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1、2023/5/29,1,第一讲,元素法求平面图形的面积,第六章 定积分的应用,2023/5/29,2,一、问题的提出,回顾,曲边梯形求面积的问题,2023/5/29,3,一、问题的提出,面积表示为定积分的步骤如下,（3）求和，得A的近似值,（4）求极限，得A的精确值,2023/5/29,4,一、问题的提出,提示,2023/5/29,5,一、问题的提出,2023/5/29,6,一、问题的提出,元素法的一般步骤：,2023/5/29,7,一、问题的提出,这个方法通常叫做元素法,应用方向：,平面图形的面积；体积；平面曲线的弧长；功；水压力；引力和平均值等,2023/5/29,8,二、直角坐标系下求平
2、面图形的面积,曲边梯形的面积,曲边梯形的面积,2023/5/29,9,二、直角坐标系下求平面图形的面积,解,两曲线的交点,面积元素,选 为积分变量,问题：,积分变量只能选 吗？,2023/5/29,10,二、直角坐标系下求平面图形的面积,解,两曲线的交点,选 为积分变量,选 为积分变量,2023/5/29,11,二、直角坐标系下求平面图形的面积,如果曲边梯形的曲边为参数方程,曲边梯形的面积,2023/5/29,12,二、直角坐标系下求平面图形的面积,解,椭圆的参数方程,由对称性知总面积等于4倍第一象限部分面积,2023/5/29,13,三、极坐标系,1、平面上的极坐标系,如图所示：,极坐标系,
3、O-称为极点；Ox-称为极轴；,设M 是平面上一点，如图所示,-称为极径,-称为极角，逆时针为正，顺时针为负,-称为点M 的极坐标，记为M,2023/5/29,14,三、极坐标系,2、平面上点的极坐标表示,如下列点的表示：,平面上点M 与一对实数一一对应,表示极点，即极点的坐标为,2023/5/29,15,三、极坐标系,2、平面上点的极坐标表示,注：0时，则在角 的终点的反延线上取 M 点，使|O M|=|,平面上点M 与一对实数非一一对应,0，0,0,2023/5/29,16,三、极坐标系,3、极坐标与直角坐标的互化,(1)由极坐标化直角坐标,例 点M的极坐标为 求其直角坐标.,解：,点M的
4、直角坐标：,2023/5/29,17,三、极坐标系,3、极坐标与直角坐标的互化,(2)由直角坐标化极坐标,例 点M的直角坐标为 求其极坐标,解,点M的极坐标：,2023/5/29,18,三、极坐标系,4、曲线的极坐标方程,1)、极坐标曲线,=常数，过原点的射线,=常数，以原点为中心的圆,如=2，为半径为2的圆，直角坐标中的方程为：,如，为过原点、与x轴正向夹角为 的半射线，直角坐标中的方程为：,2023/5/29,19,三、极坐标系,4、曲线的极坐标方程,2)、极坐标方程的建立,由已知的条件，将曲线上动点的坐标 关系式表示出来，从而得到曲线的极坐标方程.,例,解：,试求经过点A(a，0)，a0
5、，而和极轴垂直的极坐标方程,如图所示，设动点为,则,或,为所求的直线方程,2023/5/29,20,三、极坐标系,4、曲线的极坐标方程,2)、极坐标方程的建立,例,求一圆过极点且圆心在极轴上，半径为a，求极坐标方程,解：,如图所示，设动点为,则,或,另：若一圆过极点且圆心在垂直极轴的直线上，半径为a，则极坐标方程为：,2023/5/29,21,四、极坐标系下求平面图形的面积,面积元素,曲边扇形的面积,2023/5/29,22,四、极坐标系下求平面图形的面积,解,由对称性知总面积=4倍第一象限部分面积,2023/5/29,23,四、极坐标系下求平面图形的面积,解,利用对称性知,2023/5/29,24,作业 P279;3；5(1,2),预习:第六章 第二节,
