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1、湘潭大学数学与计算科学学院,1,一、正项级数及其判别法,二、交错级数及其判别法,三、任意项级数及其敛散性判别法,四、小结,3.5 常数项级数的判别法,湘潭大学数学与计算科学学院,2,引例 判断调和级数,的敛散性,解调和级数的部分和为,一、正项级数及其判别法,湘潭大学数学与计算科学学院,3,阴影部分的总面积为,阴影部分的第一块矩形面积为,第二块矩形面积为,第n块矩形面积为,湘潭大学数学与计算科学学院,4,由此可知，调和级数发散,湘潭大学数学与计算科学学院,5,若,则称,为正项级数.,定理 正项级数,收敛,部分和序列,有界.,若,收敛,则,部分和数列,有界,故,从而,又已知,收敛，故有界.,单调递
2、增,收敛,也收敛.,湘潭大学数学与计算科学学院,6,定理（比较判别法）对于正项级数,湘潭大学数学与计算科学学院,7,即部分和数列Sn 有界，,由定理可知级数,收敛,(2)反证法：,湘潭大学数学与计算科学学院,8,例1 讨论 p-级数,(常数 p 0),的敛散性.,解 1)若,因为对一切,而调和级数,由比较判别法可知 p-级数,发散.,发散,湘潭大学数学与计算科学学院,9,因为当,故,考虑级数,的部分和,故级数收敛,由比较判别法知 p-级数收敛.,时,2)若,湘潭大学数学与计算科学学院,10,证明级数,发散.,证 因为,而级数,发散,根据比较判别法可知,所给级数发散.,例2,湘潭大学数学与计算科
3、学学院,11,湘潭大学数学与计算科学学院,12,定理(比较判别法的极限形式),则有,两个级数同时收或发散;,(2)当 l=0,(3)当 l=,设两正项级数,满足,(1)当 0 l 时,敛时，,也收敛；,发散时，,发散.,湘潭大学数学与计算科学学院,13,证 据极限定义,对,由定理 可知,同时收敛或同时发散;,(1)当0 l 时,(2)当l=0时,由定理,当 nN 时,湘潭大学数学与计算科学学院,14,收敛,3.5.2 知，若,(3)当l=时,即,由定理可知,若,发散,发散.,当 nN 时，,湘潭大学数学与计算科学学院,15,特别取,可得如下结论:,对正项级数,发散.,收敛.,例3 判别级数,的
4、敛散性.,解,根据比较判别法的极限形式知,发散.,湘潭大学数学与计算科学学院,16,的敛散性.,例4 判别级数,解,根据比较判别法的极限形式知,收敛.,注 调和级数与 p 级数是两个常用的比较级数.,湘潭大学数学与计算科学学院,17,证,由,知,故正项级数,收敛,再由比较判别法知:,正项级数,收敛,而,收敛.,湘潭大学数学与计算科学学院,18,定理（比值判别法，DAlembert判别法）,设,为正项级数,且,则,(1)当,(2)当,时,级数收敛;,或,时,级数发散.,证(1),湘潭大学数学与计算科学学院,19,根据极限的定义可知，总存在N0,使得当,时，有,湘潭大学数学与计算科学学院,20,收
5、敛,由比较判别法可知,收敛.,因此,所以级数发散.,时,(2)当,从而,当,时，,湘潭大学数学与计算科学学院,21,例如，,但是,级数收敛;,级数发散.,湘潭大学数学与计算科学学院,22,例6,判定级数,的收敛性.,解,因为,根据比值判别法可知所给级数发散。,湘潭大学数学与计算科学学院,23,例7 判定下列级数的敛散性：,解(1)因为,根据比值判别法可知所给级数收敛；,湘潭大学数学与计算科学学院,24,(2)因为,根据比值判别法可知所给级数发散,湘潭大学数学与计算科学学院,25,定理（根值判别法，柯西（Cauchy）判别法）,设,为正项级数,且,则,(1)当,(2)当,时,级数收敛;,或,时,
