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1、湘潭大学数学与计算科学学院,1,1.4.1 复合函数的求导法则,一、一元复合函数求导的链式法则,二、多元复合函数的求导法则,三、小结,1.4 函数的求导法则,湘潭大学数学与计算科学学院,2,定理,即 因变量对自变量求导,等于因变量对中间变量求导,乘以中间变量对自变量求导.(链式法则),一、一元复合函数的求导法则,湘潭大学数学与计算科学学院,3,证,湘潭大学数学与计算科学学院,4,例如,关键:搞清复合函数结构,由外向内逐层求导.,推广：此法则可推广到多个中间变量的情形.,湘潭大学数学与计算科学学院,5,例1,解,例2,解,湘潭大学数学与计算科学学院,6,例3,解,例4,解,湘潭大学数学与计算科学
2、学院,7,解(1),(2),例4 利用链式法则求下列导数:,湘潭大学数学与计算科学学院,8,求,解,思考:若,存在,如何求,的导数?,例5 设,湘潭大学数学与计算科学学院,9,二、多元复合函数的求导法则,这个复合过程，,1.下面先讨论中间变量是一元函数的情况,可以形象的用一条链来描述：,湘潭大学数学与计算科学学院,10,证,湘潭大学数学与计算科学学院,11,湘潭大学数学与计算科学学院,12,定理的结论可推广到中间变量多于两个的情况.,如,以上公式中的导数 称为全导数.,湘潭大学数学与计算科学学院,13,这个复合过程，,可以形象的用一条链来描述：,2.下面讨论中间变量是多元函数的情况,湘潭大学数
3、学与计算科学学院,14,湘潭大学数学与计算科学学院,15,链式法则如图示,湘潭大学数学与计算科学学院,16,类似地再推广，设,都在点(x,y)具有对x和y的偏导数，复合函数,在点(x,y)的两个偏导数存在，并且有,湘潭大学数学与计算科学学院,17,则复合函数,对x的偏导数,湘潭大学数学与计算科学学院,18,特殊地,即,令,其中,两者的区别,区别类似,湘潭大学数学与计算科学学院,19,解,湘潭大学数学与计算科学学院,20,解,湘潭大学数学与计算科学学院,21,解,令,记,同理有,湘潭大学数学与计算科学学院,22,于是,湘潭大学数学与计算科学学院,23,链式法则的记忆口诀:,分段用乘,分叉用加,单
4、路全导,叉路偏导.,湘潭大学数学与计算科学学院,24,例9 设,解 设,湘潭大学数学与计算科学学院,25,例10 设,解,湘潭大学数学与计算科学学院,26,无论z是自变量u、v 的函数或中间变量u、v 的函数，它的全微分形式是一样的.,全微分形式不变性,全微分形式不变形的实质：,湘潭大学数学与计算科学学院,27,湘潭大学数学与计算科学学院,28,解,湘潭大学数学与计算科学学院,29,1、链式法则（分三种情况）,2、全微分形式不变性,（特别要注意课中所讲的特殊情况）,（理解其实质）,三、小结,湘潭大学数学与计算科学学院,30,思考题：,1.已知,求,解 由,两边对 x 求导,得,湘潭大学数学与计算科学学院,31,求,解 由题设,(2001考研),2.,湘潭大学数学与计算科学学院,32,湘潭大学数学与计算科学学院,33,作业,习题1.4 P59-61 A 组 1(1)、(3)、(4)，2(2)、(4)3(1)、(3)5 B 组 1，2，,3,
