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1、第三节 函数的极限,一、函数极限的定义,二、函数极限的性质,返回,1、自变量趋于有限值时函数的极限,注,1）语言表述 当 时有 则,一、函数极限的定义,2）表示 时 有无极限 与 有无定义没有关系.,3）任意给定后，才能找到，依赖于，且 越小，越小.,4）不唯一，也不必找最大的，只要存在即可.,几何意义 如果函数f(x)当xx0时极限为A,以任意给定一正数,作两条平行于x轴的直线y=A+和y=A-,存在点x0的邻域(x0-,x0+),当x在邻域(x0-,x0+)内,但xx0时,曲线y=f(x)上的点(x,f(x)都落在两条平行线之间。,成立,当 时,成立,证,要使,只要 且不取负值.,结论:函
2、数f(x)当xx0时极限存在的充分必要条件是左极限与右极限均存在且相等，即,左极限和右极限,证 当 时 的左极限,而右极限,因为左极限和右极限存在但不相等,所以 不存在.,小结,注：分段函数分点处的极限，要分别求左极限和右极限.,证明函数极限不存在的方法是:,(1)证明左极限与右极限至少有一个不存在,(2)或证明左极限和右极限均存在,但不相等,2、自变量趋于无穷大时函数的极限,注,1）语言表述 当 时有 则,2）的方式有两种可能：（且无限增大）,（且无限增大）,3）,且,若 或 不存在,则 不存在.,若,则 不存在.,如果函数f(x)当x时极限为A，以任意给定一正数,作两条平行于x轴的直线y=
3、A-和y=A+,则总存在一个正数X，使得当xX时，函数y=f(x)的图形位于这两条直线之间.,几何意义,例6 证明,直线 y=0是函数 的图形的水平渐近线.,一般地说,如果,则直线y=c 是函数的图形的水平渐近线.,返回,二、函数极限的性质,定理1（函数极限的唯一性）函数f(x)当xx0时极限存在，则极限必唯一.,定理2（函数极限的局部有界性）如果 则存常数M 0和0,使得当 时,有|f(x)|M.,定理3(函数极限的局部保号性),定理3,证:就A0的情形证明.,定理4(函数极限与数列极限的关系)如果极限 存在,为函数f(x)的定义域内任一收敛于 的数列,且满足:,那么相应的函数值数列 必收敛,且,返回,
