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1、,一元微积分学,大 学 数 学（二）,第二讲 不定积分的计算方法,第五、六章 一元函数的积分,本章学习要求：熟悉不定积分和定积分的概念、性质、基本运算公式.熟悉不定积分基本运算公式.熟练掌握不定积分和定积分的换元法和分部积分法.掌握简单的有理函数积分的部分分式法.理解积分上限函数的概念、求导定理及其与原函数的关系.熟悉牛顿莱布尼兹公式（微积分基本定理）.理解广义积分的概念.能运用牛顿莱布尼兹公式计算广义积分。掌握建立与定积分有关的数学模型的方法。能熟练运用定积分表达和计算一些量：平面图形的面积、旋转体的体积、经济应用问题等。,利用性质（基本公式）计算不定积分：,第三节 不定积分的性质计算法,直
2、接计算法,例.求,解:原式=,有直接的积分公式吗!？,有直接的积分公式吗!？有,解,有直接的积分公式吗!？,初等数学中的展开式,积分的线性性质,直接的积分公式,已知生产的成本y的变化率(边际成本)是产量x的函数,又固定成本为1000元求成本函数.,解:因为,所以y是它的原函数,即:,又固定成本为1000元,即x=0(不生产)时,y=1000,所以 c=1000,故本函数为:,解,第4节.不定积分的换元法,利用积分性质和简单的积分表可以求出不少函数的原函数,但实际上遇到的积分凭这些方法是不能完全解决的.比如下面的例子:单利用上节的方法就有点问题了.,解,绝对值,引入例:,它是在积分运算过程中进行
3、适当的变量代换,将原来的积分化为对新的变量的积分,而后者的积分是比较容易积出的.,现在介绍与复合函数求导法则相对应的积分方法 不定积分换元法.,该方法从使用的方式上看，又有第一与第二换元积分法之分,但它们的公式实际上是一样的,都来源于复合函数求导公式.,一.不定积分的第一换元法:,看出点什么东西没有?,原函数?,被积表达式?,也是被积表达式?,该定理称为不定积分的第一换元法,也叫“凑微分”法。,2.换元积分的效率:,解,展开式,再利用积分的线性性质计算,对微分进行拼凑,令u=2x+1,=,指数为100时如何?,解,3.一般应用例子:,解,?,(过程模仿上例题),解,解,?,解,解,4.见过的凑
4、微分公式(方法):,下面介绍两大类型被积函数的积分方法:,解,二.三角函数的积分计算例:,1.先观察下面这个例子的多种求解过程,解,被积函数只是关于三角函数的积分计算问题:,相应的凑微分公式(方法):,2.被积函数出现正余弦函数的奇数次幂时:,解,拆出个正余弦的1次幂,凑微分得,解,拆出个正余弦的1次幂,凑微分得,解,拆出个正余弦的1次幂,凑微分得,解,3.被积函数都是正余弦函数的偶数次幂时:,目标:利用三角公式(半角公式)把次数降低!,具体方法(公式):,等式左边是三角函数的2次,右边只有1次,次数降低了!,求,解:原式=,例12.求,解:原式=,三、有理函数的积分,1.有理函数:,时,为假分式;,时,为真分式,有理函数,多项式+真分 式,分解,若干部分分式之和,解,之前的引入例:,2.分母可以因式分解(1次因式)时:部分分式法计算步骤:,先将分母因式分解1次因式;,再利用待定系数法分解部分分式的和;,对每个部分分式的计算积分.,真分式分解为部分分式:,比较等式2边得:A=5,B=-3.,=5ln(x-2)-3ln(x-3)+C,解,
