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1、中南大学开放式精品示范课堂高等数学建设组,3.1 不定积分,高等数学A,3.1.1 原函数与不定积分的概念3.1.2 不定积分的性质3.1.3 基本积分表,第3章 一元函数积分学,3.1 不定积分,3.1.3 基本积分表,3.1.1 原函数的概念,不定积分的概念与性质,3.1.2 不定积分的性质,求积分习例2-14,3.1.2 不定积分的概念,思考题-分段函数的不定积分,问题,原函数的定义,原函数的存在性,定义,不定积分的几何意义,1.问题,一、原函数的概念,2.原函数的定义,3.原函数的存在性,定理1.,问题：,(1)原函数是否唯一？,(2)若不唯一,它们之间有什么联系？,若函数f(x)在区
2、间I上连续,则f(x)在I上存在原函数F(x).,（为任意常数）,如,定理2.,设F(x)是f(x)在区间I内的一个原函数,则,证明:,注意:,(1)初等函数在其定义区间上都有原函数.,(2)初等函数的原函数不一定是初等函数.,(3)原函数不唯一.,(4)如果f(x)在I上存在原函数,则称f(x)在I上可积.,1.定义,函数f(x)在区间I上的原函数全体,称为f(x)在I上的不定积分.记为,积分号,被积函数,被积表达式,积分变量,二、不定积分的概念,注意:,尽管不定积分中各个部分都有其独特的含义，但在使用时须作为一个整体看待.,(2)积分变量是指d后面的那个量.,(3)不定积分与原函数是两个不
3、同的概念，它们是整体 与个体的关系，原函数是一个函数，不定积分是一族函数.,2.不定积分的几何意义,若F(x)是f(x)的一个原函数,则称y=F(x)的图形为f(x)的一条积分曲线.,如图.,x,o,y,这些曲线在横坐标相同处切线平行.,例1.设曲线通过点（1，2），且其上任一点处的切线斜率等于这点横坐标的两倍，求此曲线方程.,解:,设曲线方程为,根据题意知,由曲线通过点（1，2）,所求曲线方程为,是常数);,三、基本积分表,特别地,证明:,故结论正确.,四、不定积分的性质,不定积分的基本性质：,(k为任意常数),性质(1)(2)说明微分运算与求不定积分的运算是互逆的.性质(3)可推广到有限多
4、个函数之和的情况.,五、求不定积分习例-直接积分法,例2.计算,例3.计算,例4.计算,例5.计算,例6.计算,例7.计算,例8.计算,例9.计算,例10.计算,例11.计算,例12.计算,例13.计算,例14.计算,解:,+C,例2.计算,例3.,解:,例4.,解:,例5.,解:,例6.,解:,解:,例7.计算,解:,例8.计算,分式化成最简真分式的代数和,解:,例9.计算,分式化成最简真分式的代数和,例10.,解:,假分式化成多项式加真分式,例11.,解:,以上几例中的被积函数都需要进行恒等变形，才能使用基本积分表.,说明：,例12.,解:,例13.,解:,解:,说明:,被积函数为三角函数时需要进行三角恒等变形，才能使用基本积分表.,例14.计算,思考题-分段函数的不定积分的求法先求各分段部分在相应区间内的原函数考察在分界点处函数的连续性,例15.,例16.,例15.,解:,例16.,解:,
