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1、补充 二次曲面的一般理论,空间直角坐标变换,二次曲面方程的化简,应用不变量判断二次曲面的类型,二次曲面的仿射特征和度量特征,空间直角坐标变换,空间仿射坐标变换公式,向量的坐标变换公式:,其中(c11,c21,c31),(c12,c22,c32),(c13,c23,c33)分别为新坐标向量e1,e2,e3 在原坐标系 I 中的坐标.,I 到 I 的过渡矩阵,点的坐标变换公式:,其中(c11,c21,c31),(c12,c22,c32),(c13,c23,c33)分别为新坐标向量e1,e2,e3 在原坐标系 I 中的坐标,(d1,d2,d3)为新原点O在原坐标系 I 中的坐标.,空间直角坐标变换,
2、过渡矩阵的性质,1.过渡矩阵是可逆矩阵.,2.设有三个仿射坐标系 I,I,I,I 到 I 的过渡矩阵为C,I 到 I 的过渡矩阵为D,则 I 到 I 的 过渡矩阵为CD.,3.若 I 到 I 的过渡矩阵为 C,则 I 到 I 的过渡 矩阵为 C 1.,4.两个直角坐标系之间的过渡矩阵是正交矩阵.,空间直角坐标变换,空间直角坐标(点)变换,移轴:,或,其中(d1,d2,d3)为新原点O在原坐标系 I 中的 坐标.,空间直角坐标变换,转轴:设新坐标向量e1,e2,e3 与原坐标向量 e1,e2,e3 的交角如下表所示:,空间直角坐标变换,则转轴公式为:,或,空间直角坐标变换,或,一般的空间直角坐标
3、(点)变换公式:,空间直角坐标变换,空间一般坐标变换公式,还可以由新坐标系的 三个坐标面来确定.,设有两两互相垂直 的三个平面:,1:A1x+B1y+C1z+D1=0,2:A2x+B2y+C2z+D2=0,3:A3x+B3y+C3z+D3=0,其中 Ai Aj+Bi Bj+Ci Cj=0,(i,j=1,2,3,i j).,空间直角坐标变换,若取1 为yOz面,2 为xOz面,3 为xOy面,则原系到新系的坐标变换公式为:,其中正负号的选取要使得坐标变换为右手直角坐标变换.,空间直角坐标变换,二次曲面的类型,二次曲面的一般方程,空间中二次曲面的一般方程为,a11x2+a22y2+a33z2+2a
4、12xy+2a13xz+2a23yz,其中a11,a22,a33,a12,a13,a23不全为零.,+2b1x+2b2y+2b3z+c=0,(),吕林根解析几何P275.,定理6.6.1 适当选取坐标系,二次曲面的方程 总可化为下列五个简化方程之一:,(I)a11x2+a22y2+a33z2+c=0,a11a22a33 0;,(II)a11x2+a22y2+2b3z=0,a11a22b3 0;,(III)a11x2+a22y2+c=0,a11a22 0;,(IV)a11x2+2b2y=0,a11b2 0;,(V)a11x2+c=0,a11 0.,二次曲面的类型,二次曲面的类型,(一)椭球面,1
5、 椭球面:,2 点:,吕林根解析几何P278.,定理6.6.2 适当选取坐标系,二次曲面的方程 总可化为下列十七个标准方程之一:,3 虚椭球面:,二次曲面的类型,(二)双曲面,4 单叶双曲面:,5 双叶双曲面:,(四)抛物面,7 椭圆抛物面:,(三)二次锥面,6 二次锥面:,二次曲面的类型,(五)二次柱面,9 椭圆柱面:,10 虚椭圆柱面:,11 一条直线:,8 双曲抛物面:,二次曲面的类型,12 双曲柱面:,13 一对相交平面:,14 抛物柱面:,17 一张平面:,15 一对平行平面:,16 一对平行平面:,二次曲面的类型,用不变量判断二次曲面类型,二次曲面的表示,空间中二次曲面的一般方程为
