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1、高等代数实践课,系别：数学与计算机科学系班别：数应本082班姓名：蔡水月学号：0804401202,引入：,回忆：1.子空间：令w是数域F上向量空间的一个非空子集。如果W对于V的加法以及标量与向量的乘法都封闭，那么称W是V的一个子空间。*这一节课我们将学习不变子空间，大家想一下不变子空间与子空间有什么样的联系呢？下面我们比较着学习。,不变子空间,课程要求：1.了解不变子空间的定义 2.哪些是不变子空间，举例说明 3.“限制”以及它的应用 4.不变子空间的求法 5.不变子空间与一个线性变 换的矩阵的关系,定义,V的一个子空间W说是在线性变换之下不变（或稳定），如果(w)w.简单的说，如果子空间在
2、之下不变，那么w就叫做的一个不变子空间,下面，我们来看一下不变子空间的例子,例1：V本身和零空间0显然在任意线性变换之下不变。所以V本身和零空间0都是不变子空间。再看几个例子：例2：令是V的一个线性变换，那么的核Ker()和像Im()都在之下不变，所以的核Ker()和像Im()都是不变子空间。解析：事实上，对于任意 Ker()，都有（）=0 Ker()，所 以Ker()在之下不变。即：Ker()=（）=0 至于Im()在之下不变，是显然的。即：Im()=（v）,例3：V的任意子空间在任意位似变换之下不变 解析：首先请大家回忆一下“位似”的概念 位似：令V是数域上一个向量空间。取定的一个 数k.
3、对于任意V,定义()=k.容易验证,是V到自身的一个线性映射。这样的一个线性映射叫做V的一个位似。位似变换：k,例4：令是V中以某一过原点的直线L为轴，旋转一个角的旋转。那么旋转轴L是的一个一维不变子空间，而过原点与L垂直的平面H是的一个二维不变子空间。,例5：令fx是数域F上一切一元多项式所成的向量空间，：f(x)f(x)是求导数运算。对于每一自然数n，令Fnx表示一切次数不超过n的多项式连同零多项式所成的子空间。那么Fnx在之下不变。,限制,设w是线性变换的一个不变子空间。只考虑在w上的作用，就得到子空间w本身的一个线性变换，称在w上的限制，并且记作w.这样，对于任意W,w()=().然而
4、，如果W，那么w()没有意义。,现在我们来看一下：不变子空间和简化线性变换的矩阵的关系,设V是数域F上的一个n维向量空间,是V的一个线性变换。假设有一个非平凡不变子空间W，那么取W的一个基,再补充成为V的一个基,，,+,n.由于W在之下不变,所以(),(),()仍在W内,因而可以有W的基,线性表示.有：()=a+a+a，()=a+a+a，(+)=a,+a,+a+1，+1+1+an,+n(n)=a n+a n+a+1,n+1+annn.,因此,关于这个基的矩阵有形A=()，这里有A1=(),是|w关于W的基,的矩阵,而A中左下方的O表示一个（n-r）*r零矩阵。即：若线性变换有一个非平凡不变子空
5、间,那么只要适当取定V的基,就可以使与对应的矩阵中有一些元素是零.特别,如果V可以写成两个非平凡子空间W1与W2的直和:V=W1W2,那么选取W1的一个基,和W2的一个基+,n，凑成V的一个基,n.当W1 和W2都在之下不变时，容易看出,关于这样取定的基的矩阵是A=(),这里A1是r阶矩阵，它是|w1关于基,的矩阵，而A2是一个n-r阶矩阵，它是|w2关于基+,n的矩阵。,例6：令是例4所给出的V3的线性变换，显然V3是一位子空间L与二维子空间H的直和，而L和H都在之下不变。取L的一个非零向量，取H的两个彼此正交的单位长度向量,3,那么,3是V3的一个基，而关于这个基的矩阵是(),一般地，如果向量空间V可以写成s个子空间W1，W2,.,WS的直和，并且每一个子空间都在线性变换之下不变，那么在每一个空间中取一个基，凑成V的一个基,关于这个急的矩阵就有形状(),这里Ai是|wi关于所取的wi的基的矩阵。,因此，给了n维向量空间V的一个线性变换，只要能够将V分解成一些在之下不变的子空间的直和，那么就可以适当的选取V的基，使得关于这个基的矩阵具有比较简单的形状。显然，这些不变子空间的维数越小，相应的矩阵的形状就越简单。特别，如果能够将V分解成n个在之下不变的一维子空间的直和，那么与相当的矩阵就有对角形式。,谢谢,
