《材料力学》压杆稳定.ppt

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1、压杆稳定,材料力学,构件的承载能力：,工程中有些构件具有足够的强度、刚度，却不一定能安全可靠地工作。,9.1 压杆稳定的概念,稳定平衡与不稳定平衡：,1.不稳定平衡,2.稳定平衡,压杆失稳试验图,(1)在杆端加P1小于某个临界值Pcr,钢条能保持直线位置平衡状态。加干扰：用手指横向推动杆端，这时钢条弯了，但手指一离开，钢条就来回摆动，最后回到原来的直线位置保持平衡。我们说，杆件在P1的作用下处于稳定的平衡状态，此时的平衡具有抗干扰性。,(2)当P2等于某个临界值Pcr时，只要一加干扰，杆件将弯曲，干扰去掉后，杆件保持在微弯状态下的平衡，不再回到原来的直线平衡形式，我们说杆原来的直线平衡状态是不

2、稳定的。,由稳定的平衡状态过渡到不稳定的平衡状态称为失稳。,压杆失稳 直线平衡状态改变为微弯平衡状态。,P Pcr 压杆处于稳定平衡,P=Pcr 压杆失稳,Pcr 临界压力 临界力,工程实际中的压杆不允许失稳。,对于稳定问题，关键是求出临界压力Pcr，这样，只要工作压力小于临界压力，就不会发生失稳问题。,9.2.1 两端简支细长杆的临界压力,如前所述，临界压力Pcr是这样一个值：,当P Pcr，杆能保持直线平衡状态；,当P=Pcr，杆处于微弯平衡状态；,Pcr是杆件维持微弯平衡状态的最小压力。,9.2 细长压杆的临界力,求临界压力的思路：,假定压力已达到临界值，杆已经处于微弯状态，从挠曲线入手

3、，求此时的临界力。,假定：杆件已发生微小弯曲变形(如图示)，,y,代入挠曲线近似微分方程，,EIv=M=Pcrv,EIv+Pcrv=0,二阶常系数齐次线性微分方程,由平衡条件，易得：,M(x)=Pcrv(x),v+k2v=0,通解：v=C1sinkx+C2coskx,边界条件：,x=L：v(L)=0,v(0)=C1sin(k0)+C2cos(k0)=C2=0,v=C1sinkx,v(L)=C1sinkL=0,x=0 v(0)=0,C1 0 否则 v 0 与假设矛盾,sinkL=0,有：kL=n n=0，1，2，,临界压力为维持微弯平衡状态的最小轴向压力,欧拉公式,杆件失稳 由直线变成曲线,(0

4、 xl)半个正弦波,9.2.2 常见各种杆端约束下细长杆的临界压力欧拉公式 压杆的长度系数,例 求一端固定，一端自由细长杆的临界压力。,由平衡条件,M(x)=Pcr(v),代入挠曲线近似微分方程,EIv=M(x)=Pcr(v),EIv+Pcrv=Pcr,v+k2v=k2,通解为 v=C1sinkx+C2coskx+,边界条件:,x=0：v(0)=0,x=L：v(L)=,v(0)=C1sin(k0)+C2cos(k0)+=0,x=0：v(0)=0,C2+=0 C2=,v(0)=kC1cos(k0)kC2sin(k0)=0,kC1=0,v(x)=kC1coskx kC2sinkx,C1=0,v(x

5、)=(1 coskx),v(l)=(1 coskL)=,n=0，1，2，,n=0，1，2，,(0 x L),v(L)=0,半个正弦波,MA=MB=0,MA=MA=0,相当长为2L的两端简支杆,对比：,图形比拟：失稳时挠曲线上拐点处的弯矩为0，故可设想此处有一铰，而将压杆在挠曲线上两个拐点间的一段看成为两端铰支的杆，利用两端铰支的临界压力公式，就可得到原支承条件下的临界压力公式。两拐点间的长度 L 称为原压杆的相当长度，即相当 L 这么长的两端铰支杆。,一端固定，一端铰支,两端固定,不同约束情况下，细长杆的临界压力欧拉公式可统一写成：,：长度系数 L：相当长度,两端铰支=1,一端固定，一端自由=