6、级数发散.,定理的证明与定理的类似，这里从略,湘潭大学数学与计算科学学院,26,解因为,根据定理可知级数收敛,湘潭大学数学与计算科学学院,27,例9 判别级数,的敛散性，其中，x0,a0为常数.,解 记 则,即,由根值判别法，有,当xa时，,当0 xa时，,级数发散；,级数收敛.,湘潭大学数学与计算科学学院,28,当 x=a 时，=1,但,故原级数发散.,综上所述，当 0 xa 时，原级数收敛.当 x a时，原级数发散.,湘潭大学数学与计算科学学院,29,则各项符号正负相间的级数,称为交错级数.,设,定理（莱布尼兹(Leibniz)定理）,二、交错级数及其判别法,湘潭大学数学与计算科学学院,3
7、0,则级数收敛，且其和,其余项满足,或,根据条件(1)可知：,湘潭大学数学与计算科学学院,31,是单调递增有界数列,故,又,故级数收敛于S,且,其余项满足,湘潭大学数学与计算科学学院,32,例10 判别级数,的敛散性.,解：这是一个交错级数，,又,令,x2,+)，则,x，,故 f(x)在2,+)上单调减少，即有unun+1成立，,由莱布尼兹判别法，该级数收敛.,湘潭大学数学与计算科学学院,33,解 该级数是一个交错级数，由于,由莱布尼兹定理可知，该级数收敛,湘潭大学数学与计算科学学院,34,如果取前n项的和,湘潭大学数学与计算科学学院,35,如果级数,如果级数,三、任意项级数及其敛散性判别法,
8、湘潭大学数学与计算科学学院,36,为条件收敛.,均为绝对收敛.,例如：,证由于,湘潭大学数学与计算科学学院,37,由已知条件知级数,收敛，由正项级数,比较判别法知，级数,收敛，由级数,的性质，可知,收敛,湘潭大学数学与计算科学学院,38,推论任意项级数,如果,则,湘潭大学数学与计算科学学院,39,推论任意项级数,如果,则,湘潭大学数学与计算科学学院,40,说明:,当,时，若级数,收敛，则必为条件收敛.,例12判定下列级数的敛散性：,解(1)考察正项级数,因为,湘潭大学数学与计算科学学院,41,而级数,收敛，由比较判别法可知，级数,收敛，所以原级数绝对收敛,湘潭大学数学与计算科学学院,42,(2
9、)该级数为交错级数，因为,由莱布尼兹定理可知，该级数收敛,但是,湘潭大学数学与计算科学学院,43,而级数,发散，由比较判别法可知，级数,发散，,所以原级数条件收敛,湘潭大学数学与计算科学学院,44,证,记,故由单调有界原理知:,存在,且,若,由Leibniz判别定理得交错级数,收敛,与题设矛盾,湘潭大学数学与计算科学学院,45,例14 判别,的敛散性，其中，x1为常数.,解 记,湘潭大学数学与计算科学学院,46,当|x|1时，=|x|1,原级数绝对收敛.,当|x|1时，=1,此时不能判断其敛散性.,由达朗贝尔判别法：,但|x|1时，,从而，原级数发散.,湘潭大学数学与计算科学学院,47,例15
10、 级数,是否绝对收敛?,解：,由调和级数的发散性可知，,故,发散.,但原级数是一个收敛的交错级数：,故原级数是条件收敛，不是绝对收敛的.,发散.,湘潭大学数学与计算科学学院,48,1.利用正项级数判别法,必要条件,发 散,满足,比值判别法,根值判别法,收 敛,发 散,不定,比较判别法,用它法判别,部分和极限,四、小结,湘潭大学数学与计算科学学院,49,2.任意项级数判别法,为收敛级数,Leibniz定理及相关推论,概念:设,绝对收敛,条件收敛,收敛，称,发散，称,湘潭大学数学与计算科学学院,50,作 业,湘潭大学数学与计算科学学院,51,思考题,设正项级数,收敛,能否推得,反之是否成立?,收敛?,由比较审敛法知 收敛.,反之不成立.例如：,收敛,发散.,由正项级数,收敛,可以推得,收敛.,