6、,a11x2+a22y2+a33z2+2a12xy+2a13xz+2a23yz,其中a11,a22,a33,a12,a13,a23不全为零.,+2b1x+2b2y+2b3z+c=0,记 F(x,y,z)=a11x2+a22y2+a33z2+2a12xy,+2a13xz+2a23yz+2b1x+2b2y+2b3z+c,(),则,用不变量判断二次曲面类型,(x,y,z)=a11x2+a22y2+a33z2+2a12xy,+2a13xz+2a23yz,则,用不变量判断二次曲面类型,记 F1(x,y,z)=a11x+a12y+a13z+b1,F2(x,y,z)=a12x+a22y+a23z+b2,F3
7、(x,y,z)=a13x+a23y+a33z+b3,F4(x,y,z)=b1x+b2y+b3z+c,则 F(x,y,z)=xF1(x,y,z)+yF2(x,y,z),+zF3(x,y,z)+F4(x,y,z),用不变量判断二次曲面类型,记 1(x,y,z)=a11x+a12y+a13z,2(x,y,z)=a12x+a22y+a23z,3(x,y,z)=a13x+a23y+a33z,4(x,y,z)=b1x+b2y+b3z,则(x,y,z)=x1(x,y,z)+y2(x,y,z)+z3(x,y,z),用不变量判断二次曲面类型,I1=a11+a22+a33,二次曲面的不变量,用不变量判断二次曲面类
8、型,二次曲面的半不变量,用不变量判断二次曲面类型,P287.定理6.7.3 给出二次曲面方程(),则用不 变量和半不变量判别()为何种类型的充要条件是:,第(I)类曲面:I3 0;,第(II)类曲面:I3=0,I4 0;,第(III)类曲面:I3=0,I4=0,I2 0;,第(IV)类曲面:I3=0,I4=0,I2=0,K2 0;,第(V)类曲面:I3=0,I4=0,I2=0,K2=0.,用不变量和半不变量判断二次曲面的类型,用不变量判断二次曲面类型,型别,识别标志,类别,椭球面,一点,虚椭球面,I4 0,I4=0,I4 0,椭 球 面(I3 0 I2 0或 I1I3 0),P291.定理6.
9、7.5,用不变量判断二次曲面类型,型别,识别标志,类别,单叶双曲面,双叶双曲面,I4 0,I4 0,二次锥面,I4=0,双 曲 面(I3 0 I2 0或 I1I3 0),二次锥面(I3 0 I2 0 或 I1I3 0),用不变量判断二次曲面类型,型别,识别标志,类别,椭圆抛物面,双曲抛物面,I4 0,I4 0,抛 物 面(I3=0 I4 0),用不变量判断二次曲面类型,型别,二次柱面(I3=0 I4=0 I2 0),识别标志,类别,双曲柱面,一条直线,K2 0,椭圆柱面,K2=0,I1K2 0,I2 0,虚椭圆柱面,I1K2 0,I2 0,I2 0,I2 0,一对相交平面,K2=0,I2 0,
10、用不变量判断二次曲面类型,型别,识别标志,类别,一对平行平面,K2=0,K1=0,抛物柱面,K2=0,K1 0,K2=0,K1 0,K2 0,二次柱面(I3=0 I4=0 I2=0),一对虚平行平面,一对重合平面,用不变量判断二次曲面类型,P291.定理6.7.4 设1,2,3 是二次曲面()的特征方程|I A0|=3 I12+I2 I3=0 的非零特征根,则二次曲面()的简化方程如下:,第(I)类曲面:I3 0;,第(II)类曲面:I3=0,I4 0;,用不变量和半不变量化简二次曲面的方程,用不变量判断二次曲面类型,第(III)类曲面:I3=0,I4=0,I2 0;,第(IV)类曲面:I3=
11、0,I4=0,I2=0,K2 0;,第(V)类曲面:I3=0,I4=0,I2=0,K2=0.,用不变量判断二次曲面类型,例 1 设在空间直角坐标系下二次曲面有下列方 程,判断其类型,并求其标准方程:,(1)x2+y2+5z26xy2xz+2yz6x+6y6z+10=0;,(2)2x2+2y2+3z2+4xy+2xz+2yz4x+6y2z+3=0.,解:,(1)二次曲面的矩阵为,(3)4x2+y2+z2+4xy+4xz+2yz24x+32=0.,用不变量判断二次曲面类型,I1=1+1+5=7,用不变量判断二次曲面类型,因为 I3 0,I2=0,I4 0,所以这是双叶双曲面.,解特征方程 3I12