6、2,一端固定，一端铰支=0.7,两端固定=0.5,常见约束压杆长度系数及临界压力,Pcr,=2,L,问题：压杆为空间实体，在轴向力作用下如果失稳，它朝哪个方向弯？,y=f(x),y,z,x,z=f(x),y,x,xz平面内弯,xy平面内弯,z,绕z轴转动,截面绕y轴转动,临界压力公式中的I是对哪根轴的I？,Pcr维持微弯平衡状态最小的压力,各方向约束情况相同时：,为常数，IImin 最小形心主惯性矩,各方向约束情况不同时：,使Pcr最小的方向为实际弯曲方向，I为挠曲时横截面对其中性轴的惯性矩。,朝哪个方向弯,临界应力 柔度,欧拉公式,：柔度，长细比,对细长杆,9.3 欧拉公式的应用范围 临界应

7、力总图,欧拉公式的适用范围,cr p,欧拉公式成立的条件：,欧拉公式适用范围 p,Q235 钢，E=206GPa p=200MPa,临界应力总图,0 s 称为小柔度杆，cr=s,s p 称为中柔度杆，cr=a-b,表9-1 常用材料的a、b和p值,p 称为大柔度杆，cr=2E/2,表92 一些常用材料的a、b、p、s值,a、b与材料性质有关的常数,B,C,A,cr,D,cr=ab,cr=s,s,p,s,P,O,曲线 A、B、C、D 称为临界应力总图，越大，cr 越小，Pcr=cr A 越小，越容易失稳。,需要指出的是，对于中长杆和粗短杆，不同的工程设计中，可能采用不同的经验公式计算临界应力，如

8、抛物线公式cr=a1b12(a1和b1也是和材料有关的常数）等，请读者注意查阅相关的设计规范。,z,例91 截面为 120mm200mm 的矩形木柱，长l=7m，材料的弹性模量E=10GPa，p=8MPa。其支承情况是：在屏幕平面内失稳时柱的两端可视为固定端(图a)；若在垂直于屏幕平面内失稳时，柱的两端可视为铰支端(图b)，试求该木柱的临界力。,解：由于该柱在两个形心主惯性平面内的支承条件不相同，因此，首先必须判断，如果木柱失稳，朝哪个方向弯？从临界应力总图，我们知道，越大，越容易失稳。,两端固定,y=0.5,计算 y z,在屏幕平面绕 y 轴失稳时,在垂直于屏幕平面内绕 z 轴失稳时,两端铰

9、支,z=1,z y,如果木柱失稳，将在垂直于屏幕平面内绕 z 轴失稳。,z p 应采用欧拉公式计算,9-2 图示托架中杆AB的直径d=40mm，长度l=800mm，两端可视为球铰链约束，材料为Q235钢，试：求托架的临界载荷FPcr。,解：,(图(a),中柔度杆,d=40mm，l=800mm，两端球铰，材料为Q235钢,1.压杆稳定计算 稳定安全系数法,考虑一定的安全储备，稳定条件为：,P：工作压力,Pcr：临界压力,nst：额定安全系数,nst：额定安全系数,9.4 压杆的稳定计算 提高压杆稳定性的措施,稳定条件也可用安全系数表达为：,稳定许用应力：,式中nst为稳定安全系数。注：1.通常n

10、st随着柔度的增大而增大。2.稳定安全系数一般比强度安全系数要大些。例如对于一般钢构件，其强度安全系数规定为1.41.7，而稳定安全系数规定为1.52.2，甚至更大。3.截面的局部削弱对整个杆件的稳定性影响不大，因此在稳定计算中横截面面积一般取毛面积计算。,稳定计算的一般步骤：,分别计算各个弯曲平面内的柔度y、z，从而得到max；,计算s、p，根据max确定计算压杆临界压力的公式，小柔度杆cr=s，中柔度杆cr=ab，大柔度杆,计算Pcr=crA，利用稳定条件,进行稳定计算。,p=200MPa，s=240MPa，E=206GPa，稳定安全系数为nst=3。试求容许荷截F。,例93 图示结构，立

