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1、,概率论与数理统计第十二讲,主讲教师：柴中林副教授,中国计量学院理学院,前面介绍了随机变量的数学期望。数学期望体现了随机变量取值的平均水平，是随机变量的重要的数字特征。,但在一些场合，仅仅知道平均值是不够的，还需了解其他数字特征。,4.2 方差,例如，某零件的真实长度为a，现用甲、乙两台仪器各测量10次，将测量结果X用坐标上的点表示如图：,因为乙仪器的测量结果集中在均值附近。,又如，甲、乙两门炮同时向一目标射击10发炮弹，其落点距目标的位置如图：,甲炮射击结果,乙炮射击结果,因为乙炮的弹着点较集中在中心附近。,为此需要引进另一个数字特征，用它来度量随机变量取值偏离其中心(均值)的程度。,这个数
2、字特征就是我们要介绍的方差。,4.2.1 方差的定义,注:有的书上也将Var(X)记成 D(X)。,定义1:设 X 是一随机变量，若EX-E(X)2 存在,则称其为X 的方差，记成 Var(X)，即 Var(X)=EX-E(X)2;(1),并称 为X的标准差。,采用平方是为了保证一切差值X-E(X)都起正的作用,若X 的取值比较分散，则方差较大。,若方差Var(X)=0，则 X 以概率1取常数。,方差刻划了随机变量的取值对于其数学期望的偏离程度。,若X 的取值比较集中，则方差较小；,均值E(X),X为离散型，PX=xk=pk,由定义知，方差是随机变量X的函数g(X)=X-E(X)2的数学期望。
3、,X为连续型，f(x)为密度。,计算方差的一个简化公式,Var(X)=E(X2)-E(X)2.,展开,证：Var(X)=EX-E(X)2,=EX2-2X E(X)+E(X)2,=E(X2)-2E(X)2+E(X)2,=E(X2)-E(X)2.,利用期望性质,例1：设 X 服从几何分布，概率分布为,P(X=k)=p(1-p)k-1,k=1,2,其中 0p1,求 Var(X)。,解：,记 q=1-p，则,交换求和与求导次序,无穷递缩等比级数求和公式,求 Var(X)。,例 2：设连续型随机变量X 的密度函数为:,解：,例3：设X为某加油站在一天开始时贮存的油量，Y 为一天中卖出的油量(当然YX)。
4、设(X,Y)具有概率密度函数,这里1表明1个容积单位，求每日卖出的油量Y 的期望与方差。,解：当 y 1 时,当0y1时,4.2.2 方差的性质,(1).设C是常数,则Var(C)=0;,(2).若C是常数，则Var(CX)=C2 Var(X);,(3).若X1与X2 独立，则 Var(X1X2)=Var(X1)+Var(X2);,可推广为：若X1,X2,Xn相互独立，则,(4).Var(X)=0 P(X=C)=1，这里C=E(X)。,例4：设随机变量X 的期望和方差分别为E(X)和Var(X)，且Var(X)0，求,解：,4.2.3 几种常用随机变量的方差,1.两点分布,若 X B(1,p)，则 Var(X)=p(1-p)；,2.二项分布,若 X B(n,p)，则 Var(X)=n p(1-p)；,3.泊松分布,若 X P()，则 Var(X)=；,利用前面讲过的 E(X)=，得,而,4.均匀分布,若 X U(a,b)，则,利用E(X)=(a+b)/2，得,5.指数分布,6.正态分布,若 X N(,2)，则,例5：设随机变量X N(,2)，计算,(1).P-X+;(2).P-2 X+2；(3).P-3 X+3。,解：由(X-)/N(0,1)，得,(1).,(2).,(3).,小结,本讲介绍了随机变量方差的概念、性质及计算，给出了几种常用随机变量的方差。,
