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1、线性代数证明题,张小向东南大学数学系版本,一.为什么要练习解决证明题,培养严谨的逻辑思维能力。,为什么要培养严谨的逻辑思维能力？,为什么要竞争？,竞争。,生存。,为什么要生存？,本能。,二.我们为什么觉得证明题难,不清楚题目所涉及的概念不熟悉现存的有关结论分不清条件的必要性与充分性不善于组织语言没有积累足够的经验没有深入思考,三.证明题的难度分类,1.直接用定义、定理、性质、推论、公式,条件,结论,例1.设e1=,100,e2=,010,en=,001,证明:(1)e1,e2,en线性无关.,(2)任何一个n维向量都能由,e1,e2,en线性表示.,可见k1=k2=kn=0.,证明:(1),所
2、以e1,e2,en线性无关.,不存在不全为零的数k1,k2,kn使k1e1+k2e2+knen=.,这就是说,若k1e1+k2e2+knen=,例1.设e1=,100,e2=,010,en=,001,证明:(1)e1,e2,en线性无关.,(2)任何一个n维向量都能由,e1,e2,en线性表示.,证明:(2)因为,=,100,+,010,+,001,a1a2an,a1,a2,an,所以任何一个n维向量都能由,e1,e2,en,线性表示.,证明:(2)对于任意的n维向量=(a1,a2,an)T,设=x1e1+x2e2+xnen,由此可得x1=a1,x2=a2,xn=an.,所以任何一个n维向量都
3、能由e1,e2,en线性表示.,这只是必要条件,即,经检验,=a1e1+a2e2+anen 确实成立,三.证明题的难度分类,直接用定义、定理、性质、推论、公式 从结论往回推一步,条件,结论,对接,从条件往下推一步+,例2.设1,2,3线性无关,证明,1=1+2+3,2=2+3,3=3,也线性无关.,1,2,3线性无关,1,2,3线性无关,证明:若k11+k22+k33=,即k1(1+2+3)+k2(2+3)+k33=,亦即k11+(k1+k2)2+(k1+k2+k3)3=.,又因为1,2,3线性无关,所以k1=k1+k2=k1+k2+k3=0.,由此可得k1=k2=k3=0.,这就是说,不存在
4、不全为零的数k1,k2,k3 使k11+k22+k33=.,所以1,2,3线性无关.,三.证明题的难度分类,直接用定义、定理、性质、推论、公式 从条件往下推一步+从结论往回推一步 要走好几步而且有分岔,可能要讨论,归纳,条件,结论,例3.设A,B,A+B都是可逆矩阵,证明A1+B1也 是可逆矩阵.,A,B,A+B可逆,A1+B1可逆,注意到这几个矩阵都是方阵,例3.设A,B,A+B都是可逆矩阵,证明A1+B1也 是可逆矩阵.,证明:因为A,B,A+B都是可逆矩阵,=|A1(BB1)+(A1A)B1|,=|A1(BB1)+A1(AB1)|,=|A1(BB1+AB1)|,=|A1(B+A)B1|,
5、=|A1(A+B)B1|,=|A1|A+B|B1|,=|A|1|A+B|B|1,|A1+B1|=|A1I+IB1|,所以|A|,|B|,|A+B|都不为零.,于是可得,0.,可见A1+B1是可逆矩阵.,四.怎样提高解决证明题的能力,学而不思则惘，思而不学则殆。,春秋论语,敏而好学，不耻下问。,千里之行始于足下。,春秋老子,工欲善其事，必先利其器。,四.怎样提高解决证明题的能力,不积跬步无以至千里。,战国荀子:劝学,锲而不舍，金石可镂。,北宋欧阳修:卖油翁,无他，惟手熟尔。,清彭端淑:为学,为之则难者亦易矣。,五.爆炒证明题,例4.已知三角形ABC中,点D,E,F分别是边BC,CA,AB的中点,