11、柱CD为外径D=100mm，内径d=80mm的钢管，其材料为Q235钢，,解：由杆ACB的平衡条件易求得外力F与CD杆轴向压力的关系为：,例93 图示结构，立柱CD为外径D=100mm，内径d=80mm的钢管，其材料为Q235钢，p=200MPa，s=240MPa，E=206GPa，稳定安全系数为nst=3。试求容许荷截F。,立柱CD为外径D=100mm，内径d=80mm的钢管,两端铰支=1,p,材料为Q235钢,p=200MPa，s=240MPa，E=206GPa。,可用欧拉公式,由稳定条件,2.压杆稳定计算 折减系数法,工程中为了简便起见，对压杆的稳定计算还常采用折减系数法。即将材料的压缩

12、许用应力乘上一个小于1的折减系数作为压杆的许用临界应力，即：,cr=,1，称为折减系数,P：工作压力；：折减系数；A：横截面面积；：材料抗压许用值。,根据稳定条件,注意：压杆的折减系数（或柔度）受截面形状和尺寸的影响，通常采用试算法求解。,表15-2 压杆的稳定系数,例94 图示千斤顶，已知丝杆长度l=0.375m，,l,d,P,直径为d=0.04m，材料为Q235钢，强度许用应力=160MPa，符合钢结构设计规范(GBJ1788)中b类杆件要求，最大起重量为P=80kN，试校核该丝杆的稳定性。,解：首先计算该压杆柔度，该丝杆可简化为图示下端固定，上端自由的压杆。,查表124，=0.72,故此

13、千斤顶稳定性足够。,例题 95 图示两端铰支的钢柱，已知长度l=2m，承受轴向压力F=500kN，试选择工字钢截面，材料的许用应力=160MPa。,例题94图,解：由稳定条件不能同时确定两个未知量A与，因此必须采用试算法。（1）第一次试算：假设=0.5，由稳定条件有：,查型钢表，试选28b号工字钢，其横截面面积为，最小惯性半径为，于是,查折减系数表得，由于 与 相差较大，因此必须进行第二次试算。,根据稳定条件有：,（2）第二次试算：假设,再选25a号工字钢，其横截面面积为，最小惯性半径为，于是：,查折减系数表并插值,由于 与 仍相差较大，故还需进行第三次试算。,根据稳定条件有：,（3）第三次试

14、算：假设,再选22b号工字钢，其横截面面积为，最小惯性半径为，于是：,此时 与 已经相差不大，可以进行稳定校核。,最后选定22b号工字钢。,例题96 图示托架中的AB杆为16号工字钢，CD杆由两根506等边角钢组成。已知l=2m，h=1.5m，材料为Q235钢，其许用应力=160 MPa，试求该托架的许用荷载F。,解：首先考虑AB杆的平衡（图a）,1.由CD杆的稳定性确定许用荷载,由此可得：,2.由AB杆的强度确定许用荷载 AB杆为拉弯组合受力状态，其弯矩图和轴力图分别如图b和图c所示。可见C左侧截面为危险截面，由此可以建立强度条件。,通过比较1和2可知，该托架的许用荷载为F=18.9kN。,

15、3.提高压杆稳定性的措施,其中，约束加强，L 支座数目，i 截面惯性矩I,思路分析：,因此，为了提高压杆的稳定性可从三各方面着手：(1)选择合理的截面形状；(2)减小压杆的自由长度；(3)改善杆端的约束情况及合理选用材料。,合理截面是使压杆的临界压力尽可能大的截面。,从横截面的角度，要使小，只有i增大，即截面I大。,在面积不变的情况下，尽可能使 I 增大；,尽可能使各方向值相等。,选择合理的截面形状,当压杆两端的约束在各个方向相同时，要使各方向值相等，即y=z，应使截面两个形心主惯性矩具有Iy=Iz，较为合理。当压杆两端的约束在各个方向不同时，合理截面应该是IyIz，以保证有y=z。当多根压杆

16、串连时，要求,即整体与分支具有相同的稳定性。,减小压杆的自由长度,改善杆端的约束情况及合理选用材料,*杆端约束刚性越强,压杆的长度系数越小,相应的柔度就越 低,临界力就越大,因此尽可能加强杆端约束的刚性,可使压 杆的稳定性得到提高。,*合理的选用材料对提高压杆的稳定性也能起到一作用,一、概 述,几何法：,应 力,应 变,变 形,外 力,物理方程,平衡方程,几何方程（变形协调方程）,弹性体承载时，加力点发生位移荷载做功，W弹性体变形储存变形能（应变能），U略去在该过程中的微量能量损耗，则由能量守恒与转换原理，得：外力功=变形能 W=U由能量的观点出发建立荷载与变形间关系的方法称为能量方法。,二、

