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1、2023/5/30,1,不定积分的计算就是已知一个函数求它的原函数的问题.在实际计算时能用直接积分方法解决的计算问题是很少的,大量的一般的不定积分计算问题需要通过进行适当的变换方法和一定技巧,把问题转化为能用直接积分方法解决.本节介绍几种比较常用的求不定积分的方法.,引言,2023/5/30,2,一、“凑”微分法,例如：,形式上“凑”成能由不定积分公式求出的积分!,简单替换,例1:,第一类换元法,2023/5/30,3,“凑”微分法:,设法凑成,积分公式,实质上是一种简单换元积分法.,例1抽象概括为一般方法,回代为X表示,认真体会,2023/5/30,4,例2.,例3.,变换技巧,可以作为公式
2、,关于绝对值,化简整理,2023/5/30,5,例4.,例5.,公式,凑!,三角公式使用,2023/5/30,6,二、换元积分法,例6.,变量代换,第二类换元法,2023/5/30,7,定理:,则,证明：,2023/5/30,8,例7.,解：,基本出发点是有理化,回代并化简整理,2023/5/30,9,例8.,解：,变量关系借助于直角三角形,x,t,a,2023/5/30,10,例9.,解：,例10.,解：,观察被积函数形式决定变量代换,2023/5/30,11,注：,“凑”微分法与换元积分法比较,“凑”微分法将函数替换为变量：,2023/5/30,12,换元积分法将变量替换为函数：,注：对某
3、些函数的不定积分，有时可用不同的方法、不同的 函数作变量替换，因之所得结果在形式上可能不相同.,但是验证是否正确只要求导等于被积函数即可.,2023/5/30,13,例如：,注：积分方法以“化繁为简”为目的.,作业:P279。1(双号)单号练习,2023/5/30,14,三、分部积分法,or,作不定积分运算,即得,or,称之为 分部积分公式.,将被积函数u转换为v,2023/5/30,15,注1.积分不能直接求出，通过此公式进行转化,改写,转化,2023/5/30,16,解：,例11.,适当选择u 和 v,2023/5/30,17,例12.,解：,例13.,解：,加题,2023/5/30,18
4、,例14.求,解：,同法,移项,2023/5/30,19,例15.,解：,联立,解之得：,方法特殊,观察可见二元方程组,对两个不定积分分别使用分部积分公式,2023/5/30,20,注2.类似的,下列函数,的不定积分常可用分部积分法求得.,有时使用若干次之后，常会重新出现原来所求的那个积分，从而成为求积分的方程式，解之可得所求积分；,P266类型,注3.使用分部积分法，有时须连续使用若干次；,有时应特别注意如下情形：,2023/5/30,21,将不定积分视为一个数进行运算是错误的,不定积分 是原函数的集合.此时,使用分部积分公式还可得到一些有用的递推公式,例如：,降次,2023/5/30,22
5、,初等函数的导数仍是初等函数,但求不定积分却不那么简单,有些不定积分不能用初等函数来表示,是非初等函数,即,初等函数的原函数不一定是初等函数.,作业:p281 2.（双）.3（单）,2023/5/30,23,（多项式）,四、有理函数积分法,1.代数的预备知识,设P(x)与Q(x)都是多项式,则有理函数的一般形式是,例如：,2023/5/30,24,2023/5/30,25,根据代数分项分式定理,有,分项分式理论依据,2023/5/30,26,方法一：,方法二：,使用“赋值法”简化对待定系数的求解.,将()式右端通分，得,（待定系数法）,2023/5/30,27,例16.,解：(方法一),比较两
6、端分子的同次幂系数,得,2023/5/30,28,解：(方法二),赋值,2023/5/30,29,2.有理函数的不定积分,重点前三种,这里给出的是结果，具体推导方法如下：,2023/5/30,30,2023/5/30,31,(循环),2023/5/30,32,（分部积分法）,2023/5/30,33,2023/5/30,34,注2.有理函数总存在初等函数的原函数.,注1.,例16.,解：,注3.基本思想就是把被积函数用部分分式法化为四种类型之一。,2023/5/30,35,例17.求,解：省略中间过程，,用待定系数法，得,A=1，B=-1，C=1，代入原式,2023/5/30,36,例18.求
7、,解：,作业:P281 4,2023/5/30,37,五、其他类型的不定积分,（一）简单无理函数的不定积分,基本原则：,简单无理函数,变量替换,有理函数,符号 R(u,v)表示以 u 和 v 为变量的有理函数.,2023/5/30,38,积分,有理化,有理化求解.,2023/5/30,39,例1.,解：,加题,2023/5/30,40,例2.,解：,加题,2023/5/30,41,例3.,解：,(分项),(变形),(代入),2023/5/30,42,例4.,解：,加题,2023/5/30,43,分以下几种情况讨论：,2023/5/30,44,此积分形式同下列公式：,或,2023/5/30,45
8、,例6.,解：,2023/5/30,46,（二）三角函数的不定积分,(化为有理函数),一般地,2023/5/30,47,就有,这样就把积分有理化了.从而三角函数 R(sinx,cosx)存在初等函数的原函数.,2023/5/30,48,例7.,解：,加题,2023/5/30,49,例8.,解：,2023/5/30,50,关于 R(sinx,cosx)具有某种性质时的一些特殊变量替换：,例9.,解：,2023/5/30,51,例10.,解：,2023/5/30,52,例11.,解：,2023/5/30,53,2023/5/30,54,例12.,解：,2023/5/30,55,a)含有 sin2x
9、 或 cos2x 的奇次幂，此时可由(1)求之；,将被积函数化简,其结果：,b)含有sin2x 或 cos2x 的偶次幂，用上述三角公式化简,化成含 sin4x 与 cos4x 的函数，依次类推.,降次,2023/5/30,56,解：,都可以利用三角函数的积化和差公式求解.,2023/5/30,57,六、小结,三角代换、倒代换、根式代换,1.基本积分表.2.运算法则,合理选择，正确使用分部积分公式,作业:P281 5,基础:,类型与方法的对应：灵活运用,熟能生巧,两类积分换元法：凑微分,变量代换:,2023/5/30,58,三角有理式的定义：,由三角函数和常数经过有限次四则运算构成的函数称之一
10、般记为,1、三角函数有理式的积分,五、其它形式的不定积分,2023/5/30,59,（万能置换公式）,2023/5/30,60,例7:求积分,解,由万能置换公式,2023/5/30,61,2023/5/30,62,例8:求积分,解（一）,2023/5/30,63,解（二）,修改万能置换公式,令,2023/5/30,64,解（三）,可以不用万能置换公式.,结论:,比较以上三种解法,便知万能置换不一定是最佳方法,故三角有理式的计算中先考虑其它手段,不得已才用万能置换.,2023/5/30,65,例9:求积分,解:,2023/5/30,66,2023/5/30,67,讨论类型,解决方法,作代换去掉根号.,例10:求积分,解 令,2.简单无理函数的积分,2023/5/30,68,2023/5/30,69,例11:求积分,解:令,说明:,无理函数去根号时,取根指数的最小公倍数.,2023/5/30,70,例12 求积分,解:,先对分母进行有理化,原式,
