度量。
5、稳态误差有不同定义，通常在典型输入下进行测定或计算。一阶系统的阶跃响应一.一阶系统的学模型由一阶微分方程描述的系统，称为一阶系统。一些控制元部件及简单系统如RC网络、 发电机、空气加热器、液面控制系统等都是一阶系统。因为单位阶跃函数的拉氏变换为R(s)=1/s，故输出的拉氏变换式为111 T=Ts +1 s s Ts +1取C(s)的拉氏反变换得c(t) = 1 e t或写成c(t) = c + c-1式中，css=1，代表稳态分量；ctt =e T代表暂态分量。当时间t趋于无穷，暂态分 量衰减为零。显然，一阶系统的单位阶跃响应曲线是一条由零开始，按指数规律上升并最终 趋于1的曲线，如图所示。
6、响应曲线具有非振荡特征，故又称为非周期响应。一阶系统的单位阶跃响应二阶系统的阶跃响应2ns 2 + 2。 s + 2nn典型二阶系统方框图，其闭环传递函数为：中。=牛=K / s(Tms + D = _K_Rs) 1 + K / s(T s +1) T s 2 + s + K式中Kv-开环增益；K%-无阻尼自然频率或固有频率，七=I节；m尸 1Z-阻尼比，。-。2y二阶系统的闭环特征方程为s2+2Zns+2n=0其特征根为1.临界阻尼(Z =1)其时域响应为n上式包含一个衰减指数项。c(t)为一无超调的单调上升曲线，如图3-8b所示。(a)(b)(c)ZN1时二阶系统的特征根的分布与单位阶跃响
7、应2.过阻尼(Z1)具有两个不同负实根*, % =-(提也2 1 )3 n 的惯性环节单位阶跃响应拉氏变换 式。其时域响应必然包含二个衰减的指数项，其动态过程呈现非周期性，没有超调和振荡。 图为其特征根分布图。3.欠阻尼(0ZV1)图3-9 0 0，a 0，a 0，a 0，(a a 一 a a ) 001231 20 3系统的特征方程为s 5 + 2 s 4 + s 3 + 3s 2 + 4 s + 5 = 0试用劳斯判据判断系统的稳定性。解计算劳斯表中各元素的数值，并排列成下表s 5114s 4235s 3-130s 2950s 132s 05由上表可以看出，第一列各数值的符号改变了两次，由
8、+2变成-1，又由-1改变成+9。 因此该系统有两个正实部的根，系统是不稳定的。（2）某行第一列的系数等于零而其余项中某些项不等于零的情况在计算劳斯表中的 各元素的数值时，如果某行的第一列的数值等于零，而其余的项中某些项不等于零，那么可 以用一有限小的数值8来代替为零的那一项，然后按照通常方法计算阵列中其余各项。如果 零（8 ）上面的系数符号与零（8 ）下面的系数符号相反，则表明这里有一个符号变化。例如，对于下列特征方程式s 4 + 2 s 3 + s 2 + 2s + 1 = 0劳斯表为s 4111s 3220s2 8 （Q 0） 1s 12 -8s01_，一，皿工，c 2现在观察第一列中的
9、各项数值。当8趋近于零时，2-的值是一很大的负值，因此可 8以认为第一列中的各项数值的符号改变了两次。由此得出结论，该系统特征方程式有两个根 具有正实部，系统是不稳定的。如果零（8 ）上面的系数符号与零（8 ）下面的系数符号不变，则表示系统有纯虚根。例如，对下列特征方程式s3 + 2s2 + s + 2 = 0劳斯表为S 311s 2 2 2s 1s 0 2可以看出，第一列各项中8的上面和下面的系数符号不变，故有一对虚根。将特征方程 式分解，有(s 2 +1)( s + 2) = 0解得根为-P12 = j1, - p3 =-2(3)某行所有各项系数均为零的情况 如果劳斯表中某一行的各项均为零
10、，或只有等于 零的一项，这表示在s平面内存在一些大小相等但符号相反的特征根。在这种情况下， 可利用全零行的上一行各系数构造一个辅助方程，式中s均为偶次。将辅助方程对s求导， 用所得的导数方程系数代替全零行，然后继续计算下去。至于这些大小相等，符号相反的根， 可以通过解辅助方程得到。系统特征方程式为s 6 + 2 s 5 + 8s 4 + 12s 3 + 20 s 2 + 16s +16 = 0试用劳斯判据判断系统的稳定性。解劳斯表中的s6s 3各项为s 618 20 16s 5212160s 4168s 30 00由上表可以看出，s 3行的各项全部为零。为了求出s 3-s 0各项，将s 4行的