6、求证:AD+BE+CF=.,证明:因为D,E,F分别是BC,CA,AB的中点,=.,例5.设,为两个不共线的向量,AB=+2,BC=4,CD=5 3,证明:四边形ABCD是梯形.,=8 2,小样儿,还想刁难我!看我怎么摆平你!,例5.设,为两个不共线的向量,AB=+2,BC=4,CD=5 3,证明:四边形ABCD是梯形.,=8 2,即4=,则=4,这与“,个不共线”矛盾!,因而AD=2BC 0,即k1(+2)+k2(5 3)=,整理得(k15k2)+(2k13k2)=.,所以k15k2=2k13k2=0.,又因为,个不共线,由此可得k1=k2=0.,这与“k1,k2不全为零”矛盾!,综上所述,
7、四边形ABCD必为梯形.,例6.设M是ABC的重心,O是ABC所在平面上,的任意一点,证明:,于是原命题得证.,C,A,B,例7.设向量,互不平行,且=,证明:+=.,证明:因为(+)=+,=+,=.,类似地,可以证明(+)=.,假若+,则必与共线,可见+既与共线又与共线.,但这与“,互不平行”矛盾!,此矛盾表明+=.,注:本题条件“,互不平行”可以换成“与不平行”.,例8.若A,B都是n阶对称矩阵,且AB=BA,证明:AB也是对称矩阵.,证明:因为A,B都是n阶对称矩阵,即,AT=A,BT=B.,(AB)T=BTAT=BA=AB.,又因为AB=BA,所以,这就是说AB也是对称矩阵.,注:还可
8、以证明:“若A,B,AB都是n阶对称矩阵,则AB=BA”.,事实上,AB=(AB)T=BTAT=BA.,例9.设A=,证明:(方法一)用数学归纳法.略.,求证:当n 2时,a 1 0 0 a 1 0 0 a,An=,(方法二)先用数学归纳法证明:,若矩阵M,N满足MN=NM,则对于任意 的正整数n,若矩阵MN满足MN=NM,则对于任意的正整数n,当n=1时,(M+N)1=M1+N1成立.,由数学归纳法原理可知:,则(M+N)k+1=(M+N)k(M+N),令M=,a 0 0 0 a 0 0 0 a,=aI,因此当n 2时,且MN=aN=NM,Mn=(aI)n=anI,=N4=N5=,An=(M
9、+N)n,例10.证明任何一个方阵都可以分解为一个对称 矩阵和一个反对称矩阵之和.,分析:设B是对称矩阵,C是反对称矩阵,A=B+C,则AT=(B+C)T,=BT+CT,=B C.,因而A+AT=(B+C)+(BC),=2B,A AT=(B+C)(BC),=2C,由此可见,可以直接验证,是对称矩阵,是反对称矩阵.,例10.证明任何一个方阵都可以分解为一个对称 矩阵和一个反对称矩阵之和.,证明:设A为任意方阵,=B,=C,而且A=B+C,其中B是对称矩阵,C是反对称矩阵.,例11.证明奇数阶反对称矩阵的行列式等于零.,证明:设A为n阶反对称矩阵(n为奇数),则AT=A,于是|A|=|AT|,=(
10、1)n|A|,=|A|,=|A|,移项得2|A|=0,故|A|=0.,例12.设A是n阶方阵,n2,求证|A*|=|A|n1.,证明:分两种情况讨论:,(1)当|A|=0时,|A*|=0,否则由|A*|0可知A*可逆,而AA*=|A|I=0I=O,于是A=AA*(A*)1,=O(A*)1,=O,由此可得A*=O,这与|A*|0矛盾!,因此|A*|=0=|A|n1.,例12.设A是n阶方阵,n2,求证|A*|=|A|n1.,证明:分两种情况讨论:,(2)当|A|0时,令|A|=a,于是a|A*|=|A|A*|,由此可得|A*|=an1,=|A|n1.,则AA*=|A|I=aI,=|aI|,=an