17、变形能的计算,1.轴向拉伸与压缩,静载：,变力做功：,此处为线弹性材料。,对于线弹性材料，变形能为：,用外力功表示,用“内力”表示,用“变形”表示,（1）弹性应变只与力或位移的终值有关，与加载过程和次序无关。,（2）在杆长范围内N、A不是常数时，一般的，有：如图：,（3）单位体积的变形能称为比能：,（4）变形能不能叠加。,从数学观点看：U不是P或者L的线性函数，所以不能叠加。,从力学观点看：,例：,所以，变形能不能叠加。,加载过程中P1在P2产生的位移上做的功,加载过程中P2在P1产生的位移上做的功,变形能不能叠加的力学本质：,一种荷载在另一种荷载引起的位移上做了功。,2.扭转变形能,对于线弹

18、性材料，变形能为：,同样，对于扭转的一般情形，有：,3.弯曲变形能,（1）纯弯曲,对于线弹性材料，变形能为：,用外力功表示,用“变形”表示,用“内力”表示,（2）横力弯曲,总变形能=剪切变形能+弯曲变形能,一般情况下剪切变形能很小，可以忽略不计：,综合轴向拉伸（压缩）、扭转、弯曲变形，对于线弹性材料，一般地有：,U 可表成P 的二次函数或的二次函数，这也揭示了应变能不能叠加。,如果构件上有二种荷载，但其中任一种荷载在另一种荷载产生的位移上不做功，则这两种荷载单独作用时产生的变形能之和等于共同作用时产生的变形能。,4.变形能的普遍表达形式,在材料为线弹性的特殊情况下，,这就是用“内力”表示的变形

19、能的普遍表达式（即：克拉贝依隆原理）。,注意：式中M、T、N为所有外力P1、P2、P3共同作用引起的内力。,在材料为线弹性的特殊情况下，,如图，无刚性位移的线弹性结构体，承受荷载P1、P2、P3,设想采用比例加载：P1、P2、P3缓慢的按相同的比例增加，弹性体始终保持平衡，而且各外力作用点的位移1、2、3也将按与外力相同的比例增加。,于是得到用“外力功”表示的变形能的普遍表达式：,注意：式中1、2、3为所有外力P1、P2、P3共同作用引起的位移。,在线弹性特殊情况下，有,例1 求图示简支梁中点的挠度 fC,解：,正号表示 fC 的方向与外力P的指向相同。,三、余 能,定义：余功,余功无物理意义

20、,定义：余能,定义：比余能,对于线弹性材料，显然有：,数值相同，概念不同,一般地，应变能总能表为位移的函数，余能总能表为荷载的函数。,四、卡氏定理,1.卡氏第一定理（应变能法）,当仅 发生微小增量，其余位移无增量时：,另一方面，当仅i 发生增量di时，Pi将做功，从而导致应变能发生增量：,（常力做功）,即,卡氏第一定理：弹性结构的应变能对某一位移的偏导数，等于与此位移相应的外力。,（1）卡氏第一定理既适用于线性弹性，也适用于非线性弹性。,（2）“相应”的意义：,为集中力，则 为与之同方向的线位移。,为集中力偶，则 为与之同转向的角位移。,与 位置相同。,例2 图示结构，AB杆与BC杆的横截面积

21、均为A。应力-应变关系为：，试求AB杆和BC杆的轴力。,解：节点B有两个未知位移：,水平位移：1,垂直位移：2,计算应变能：,也即，将应变能表为位移的函数：,均匀变形：,由卡氏第一定理：,联立以上两式，求解可得：,（拉伸）,（压缩）,（拉）,（压）,（拉）,（压）,2.卡氏第二定理,当仅有Pi有增量dPi，其余荷载不发生变化时：（即每个荷载是独立变化的）。,另一方面，因为dPi，余功的增量为：,余能定理,对于线弹性结构：,所以对于线弹性结构，有：,卡氏第二定理：对于线弹性体，应变能对某一外力的偏导数，等于与此外力相应的位移。,卡氏第一、二定理的另一推导方法,因为按比例加载时，Pj与j一一对应，

