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1、工程力学,Engineering Mechanics,Department of Mechanics of School of Civil Engineering and Architecture of Central South University,第九章 扭转,9-1 引言,两力偶作用面之间的各横截面绕轴线相对转动。,杆件受到一对等值、反向、作用面与轴线垂直的力偶作用。,变形特点,受力特点,9-2 动力传递与扭矩,一、功率、转速与扭力偶矩之间的关系,1.外力偶矩与功率、角速度关系,2.外力偶矩与功率、转速关系,二、扭矩与扭矩图,扭矩正负规定,由右手螺旋法则确定，扭矩矢量与截面外法线一致，
2、扭矩为正；反之为负。,1.截面法与扭矩,例：图所示传动轴，主动轮B 输入的功率PB=10kW，若不计轴承摩擦所耗的功率，两个从动轮输出的功率分别为PA=4kW，PC=6kW，轴的转速n=500r/min，试作轴的扭矩图。,2.扭矩图,扭矩沿轴线方向变化的图形，横坐标表示横截面的位置，纵坐标表示扭矩的大小。,解：计算外力偶矩,计算轴各段的扭矩,解得：,绘制扭矩图,解得：,2-2：,1-1：,9-3 切应力互等定理与剪切胡克定律,一、薄壁圆管的扭转应力,各圆周绕轴线相对转动，形状、大小、距离不变；各纵向线倾斜相同的角度，仍为直线，表面矩形变为平行四边形。,微元体无轴向、横向正应变，存在垂直于半径方
3、向的切应变，圆周上所有的剪切变形相同。,圆周上各点在轴向、横向无正应力，在垂直于半径方向上有相同的切应力。,各圆周绕轴线相对转动，形状、大小、距离不变；各纵向线倾斜相同的角度，仍为直线，表面矩形变为平行四边形。,由于管壁很薄，近似认为切应力沿壁厚均匀分布,圆周上各点在轴向、横向无正应力，在垂直于半径方向上有相同的切应力。,二、切应力互等定理,1.纯剪切,微元体的四个侧面上只存在切应力无正应力。,2.切应力互等定理,在微元体的两个互相垂直的截面上，垂直于截面交线的切应力数值相等，方向均指向或背离该交线。,三、剪切胡克定律,当切应力不超过材料的剪切比例极限时，切应力与切应变成正比。,弹性模量、剪切
4、弹性模量、泊松比之间的关系,剪切弹性模量,9-4 圆轴扭转横截面上的应力,一、扭转切应力的一般公式,1.变形几何关系,各圆周绕轴线相对转动，形状、大小、距离不变；各纵向线倾斜相同的角度，仍为直线，表面矩形变为平行四边形。,切应变在横截面上的分布,平面假设,圆轴扭转变形前原为平面的横截面，变形后仍为平面，形状、大小不变，半径仍为直线，两相邻截面间的距离不变。,2.物理关系,未知，与内力、材料、截面有关。,3.静力关系,令,抗扭刚度：截面抵抗扭转变形的能力,4.扭转切应力的一般公式,二、最大扭转切应力,9-5 极惯性矩与抗扭截面系数,一、实心圆截面,二、空心圆截面,三、薄壁圆截面,极惯性矩与面积对
5、于点的分布有什么关系？,相同面积的实心圆与空心圆哪个对于圆心的极惯性矩大？,9-6 圆轴扭转破坏与强度条件,一、扭转失效与扭转极限应力,1.塑性材料的扭转失效,横截面上的最大切应力即扭转屈服应力为扭转极限应力。,断口材料呈片状，剪切破坏,断口横截面，最大切应力引起剪切破坏,低碳钢抗剪能力比抗拉能力差,2.脆性材料的扭转失效,横截面上的最大切应力即扭转强度极限为扭转极限应力。,断口45o的螺旋面，最大拉应力引起的脆性断裂,断口材料呈颗粒状，脆性断裂破坏,铸铁抗拉能力比抗剪能力差,二、轴的强度条件,三、圆轴合理截面与减缓应力集中,1.设计轴截面宜将材料远离圆心，平均半径越大，壁厚越小，切应力分布越
6、均匀，材料的利用率越高。,2.设计轴减少截面尺寸的急剧改变，以减缓应力集中。,例：图所示阶梯形空心圆截面轴，在横截面A、B、C处承受扭力偶作用，已知MA=150Nm，MB=50Nm，MC=100Nm，许用切=90PMa应力。试校核轴的强度。,解：AB与BC段的扭矩分别为,所以轴满足强度条件,AB与BC段进行强度校核,例：某传动轴，轴内的最大扭矩T=1.5kNm，若许用切应力=50PMa。试按下列两种方案确定轴的横截面尺寸，并比较其重量。实心圆截面。空心圆截面，其内外径的比值di/d0=0.9。,解：计算实心轴直径,计算空心轴外径,空心轴内径,确定空心轴与实心轴的重量比,9-7 圆轴扭转变形与刚
