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1、1、正项级数的概念,2、(1)比较判别法 比较判别法的极限形式,(2)比值判别法(达朗贝尔判别法）,正项级数及其审敛法,(3)根值判别法（柯西判别法）,一、正项级数及其审敛法,1.定义:,2.基本定理,3.Th2.比较判别法:,4.Th3.比较判别法的极限形式(比较判别法2):,比较审敛法的不便:,须有参考对象（基准级数),记忆基准级数:几何级数,P-级数,调和级数.,达朗贝尔是法国著名的物理学家、数学家和天文学家，一生研究了大量课题，完成了涉及多个科学领域的论文和专著，其中最著名的有八卷巨著数学手册、力学专著动力学、23卷的文集、百科全书的序言等等。他的很多研究成果记载于宇宙体系的几个要点研
2、究中。达朗贝尔生前为人类的进步与文明做出了巨大的贡献，也得到了许多荣誉。但在他临终时，却因教会的阻挠没有举行任何形式的葬礼。,1717年1783年,5.Th4.达朗贝尔比值判别法,达朗贝尔是法国数学家，力学家，哲学家。出生后被遗弃在巴黎街头，幸被巡逻的宪兵发现，然后交给了一位贫穷而又善良的玻璃匠抚养，并送他上了大学，他的数学几乎全靠自学，22岁时向法国科学院提交了两篇论文，其中一篇提出了著名的“达朗贝尔疑题“。1741年，年仅24岁便当上了科学院院士，他的才能显示后，他的生母试图认他，但遭到了拒绝，他说“玻璃匠的妻子是我的母亲”。正项级数的收敛性的判别法是在1768年“数学论丛”上发表的。“达
3、朗贝尔原理”是力学中基本原理之一，在天文学方面他建立了行星摄动理论。达朗贝尔还是18世纪思想启蒙运动的杰出代表。他的名言是“向前进，你就会产生信念”。拉格朗日（1736-1813）是法国数学家，力学家，天文学家，1736年1月25日出生在意大利的都灵，19岁被皇家炮兵学院聘任为数学教授。1766年经欧拉推荐，普鲁士国王要在拉格朗日来柏林，国王说“我-欧洲最伟大的君王，希望你-欧洲最伟大的数学家到我的宫廷来”，在柏林的20年间，完成了牛顿以后最伟大的经典力学著作“分析力学”。这本书他从19岁起酝酿，经33年而完成，出版时他已52岁，这是一本不朽的著作。法国资产阶级大革命期间下令所有外国人出境，但
4、特别声明拉格朗日是这法令的例外，可见当时人们对拉格朗日的崇敬。,柯西（1789-1857）是法国数学家，1809年当上了一名工程师，后听从拉格朗日和拉普拉斯的劝告转攻数学。1816年晋升为巴黎综合工科学院的教授。他的一生写的论文800多篇。出版专著7本，全集共27卷。从23岁写出第一篇文到68岁逝世的45年中，平均每月发表两篇论文。仅1849年8月至12月的科学院9次会上，他就提交24篇短文和15篇研究报告。一生中最大贡献之一是在微积分中引进严格的方法。1821年出版的“分析教程”以及以后的“无穷小计算讲义”和“无穷小计算在几何中的应用”具有划时代的价值。其中给出了分析学一系列基本概念的严格定
5、义。.柯西是一位多产的数学家，他的全集从1882年开始出版到1974年才出齐最后一卷，总计28卷。洛必达（1661-1704）是法国数学家，青年时期一度任骑兵军官，因眼睛近视而自行告退，他是约翰.伯努利的学生。成功地解答过他老师提出的“最速降线”问题。他的最大功绩是写了世界第一本系统的微积分教程-“用于理解曲线的无穷小分析”。为在欧洲大陆，特别是在法国普及微积分起了重要的作用。,比值判别法的优点:,不必找参考级数.,两点注意:,适用于含因式乘积和阶乘项的级数。,2.是充分非必要条件,解,比值审敛法失效,改用比较审敛法,柯西（Cauchy，Augustin Louis 1789-1857）,柯西
6、出生生于巴黎，他在纯数学和应用数学的功力是相当深厚的，在数学写作上，他是被认为在数量上仅次于欧拉的人，他一生一共著作了789篇论文和出版专著7本，全集共27卷。据说，法国科学院“会刊”创刊的时候，由于柯西的作品实在太多，以致于科学院要负担很大的印刷费用，超出科学院的预算，因此，科学院后来规定论文最长的只能有四页，所以，柯西较长的论文只得投稿到其它地方。并且在数学领域，有很高的建树和造诣。很多数学的定理和公式也都以他的名字来称呼，如柯西不等式、柯西积分公式，柯西判别法，柯西积分定理，柯西-施瓦茨不等式，柯西分布，柯西数列，柯西-黎曼方程，柯西乘积，柯西-比内公式，柯西-欧拉方程，柯西方程，柯西问题，柯西边界条件，柯西面，积分检验,Th5.柯西根值判别法,级数收敛.,例5:判定下列级数的敛散性,内容小结,2.判别正项级数敛散性的方法与步骤,必要条件,发 散,满足,比值判别法,根值判别法,收 敛,发 散,不定,比较判别法1、2,用它法判别,积分判别法,部分和极限,补充：柯西积分判别法,解：,解：,思考题,思考题解答,由比较判别法知 收敛.,反之不成立.,例如：,收敛,发散.,练 习 题,练习题答案,