22、即Pj是j的单值函数：,所以,即,于是,同理，因为,所以,即,（1）卡氏第二定理只能用于线弹性结构。,（2）“相应”的意义：,为集中力，则 为与之同方向的线位移。,为集中力偶，则 为与之同转向的角位移。,与 位置相同。,（3）应变能应写成外力的函数。,卡氏第二定理的具体应用：,（1）梁,（3）轴,（4）一般地,例3 图示简支梁，求中点C的挠度。,解：,正号表示 fC 的方向与P的指向一致。,例4 图示悬臂梁，求B截面的转角B。,在 B 截面加一与B“相应”的假想外力M,解：因为在 B 截面没有与 B相应的,外力，所以要进行处理。,（顺时针）,（1）负号表示B的转向与 M 的转向相反。,（2）要

23、求某点的“位移”，则必须在该点有与之相应的“力”，若没有，则必须在该处加上假想的附加“力”，求导后再令其为零。,注意：,例5 图示悬臂梁，求C截面的挠度 fC。,解：,（向下）,C,D,例6 图示结构，求 A、B 两点的相对位移。,P,EI,2a,a,P,B,A,x1,x2,x3,解：,五、虚功原理,1.虚位移,虚位移约束所允许的微小位移。,（1）与结构上的荷载完全无关的原因导致的位移（如别的荷载、温度变化、纯假想原因）。,（2）微小，并且符合约束条件。,注意：,2.虚功原理,对于处于平衡状态的弹性体，从平衡位置令其有一微小的虚位移，则作用在弹性体上的外力在虚位移上所作的功Wext，等于弹性体

24、内力在相应的虚位移上所做的功Wint。前者称为外力虚功，后者称为内力虚功。即：,弹性体平衡,另一方面，如果弹性体上的外力和内力在各自的虚位移上所作的功相等，则弹性体处于平衡状态，即：,弹性体平衡,综合上述两方面，即为弹性体的虚功原理：,弹性体平衡的充分必要条件是，外力虚功等于内力虚功，即：,弹性体平衡,以梁为例：,（1）设图所示梁发生虚位移，可得：,（2）设想：将处于平衡状态的梁分成无数个长度为dx的微段，考察其中任一微段，如图所示：,（虚 变 形）,小微段上的虚位移可分解为：刚体虚位移（形心位移）和虚变形。,质点虚功原理：处于平衡状态下的力系在刚体虚位移上的虚功之和等于0。,小微段上的虚功，

25、由于刚体虚位移引起的虚功为0，而所剩仅为力系在虚变形上做的功。,（虚 变 形）,所有微段上的虚功之和即为总的虚功。,即,3.单位力法,（1）建立单位力系统：欲求结构上某点沿某方向的位移，就在该点沿该方向加相应的单位力，作为单位力系统。,“相应”：线位移集中力 角位移集中力偶。,（2）将原荷载系统的位移（变形）作为单位力系统的虚位移。显然满足：,原荷载系统的变形与单位力系统的力完全无关。微小且符合约束条件。,（3）运用虚功原理：,所有微段上的虚功之和即为总的虚功。,注意：上式既适用于线性系统，也适用于非线性系统。,对于线性结构：,莫尔积分法,桁架,轴,梁以弯曲变形为主，可略去轴力、剪力、扭矩的影

26、响,例7 求图示结构C点的竖直位移。,（1）建立单位力系统如图。,解：,（2）建立坐标系如图。,荷载系统与单位力系统坐标系要一致。,(3)求内力。,荷载系统：,单位力系统：,单位力系统与荷载系统的内力符号规定必须一致。,（4）利用单位力法求C点的竖直位移。,fC符号为正表明 fC的指向与单位力F=1 的指向相同。,例8 求图示结构 A 截面的转角A。,无论实际结构中有无与A点的转角A相应的外力，都必须建立单位力系统。,（2）求内力：,（3）求：,前的负号表示 的转向与单位力 的转向相反。,六、计算莫尔积分的图乘法,梁、刚架等线性结构，单位力法主要是计算莫尔积分：,对于最常见的均质等直杆，EI为