12、+I2I3=372+36=0 得,三个非零特征值 1=6,2=3,3=2,用不变量判断二次曲面类型,因此二次曲面(1)的简化方程为:,即,故它的标准方程为,用不变量判断二次曲面类型,(2)二次曲面的矩阵为,I1=2+2+3=7,用不变量判断二次曲面类型,因为 I3=0,I4 0,所以这是椭圆抛物面.,用不变量判断二次曲面类型,解特征方程 3I12+I2I3=372+10=0 得,两个非零特征值 1=5,2=2,因此二次曲面(2)的简化方程为:,即,故它的标准方程为,用不变量判断二次曲面类型,(3)二次曲面的矩阵为,I1=4+1+1=6,用不变量判断二次曲面类型,因为 I3=I4=I2=0,K2
13、 0,所以这是抛物柱面.,=144 144+0=288,用不变量判断二次曲面类型,因此二次曲面(3)的简化方程为:,即,故它的标准方程为,用不变量判断二次曲面类型,二次曲面仿射特征度量特征,直线与二次曲面的相交情况,设空间二次曲面 的一般方程为,a11x2+a22y2+a33z2+2a12xy+2a13xz+2a23yz,+2b1x+2b2y+2b3z+c=0,(),直线 l 的参数方程为,则直线 l 与二次曲面 的相交方程为,(X,Y,Z)t2+2 XF1(x0,y0,z0)+YF2(x0,y0,z0),+ZF3(x0,y0,z0)t+F(x0,y0,z0)=0.,情形1 当(X,Y,Z)0
14、 时,()是 t 的二次方程,其判别式,4(X,Y,Z)F(x0,y0,z0),(),=4XF1(x0,y0,z0)+YF2(x0,y0,z0)+ZF3(x0,y0,z0)2,二次曲面仿射特征度量特征,若 0,则 l 和 有两个不同交点;,若=0,则l 和 有两个重合交点;,若 0,则 l 和 无交点,但方程()有 两个共轭复根,也称 l 和 有两个虚交点.,情形2 当(X,Y,Z)=0 时,XF1(x0,y0,z0)+YF2(x0,y0,z0)+ZF3(x0,y0,z0)0,则()为 t 的 一次方程,l 和 只有一个交点.,二次曲面仿射特征度量特征,而F(x0,y0,z0)0,则()无解,
15、l 和 不相交.,XF1(x0,y0,z0)+YF2(x0,y0,z0)+ZF3(x0,y0,z0)0,XF1(x0,y0,z0)+YF2(x0,y0,z0)+ZF3(x0,y0,z0)0,且F(x0,y0,z0)0,则()为恒等式,于是任何实数 t 都是()的解,从而整条直线 l 在二次曲面 上.,二次曲面仿射特征度量特征,二次曲面的渐近方向,定义 6.2.1 一个非零向量 u(X,Y,Z)如果使得(X,Y,Z)=0,则称 u 所代表的直线方向为 的渐近方向.否则,称为非渐近方向.,通过任意给定的点(x0,y0,z0),且以二次曲面()的任意渐近方向u(X,Y,Z)为方向的所有直线的 轨迹是
16、一个以(x0,y0,z0)为锥顶的锥面:,(x x0,y y0,z z0)0.,二次曲面仿射特征度量特征,二次曲面的中心,定理 6.2.1 点M0(x0,y0,z0)是二次曲面()的中心 的充要条件是M0的坐标(x0,y0,z0)是下面方程组 的解:,称上述方程组为二次曲面()的中心方程组.,二次曲面仿射特征度量特征,中心方程组的系数矩阵A和增广矩阵B分别为,二次曲面仿射特征度量特征,R(A)=R(B)=3,中心方程组的系数行列式,方程组有唯一解,二次曲面()有唯一中心;,R(A)=R(B)=2,中心方程组有无穷多解,这些 解可用一个参数线性表示,因此二次曲面()有无穷多中心,它们构成一条直线