11、.,=|AA*|,例13.设A是奇数阶方阵,且ATA=I,|A|0,证明:设A是n阶方阵(n为奇数),则,求证I A不可逆.,=|(AT I)A|,=|AT I|A|,=|(A I)T|A|,=|A I|A|,|I A|=|ATA IA|,=|(I A)|A|,=(1)n|I A|A|,=|I A|A|,移项得(1+|A|)|I A|=0.,又因为|A|0,因而|I A|=0.,故1+|A|1,所以I A不可逆.,例14.设A=I eeT,I是n阶单位阵,e是n维非零,分析:(1)设e=,列向量.求证:(1)A2=A eTe=1;,(2)当eTe=1时,A不可逆.,则eT=(a1,a2,an)
12、,eeT=,(a1,a2,an),O,a12 a1a2 a1an a2a1 a22 a2an ana1 ana2 an2,eTe=(a1,a2,an),=a12+a22+an2.,例14.设A=I eeT,I是n阶单位阵,e是n维非零,因为A=I eeT,列向量.求证:(1)A2=A eTe=1;,(2)当eTe=1时,A不可逆.,A2=(IeeT)(IeeT),=I eeT eeT+eeTeeT,=I 2eeT+e(eTe)eT,所以,=I+(eTe 2)eeT,故A2=A I+(eTe 2)eeT=I eeT,eTe=1.,(eTe 1)eeT=O,eTe 1=0,证明:(1)由e是n维非
13、零列向量可知eeT是n阶,非零矩阵,eTe是1阶方阵(也就是一个数).,例14.设A=I eeT,I是n阶单位阵,e是n维非零,则由A2=A可知A=I,列向量.求证:(1)A2=A eTe=1;,(2)当eTe=1时,A不可逆.,进而得e=eeTe,=Oe,=.,因而eeT=O,于是eTe=0,但这与eTe=1矛盾!,此矛盾表明A不可逆.,证明:(2)当eTe=1时,由(1)可知A2=A,假若A可逆,注:也可以根据前面的分析得到eeT=O与,例15.证明两个上三角矩阵的乘积是上三角矩阵.,证明:设A=(aij)nn和B=(bij)nn都是上三角矩阵,即i j时,aij和bij都为零.,令AB=
14、(cij)nn,则i j时,cij=ai1b1j+aijbjj+ai,j+1bj+1,j+ainbnj,=0.,可见AB 也是上三角矩阵.,参考 具体 的例 子:,例16.设1,2,3,4都是n维向量.已知4不能由,证明:由条件可设1=k12+k23+k34.,1,2,3线性表示,但1能由2,3,4线性 表示.求证1能由2,3线性表示.,假若k3 0,则由上式可解出,这与“4不能由1,2,3线性表示”矛盾!,矛盾表明k3=0,因而1=k12+k23.,这就是说1能由2,3线性表示.,例17.证明:在秩为r的向量组中任意r个线性无关,证明:设1,2,s的秩为r,的向量都是它的极大无关组.,这意味
15、着1,2,s有一个极大无关组:,我们只要证明,线性无关的向量,“1,2,s中任意一个向量j都能由,线性表示”即可.,无关的向量,我们只要证明,“1,2,s中任意一个向量j都能由,线性表示”即可.,这r个向量线性表示,故原命题得证.,例18.设有向量组I:1,2,3;II:1,2,3,4;,证明:由秩(I)=3可知I线性无关;,III:1,2,3,5.已知秩(I)=秩(II)=3,秩(III)=4.证明1,2,3,24+5线性无关.,由秩(II)=3可知II线性相关,因而4能由1,2,3线性表示.,设4=k11+k22+k33,(1,2,3,24+5),=(1,2,3,5),则,1 0 0 0,