27、常数，可以提取到积分号的外面，莫尔积分变为：,考察任一梁段AB，其上由荷载引起的弯矩MF(x)可为任意图形，而由单位力引起的弯矩 为斜直线。,建立坐标系：以 与 x 轴的交点O为坐标原点，设 与 x轴的夹角为。,阴影部分面积,(1)应用条件：杆段必须是直杆，且EI 为常数，两个图形至少有一个是直线图形,（2）正负号规则：面积 A 与纵坐标 yc 在同一侧时，乘积取正号；反之取负号。（3）如果一个图形是曲线，一个图形是直线，则纵坐标yc 可以取自于其中直线图形。如果两个图形都是直线图形,则纵坐标 yc 可以取自于其中任一图形。,应用图乘法计算时要注意的几个问题,（4）如果一个图形为曲线，另一个图

28、形为折线，则应分段考虑。如图所示，有,如果杆件各段有不同的EI，则应在EI 变化处分段进行图乘。如图所示，有,（5）当图形的面积的计算或形心位置不易确定时，可将其分解为几个简单的图形，分别进行图乘再叠加计算。如图所示为两个梯形相乘，可以把梯形分解为两个三角形（或分为一个矩形和一个三角形），分别图乘，然后叠加，即,又如两个直线图都含有不同符号的两部分，如图所示，可以将其中一个图形分解为两个三角形 ABC 和 ABD，处理方法仍和上面一样，图乘时应注意正负号。,如果图形比较复杂，可以将图形分解为几个简单图形，分项计算后再进行叠加。如图所示的 MP 图可以看成在均步载荷作用下的抛物线弯矩图和形状为梯

29、形的弯矩图叠加而成，然后分别与 图图乘，取其代数和。,表 常见图形的面积与形心位置,例9 求图示悬臂梁在自由端的挠度。,解：,（1）建立单位力系统：,（2）作荷载系统和单位力系统的弯矩图：,（3）计算、：,“正号”表明 的指向与单位力 的指向相同。,例10 求图示外伸梁 A 截面的转角。,例10 求图示外伸梁 A 截面的转角。,（2）作、图：,（3）图乘求A：,与 引起的弯矩图分开画，易于确定各图形的面积和形心位置。,与 在基线同一侧时，为正，在基线异侧时，为负。,例11 求图示简支梁 C 点的挠度和 A 点的转角。,例11 求图示简支梁 C 点的挠度和 A 点的转角。,（2）作、图：,(3)

30、求A：,（4）建立求 的单位力系统并作相应的 图：,M图为折线，以转折点为界分段进行图乘，然后求和。,例12 求图示悬臂梁 C 点的挠度。,例12 求图示悬臂梁 C 点的挠度。,解：（1）建立单位力系统：,（2）作、图：,将 图分成易于确定面积和形心位置的三个面积。,将三个面积分别与 图乘，然后相加：,图乘法注意要点：,（1）直杆方能图乘。,（2）和 图绘制原则为或同时画在受拉边，或同时画在受压边。,（3）图必须为一条直线，为折线时应分段。,（4）尽量将 图绘成面积及形心位置已知的图形（包括不同荷载的弯矩图分开画）。,（5）与 在基线同一侧时，为正，反之为负。,七、互等定理,以梁为例推导：,记

31、号：荷载：Fi i:“力”的作用位置 位移：fij i:位移发生的位置 j:位移发生的原因，j点的“力”引起的,由叠加原理，1点总的位移为：f11+f12 2点总的位移为：f21+f22,现在梁上1、2两点加荷载 F1、F2，采用两种不同方式加载:第一种加载方案：1、2两点同时加 F1、F2。,第二种加载方案：先加F1，然后再加F2,在整个加载的过程中F1与F2做功为：,线弹性结构，应变能只与力的终值有关，与加载方式无关。,功的互等定理,F2在F1引起的位移上所做的功=F1在F2引起的位移上所做的功,位移互等定理,第1点的荷载引起的第2点的位移=在第2点作用同样大小的荷载引起的第1点的位移,当F1和F2在数值上相等时，由功的互等定理可得到：,注意：,功互等,当 M1 与 F2 数值上相等时：,位移互等（数值上相等）,功互等,当 M1 与 M2 在数值上相等时：,位移互等（数值上相等）,