17、;,R(A)=R(B)=1,中心方程组有无穷多解,这些 解可用两个参数线性表示,因此二次曲面()有无穷多中心,它们构成一个平面;,二次曲面仿射特征度量特征,R(A)R(B),中心方程组无解,因此二次曲面()没有中心.,定义 6.2.3 有唯一中心的二次曲面叫中心二次 曲面;否则称为非中心二次曲面,其中没有中心的二次曲面叫无心二次曲面;有无数中心且构成一条直线的二次曲面叫线心二次曲面;而有无数中心且构成一个平面的二次曲面叫面心二次曲面.,推论 二次曲面()成为中心二次曲面的充要条件是 I3 0,为非中心二次曲面的充要条件是 I3=0.,二次曲面仿射特征度量特征,二次曲面的径面和奇向,定理 6.4
18、.1 二次曲面()的一族平行于一个非渐近方向 u(X,Y,Z)的弦的中点的轨迹是一个平面,称为共轭于方向 u 的径面,其方程为,XF1(x,y,z)+YF2(x,y,z)+ZF3(x,y,z)0 或,定理 6.4.2 二次曲面的任何径面一定通过它的 中心(假若中心存在的话).,推论1 线心二次曲面的任何径面通过它的中心线.,推论2 面心二次曲面的径面与它的中心平面重合.,1(X,Y,Z)x+2(X,Y,Z)y+3(X,Y,Z)z+4(X,Y,Z)=0.,二次曲面仿射特征度量特征,仍表示一个平面,也称为共轭于方向 u 的径面.,注:如果u(X,Y,Z)是二次曲面的渐近方向,那么 平行于u 的弦不
19、存在,但如果1(X,Y,Z),2(X,Y,Z),3(X,Y,Z)不全为零,那么,定义6.4.2 满足i(X,Y,Z)=0,i=1,2,3 的渐近方向u(X,Y,Z)称为二次曲面的奇异方向,简称奇向.,定理 6.4.3 二次曲面有奇向 I3=0.,推论 有且只有中心曲面没有奇向.,定理 6.4.4 二次曲面的奇向平行于其任意径面.,1(X,Y,Z)x+2(X,Y,Z)y+3(X,Y,Z)z+4(X,Y,Z)=0.,二次曲面仿射特征度量特征,二次曲面的主径面和主方向,定义6.5.1 如果二次曲面的径面垂直于它所共轭的方向,则称这个径面为二次曲面的主径面.,显然主径面就是二次曲面的对称面.,定义6.
20、5.2 二次曲面的主径面的共轭方向,或二次曲面的奇向,称为二次曲面的主方向.,注:u(X,Y,Z)成为二次曲面()的主方向 存在,使得,二次曲面仿射特征度量特征,二次曲面的切线和切平面,定义6.3.1 如果直线与二次曲面相交于两个互相重合的点,则这条直线叫做二次曲面的切线,那个重合的交点叫做切点,如果直线全部在二次曲面上,这条直线也叫做二次曲面的切线,直线上的每个点都是切点.,定义6.4.2 二次曲面上满足Fi(x0,y0,z0)=0,i=1,2,3 的点(x0,y0,z0)称为二次曲面的奇异点,简称奇点,非奇异点称为二次曲面的正常点.,二次曲面仿射特征度量特征,对称面的求法:,(1)解特征方
21、程|I A0|=3 I12+I2 I3=0,求出三个特征根1,2,3;,(2)对每个特征根i,解齐次线性方程组,得出对应于每个非零特征根i 的主方向,然后代 入径面方程即得.,二次曲面仿射特征度量特征,定义6.3.2 二次曲面在一点处的所有切线上的点构成的平面叫做二次曲面的切平面,这一点叫做切点.,定理6.3.1 如果(x0,y0,z0)是二次曲面的正常点,则二次曲面在(x0,y0,z0)处存在唯一的切平面,它的方程是,(xx0)F1(x,y,z)+(yy0)F2(x,y,z)+(zz0)F3(x,y,z)=0,或 F1(x0,y0,z0)x+F2(x0,y0,z0)y+F3(x0,y0,z0)z,+F4(x0,y0,z0)=0.,二次曲面仿射特征度量特征,设在空间直角坐标系下二次曲面有下列方程,判断其类型,并求其标准方程:,(1)x2+y2+z2+4xy4xz4yz3=0;,(2)x22y2+z2+4xy8xz4yz14x4y+14z+16=0.,(3)4x2+2y2+3z2+4xz4yz+6x+4y+8z+2=0.,作 业,(4)2x2+2y24z25xy2xz2yz2x2y+z=0.,