11、各项组成辅 助方程为A( s) = s 4 + 6 s 2 + 8将辅助方程A(s)对s求导数得dA( s)=4s 3 + 12s ds用上式中的各项系数作为s 3行的各项系数，并计算以下各行的各项系数，得劳斯表为s 6182016ss212160s4168s 3412s 2384s 1一3s 08从上表的第一列可以看出，各项符号没有改变，因此可以确定在右半平面没有特征方程 式的根。另外，由于s 3行的各项皆为零，这表示有共轭虚根。这些根可由辅助方程求出。 本例中的辅助方程式是s 4 + 6s 2 + 8 = 0由之求得特征方程式的大小相等符号相反的虚根为-气= 点，-P 3,4 = j2，P
12、 5,6 =T j2稳态误差及其计算误差本身是时间t的函数，在时域中以。&)表示。稳定系统误差的终值称为稳态误差。过 即为误差信号的稳态分量，则稳态误差为sse = lim e(t)= lim sE (s)t3s 0系统的误差传递函数E1Rs) 1 + G (s) H (s)E (s )=1 + G (s) H (s)将系统误差的拉氏变换E(s )代入(3-38)，得稳态误差的计算公式为e = limsR(s)_ss1 + G (s) H (s)s0控制系统的型别控制系统的一般开环传递函数可以写成k n (Ts+1)G (s) H (s)=sNI-n(T s +1)=1式中Kk为开环放大系数或
13、称为开环传递系数；T、T为时间常数；N表示开环传递函 数中串联的积分环节个数。这是一个很重要的结构参数。根据N的数值，可将系统分为几 种不同类型。N=0的系统称为0型系统；N=1的系统称为I型系统；N=2的系统称为II 型系统。当N2时，要使系统稳定是很困难的。因此，一般采用的是0型、I型和II型系 统。典型输入下系统的稳态误差对于不同输入函数，下面分析系统的稳态误差。1. 单位阶跃输入下的稳态误差单位阶跃输入(R (s )=上)下的系统稳态误差，由式(3-40)得 se = lims1 =1ss1 + G(s)H (s) s 1 + G(s)H (s)s0定义k = lim G (s) H
14、(s)S T0k 称为位置误差系数，则e =ss0型系统的稳态误差为1e =ss 1 + KkI型或高于I型的系统的位置稳态误差为ess2. 单位斜坡输入下的稳态误差ess=lims1 + G (s) H (s) s T01 1s 2 lim sG (s) H (s)定义、称为速度误差系数。则对于0型系统所以对于I型系统所以对于II型或更高型系统s T0K = lim sG (s) H (s)sT01e =ss KVk JimfS = 0vs 项 s 0 n (T s+1)j=1e =8k = lim sK = ksT0sl (T s +1)j = 111e =ss 、K单位斜坡输入(#&)=
15、1 )的系统稳态误差 s 2K 回(Ts +1)k = lim s 日=8v s 项 s 2 n(T s+1)j=1所以孔=0,0型系统不能跟踪斜坡输入；单位反馈的I型系统能跟踪斜坡输入，但总有一 定误差，3. 单位抛物线输入下的稳态误差定义K = lims T0K.称为加速度误差系数ess对于0型系统所以对于I型系统所以对于II型系统所以=lim s 2s T0e =8Kk n (Ts +1) i=1 s 0 n (t s+1)j=1Kk 回(Ts +1)k = lim s 2日=0a st。s 1 n (Ts+1)j=1e =8slim s 2 K = kstos 1 n (T s+1)j=11e =ss kk由此可知，0型和I型系统都不能跟踪抛物线输入，1型系统能跟踪抛物线输入，但存 在稳态误差。典型输入信号作用下的稳态误差和误差系数系统型别静态误差系数阶跃输入r (t)= A 1(t)斜坡输入r (t) = A t,、A 12 加速度输入r (t)=KPKVKa位置误差e = Ass 1 + KpA速度误差e=ss KVA加速度误差e一ss Ka0K001A88I8K00A8II88K00_A减小稳态误差的方法1. 引入给定量顺馈2. 引入扰动量顺馈