16、2k1 2k2 2k3 1,0 1 0 0,0 0 1 0,故秩(1,2,3,24+5),=秩(III)=4.,所以1,2,3,24+5线性无关.,I:,A=(1,2,s),II:,B=(1,2,n),j=k1j1+k2j2+knjn,j=1,2,s,即,这就是说,I能由II线性表示存在K使得A=BK.,1,2,s,=(1,2,n),例19.设Rn中向量组I:1,2,s;II:1,2,证明:(1),t;III:1,2,s,1,2,t.证明:max秩(I),秩(II)秩(III)秩(I)+秩(II).,1=11+02+0s+01+02+0t;,2=01+12+0s+01+02+0t;,;,s=0
17、1+02+1s+01+02+0t;,1=01+02+0s+11+02+0t;,;,t=01+02+0s+01+02+1t,可见I和II都能由III线性表示,因此秩(I)秩(III),秩(II)秩(III).,例19.设Rn中向量组I:1,2,s;II:1,2,证明:(1),t;III:1,2,s,1,2,t.证明:max秩(I),秩(II)秩(III)秩(I)+秩(II).,可见I和II都能由III线性表示,因此秩(I)秩(III),秩(II)秩(III).,故得max秩(I),秩(II)秩(III).,(2)设秩(I)=r,秩(II)=u,则存在矩阵Crs和Dut使得,(2)设秩(I)=r,
18、秩(II)=u,于是有,(1,2,s,1,2,t),(1,2,s)=(,)C,i1,i2,ir,(1,2,t)=(,)D,j1,j2,ju,则存在矩阵Crs和Dut使得,r+u,=秩(I)+秩(II).,例20.设向量组I能由II线性表示,且秩(I)=秩(II),证明:设I:1,2,s;II:1,2,t;,证明:II能由I线性表示.,秩(I)=秩(II)=r,令A=(1,2,s),B=(1,2,t),存在矩阵Ftr使得C=BF;,I能由II线性表示,存在矩阵Grt使得B=DG;,存在矩阵Ftr使得C=BF;,I能由II线性表示,存在矩阵Hsr使得C=AH;,令GF=K,则K为r阶方阵且C=BF
19、=(DG)F=DK;,r=秩(C)秩(K)r,秩(K)=r,K可逆,D=CK1;,B=DG=(CK1)G=(AH)K1G=A(HK1G),II能由I线性表示.,例21.对任意mn矩阵A,B,证明:秩(A+B)秩(A)+秩(B).,证明:设A=(1,2,n),B=(1,2,n);,秩(A)=r,秩(B)=s,则A+B=(1+1,2+2,n+n),且1+1,2+2,n+n能由,因而秩(A+B)=秩(1+1,2+2,n+n),r+s,=秩(A)+秩(B).,例21.设A为mn矩阵,1,2,s是Ax=的基础解系,证明:(1,2,s)=(1,2,s),s 2.证明:i=(k)i(i=1,2,s)也是,A
20、x=的基础解系.,k=1,s,.,0.,证明:(1,2,s)=(1,2,s)P.,|P|0,P可逆,秩(1,2,s)=秩(1,2,s)=s.,1,2,s线性无关.,对于Ax=的任意一个解向量,1,2,s,这s+1个向量能由1,2,s,线性表示,1,2,s,线性相关,能由1,2,s线性表示.,由和可知1,2,s也是Ax=的基础,解系.,例22.设A为sm矩阵,B为mn矩阵,且AB=O.,证明:设秩(A)=r,证明:秩(A)+秩(B)m.,1,2,mr为Ax=的基础解系.,设B=(1,2,n),则A(1,2,n)=AB=O,1,2,n都是Ax=的解,1,2,n能由1,2,mr线性表示,秩(1,2,
