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1、【授课时数】,【学习目标】,1、知道不定积分的第一类换元积分法、第二类换元积分法和分部积分法；2、会用积分法求函数的不定积分；3、会用不定积分解决简单的实际问题。,【重、难点】,重点：不定积分的第一、第二换元积分法和分部积分法，由求一个函数的积分分别引出第一、第二换元积分法和分部积分法的定义。,难点：正确使用积分法求积分，由实例讲解方法。,总时数：6 学时.,问题,？,一、第一类换元法（凑微分法）,将dx凑成d(2x),凑微分,令2x=u,换元,用积分公式,积分,代入u=2x,回代,复合函数,一般地，,设,由复合函数的微分法则，,于是有,象这样的积分法，称为不定积分的第一类换元积分法，也称为凑
2、微分法。,例1 求,解（一）,例1 求,解（二）,例1 求,解（三）,上述三种方法中，第一种方法最简便。,例2 求,解,一般地,例3 求,解,一般地,例4 求,解,一般地,例5 求,解,例6 求,解,例7 求,解,例8 求,解,例9 求,解,练一练：,例10 求,解,（使用了三角函数恒等变形）,例11 求,解,（使用了三角函数恒等变形）,例12 求,解,练一练：,解,结论：正弦（或余弦）函数奇数次方的积分，先把被积函数的指数分成偶数与1的和，再“前变名，后凑微”进行积分。,例13 求,解,练一练：,解,结论：正弦（或余弦）函数偶数次方的积分，先把被积函数分成正弦（或余弦）函数的平方的幂进行降次
3、再积分，即“先降次，后凑微”进行积分。,小结,第一类积分换元法主要解决复合函数的积分.,练 习 题,问题,解决方法,改变中间变量的设置方法.,过程,令,（应用“凑微分”即可求出结果）,二、第二类换元法,根式函数,对于象这样的根式函数积分，要引入中间变量去根号，为此有下面定理。,象这种对被积表达式进行变量代换去根号，再积分的方法称为第二类换元积分法。,1.代数变换,例1 求,解,令,例2 求,解,令,2.三角变换,不能，下面我们来详细阐述具体方法。,例3 求,解,令,例4 求,解,令,例5 求,解,令,说明:,三角代换的一般规律,当被积函数中含有,可令,可令,可令,例6 求,解,令,例7 求,解
4、,令,例8 求,解一,令,解二,有些积分,两种换元方法均可求解,但凑微分法更方便!,小结,第二类积分换元法：,（一）代数变换,（二）三角变换,思考题,求积分,思考题解答,练 习 题,问题,解决思路,要解决这个问题，下面我们来学习一种新的积分方法。,象这样的积分方法称为不定积分的分部积分法。,三、分部积分法,V要易找,例1 求积分,解（一）,令,显然，选择不当，积分更难进行.,解（二）,令,例2 求积分,解,（再次使用分部积分法）,例3 求积分,解,令,练一练：,解,令,例4 求积分,解,练一练：,解,令,例5 求积分,解,注意循环形式,例6 求积分,解,注意循环形式,例7 求积分,解,例8 求积分,解,*例9 求积分,解,令,合理选择，正确使用分部积分公式,小结,练 习 题,【授课小结】,通过本课题学习，学生应该达到：1熟记积分的基本公式；2会求函数的原函数；3会用不定积分的四种积分法求函数的不定积分,【课后练习】,1.P056习题3.2(一);,2.P056习题3.2(二);,3.P060习题3.3.,
