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1、第二章:解三角形,1.1 正弦定理,1.问题的引入:,.,(1)在我国古代就有嫦娥奔月的神话故事.明月高悬,我们仰望夜空,会有无限遐想,不禁会问,月亮离我们地球有多远呢?科学家们是怎样测出来的呢？,(2)设A,B两点在河的两岸,只给你米尺和量角设备,不过河你可以测出它们之间的距离吗?,A,B,我们这一节所学习的内容就是解决这些问题的有力工具.,回忆一下直角三角形的边角关系?,两等式间有联系吗？,思考:,对一般的三角形,这个结论还能成立吗?,2.定理的推导,1.1 正弦定理,(1)当 是锐角三角形时,结论是否还成立呢?,D,如图:作AB上的高是CD,根椐三角形的定义,得到,1.1 正弦定理,E,
2、(2)当 是钝角三角形时,以上等式是否仍然成立?,1.1.1 正弦定理,D,（1）文字叙述,正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角 的正弦的比相等.,（2）结构特点,（3）方程的观点,正弦定理实际上是已知其中三个,求另一个.,能否运用向量的方法来证明正弦定理呢?,和谐美、对称美.,正弦定理:,因为向量 与 在y轴上的射影均为，,如图所示，以A为原点，以射线AB的方向为x轴正方向建立直角坐标系，C点在y轴上的射影为C，,即,所以,即,所以,若A为锐角或直角，也可以得到同样的结论.,同理，,变式:,正弦定理 在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比相等,即,剖析定理、加深理解,1、A+B+C=,
3、2、大角对大边，大边对大角,剖析定理、加深理解,3、正弦定理可以解决三角形中的问题：,已知两角和一边，求其他角和边,已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角，进而可求其他的边和角,剖析定理、加深理解,4、一般地，把三角形的三个角A，B，C和它们的对边a，b，c叫做三角形的元素。已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫解三角形,剖析定理、加深理解,5、正弦定理的变形形式,6、正弦定理，可以用来判断三角形的形状，其主要功能是实现三角形边角关系的转化,例1 在 已知,解三角形.,通过例题你发现了什么一般性结论吗?,小结：知道三角形的两个内角和任何一边，利 用正弦定理可以求出三角形中的其它元素。,1.1
4、 正弦定理,3.定理的应用举例,变式：若将a=2 改为c=2，结果如何？,例 2,已知a=16，b=，A=30.解三角形。,已知两边和其中一边的对角,求其他边和角,解：由正弦定理,得,所以,60,或120,C=90,C=30,当120时,4.基础练习题,1.1 正弦定理,B=300,无解,A,分析：如图所示，将BD,CE分别延长相交于一点A，在ABC中，已知BC的长及角B与C，可以通过正弦定理求AB，AC的长.,例3.某地出土一块类似三角形刀状的古代玉佩(如图所示)，其一角已破损.现测得如下数据：BC=2.57cm，CE=3.57cm，BD=4.38cm,.为了复原,请计算原玉佩两边的长（结果
5、精确到0.01cm）.,解：将BD,CE分别延长相交于一点A，在ABC中，BC=2.57cm,B=45,C=120,A=180-(B+C)=180-(45+120)=15.因为,所以利用计算器算得AC7.02(cm),同理,AB8.60(cm).,答：原玉佩两边的长分别约为7.02cm,8.60cm.,例4.台风中心位于某市正东方向300 km处，正以40 km/h的速度向西北方向移动，距离台风中心250 km范围内将会受其影响.如果台风风速不变，那么该市从何时起要遭受台风影响？这种影响持续多长时间（结果精确到0.1h）?,分析：如图所示，台风沿着BD运动时，由于|AB|=300 km250
6、km，所以开始台风影响不了城市A，由点A到台风移动路径BD最小距离|AE|=|AB|sin45所以台风在运动过程中肯定要影响城市A.这就要在BD上求影响A的始点C1和终点C2，然后根据台风的速度计算台风从C1到C2持续的时间.,解：设台风中心从点B向西北方向沿射线BD移动，该市位于点B正西方向300 km处的点A.假设经过th，台风中心到达点C，则在ABC中,AB=300 km，AC=250 km,BC=40t km,B=45.,正弦定理主要应用,(1)已知两角及任意一边，可以求出其他两边和另一角；(2)已知两边和其中一边的对角，可以求出三角形的其他的边和角。(此时可能有一解、二解、无解）,1
7、.1 正弦定理,小结:,作业,正弦定理（第二课时）,1、复习回顾正弦定理的内容,问题1 由例2我们发现，已知两边和其中一边的对角，解三角形时会出现两解的情况.还会出现其他情况吗？你能从代数或几何角度给出解释吗？提示：已知两边及其中一边的对角，用正弦定理，可能有两解、一解或无解.在ABC中，已知a，b和A时，解的情况如下：,探究点2 正弦定理解三角形,1.为锐角,2.为钝角,为直角时，与为钝角相同，ab时，一解；ab时，无解.,问题2 如图所示，在RtABC中，斜边AB是ABC外接圆的直径（设RtABC外接圆的半径为R），因此,这个结论对于任意三角形(图，图)是否成立？,提示：成立，证明如下.,
8、如图:,当ABC为锐角三角形时，,当ABC为直角三角形时，容易得证.,问题3,而,所以,小结：,2、在 中，若，则 是()A.等腰三角形 B.等腰直角三角形 C.直角三角形 D.等边三角形,1、在 中，一定成立的等式是（）,C,D,3.（2013北京高考）在ABC中，a=3,b=5,sinA=,则sinB=(),A.,B.,C.,D.1,B,B,6.在 中，c=4,a=2,C=,则=_.,5.若A,B,C是ABC的三个内角，则sinA+sinB_sinC.,通过本节课的学习:1.掌握正弦定理的表示形式及证明正弦定理的向量方法.2.学会运用正弦定理解决两类基本的解三角形问题.（1）已知两角及一边；（2）已知两边和其中一边的对角.,一解,一解,无解,absinA,a=bsinA,bsinAab,ab,ab,ab,无解,一解,两解,一解,无解,一解,条件,图形,总结,