21、n)m r,秩(B)m 秩(A),秩(A)+秩(B)m.,例23.设A为mn矩阵,秩(A)=r.证明:Ax=的任意nr,证明:因为A为mn矩阵,秩(A)=r,个线性无关的解向量都是Ax=的基础解系.,所以可设1,2,nr为Ax=的一个基础解系.,1,nr,这nr+1个向量能由1,2,nr,下面设1,2,nr是Ax=的任意nr个线性 无关的解向量.,我们只要证明Ax=的任意一个解都能由,1,2,nr线性表示即可.,线性表示,1,nr,线性相关,1,2,nr线性无关,事实上,能由1,2,nr线性表示.,所以可设,线性无关的向量.,我们只要证明A中任意一个向量i都能由,事实上,例23.设向量组A:1
22、,2,s的秩为r.证明:A中任意r,证明:因为向量组A:1,2,s的秩为r,个线性无关的向量都是A的极大无关组.,例23.设向量空间V的维数为r.证明:V中任意r个线性,证明:因为向量空间V的维数为r,无关的向量都是V的一组基.,所以可设1,2,r为V的一组基.,1,r,这r+1个向量能由1,r线性表示,下面设1,2,r是V中任意r个线性无关的向量.,我们只要证明V中任意一个向量都能由,1,2,r线性表示即可.,1,r,线性相关,1,2,r线性无关,事实上,能由1,2,r线性表示.,例24.设A为3阶可逆方阵,将A的第一行和第三行互换后,证明:由题意可知B=P(1,3)A,得矩阵B.证明:B可
23、逆,并求AB1.,其中P(1,3)=,可逆,A可逆,B可逆.,B=P(1,3)A,B1=A1P(1,3)1,AB1=AA1P(1,3)1,=P(1,3)1,=P(1,3),例25.设A为mn矩阵,秩(A)=r.证明:,证明:由题意可知存在m阶可逆矩阵P和n阶可逆矩阵Q,(1)存在r个秩为1的mn矩阵A1,A2,Ar 使得,A=A1+A2+Ar.,(2)存在秩为r的mr矩阵B及秩为r的rn矩阵B,使得A=BC.,(1)令mn矩阵Ei的第i行第i列位置的元素为1,其余位置的元素为0,Ai=PEiQ,i=1,2,r,则秩(A1)=秩(Ar)=1且A=A1+A2+Ar.,C=(Ir,O)即可.,例26
24、.设A,B,C,D是同阶方阵,其中A是可逆的.证明:|M|=|A|DCA1B|,其中M是分块,由此可得,=|M|.,证明:,|A|DCA1B|=,例27.设A为mn的矩阵,b为m维列向量.证明:,进而得秩(ATA)=秩(A).,证明:设x为n维列向量,一方面Ax=(ATA)x=,xT(ATA)x=0,(Ax)T(Ax)=0,Ax=.,这就是说的Ax=解必为(ATA)x=的解.,另一方面(ATA)x=,故Ax=与(ATA)x=同解,因此n秩(ATA)=n秩(A).,(1)秩(ATA)=秩(A).,证明:(ATA,ATb)=AT(A,b),例27.设A为mn的矩阵,b为m维列向量.证明:,(1)秩
25、(ATA)=秩(A).,(2)线性方程组(ATA)x=ATb一定有解.,秩(ATA,ATb)秩(AT),=秩(A).,秩(ATA)秩(ATA,ATb),秩(ATA)=秩(A),秩(ATA,ATb)秩(A).,由和可得,=秩(ATA).,秩(ATA,ATb)=秩(A),因此线性方程组(ATA)x=ATb一定有解.,例28.设A为n阶矩阵,为n维列向量.若存在正整数k,证明:设t1+t2A+tkAk1=,使得Ak=,但Ak1,证明:向量组,A,Ak1线性无关.,则Ak1(t1+t2A+tkAk1)=,即t1Ak1=,而Ak1,故t1=0.,于是可得t2A+tkAk1=,因而Ak2(t2A+tkAk1)=,即t2Ak1=,而Ak1,故t2=0.,依次类推可得t3=tk=0.,所以,A,Ak1线性无关.,