7、度条件,一、圆轴扭转变形,1.单位长度dx的扭转角度,2.相距l 两截面的相对扭转角,3.扭矩、切变模量为常数，等截面圆轴相距l 的两截面的相对扭转角,二、圆轴扭转刚度条件,例：图所示圆截面轴AC，承受扭力偶矩MA、MB、MC作用。已知MA=180Nm，MB=320Nm，MC=140Nm，IP=3.0105mm4，l=2m，G=80GPa，=0.5o/m。试计算该轴的总扭转角AC，并校核轴的刚度。,解：计算轴的总扭转角,校核轴的刚度,所以轴的刚度满足要求,例：两端固定的等截面圆杆AB，在截面C 受一扭转力偶矩M作用。已知杆的抗扭刚度为GIP，试求两端的约束力偶矩。,解：以圆杆AB为研究对象，建
8、立平衡方程,由变形几何关系得变形协调方程,由扭转胡克定律可得,由解得：,例：传动轴转速n=300r/min，主动轮A输入的功率PA=36.7kW。从动轮B、C、D输出功率分别为PB=14.7kW，PC=PD=11kW。轴的材料围5号钢，G=80GPa，=40PMa，=2o/m。试选择BD的直径。,解：计算外力偶矩,计算BD的直径,按强度条件设计轴的直径,作扭矩图确定最大扭矩,按刚度条件设计轴的直径,所以BD的直径,按强度条件设计轴的直径,第十章 弯曲内力,10-1 引言,变形特点,受力特点,杆件受垂直于轴线的横向外力或轴线平面内外力偶作用。,杆件横截面绕中性轴作相对转动，轴线由直线变为曲线。,
9、10-2 梁的计算简图,一、支座形式与支座约束力,1.活动铰支座,2.固定铰支座,3.固定端,二、梁的类型,1.简支梁,2.外伸梁,3.悬臂梁,10-3 剪力与弯矩,一、梁内力计算的截面法,1.剪力与弯矩,解得：,2.剪力、弯矩的正负规定,剪力的正负规定,剪力使研究对象有顺时针转的趋势为正，逆时针转的趋势为负。,弯矩的正负规定,弯矩使研究对象上凹下凸（凹面向上）为正，弯矩使研究对象上凸下凹（凹面向下）为负。,例：简支梁AB受力如图，求截面D与C上的剪力和弯矩。,解：求支座约束力，建立平衡方程,解得：,求截面D上的内力,作截面D取左段为研究对象，受力图如图，建立平衡方程,解得：,求截面C上的内力
10、,作截面C取左段为研究对象，受力图如图，建立平衡方程,解得：,作截面C取右段为研究对象，受力图如图，建立平衡方程,在集中载荷作用处截面的左右边的剪力不同，弯矩相同；在集中力偶作用处截面左右边的弯矩不同，剪力相同。,解得：,二、梁内力计算的简易法,剪力,弯矩,横截面上的剪力等于该截面任一侧梁上所有横向外力的代数和，外力符号同剪力的正负规定。,横截面上的弯矩等于该截面任一侧梁上所有外力（包括力偶）对截面形心之矩的代数和，外力（包括力偶）对截面形心之矩符号同弯矩的正负规定。,例：简支梁AB受力如图，求截面D与C上的剪力和弯矩。,解：求支座约束力，建立平衡方程,解得：,求截面D、C上的内力,10-4
11、剪力、弯矩方程 与剪力、弯矩图,一、剪力方程和弯矩方程,以横坐标x表示横截面在梁轴线的位置，各横截面上的剪力和弯矩表示为x的函数。,剪力方程,弯矩方程,当外力突变时，剪力、弯矩方程可能发生变化，所以集中载荷处、集中力偶处、分布载荷的起止处均是方程的分段点。,求x截面的剪力、弯矩,二、剪力图与弯矩图,以平行于梁轴线的横坐标表示横截面位置，以纵坐标表示相应截面的剪力、弯矩。,建立坐标 FS-x 和 M-x,确定各分段点处截面上的剪力、弯矩，标在相应的位置,在分段点之间按剪力方程、弯矩方程大致绘出图形,标出FSmax和Mmax数值及位置,例：图所示简支梁在整个梁上作用有集度为q 的均布载荷。列出此梁
12、的剪力方程和弯矩方程，并作出剪力图和弯矩图。,解：求支座约束力,剪力方程和弯矩方程（以A端为坐标原点）,绘制剪力图和弯矩图,当结构、载荷对称时，剪力图反对称，弯矩图对称。,均布载荷作用范围剪力图为斜直线，弯矩图为二次抛物线。,当FS=0时，M有极大值或极小值。,例：图所示简支梁在C点受集中力F作用。列出此梁的剪力方程和弯矩方程，并作出剪力图和弯矩图。,解：求支座约束力,剪力方程和弯矩方程（以A端为坐标原点）,绘制剪力图和弯矩图,在集中力F作用处剪力图发生突变，突变值等于集中力的大小（对于集中力作用处截面剪力必须指明截面的左右）。,在集中力F作用处弯矩图变成尖角，同时有极大值或极小值。,例：图所
13、示简支梁在C点受集中力偶M作用。列出此梁的剪力方程和弯矩方程，并作出剪力图和弯矩图。,解：求支座约束力,剪力方程和弯矩方程（以A端为坐标原点）,绘制剪力图和弯矩图,集中力偶对剪力图无影响。,集中力偶M作用处弯矩图发生突变，突变值等于集中力偶的大小。,例：图所示外伸梁上均布载荷为q=3kN/m，集中力偶矩M=3kNm。列出此梁的剪力方程和弯矩方程，并作出剪力图和弯矩图。,解：求支座约束力，取梁为研究对象，建立静力平衡方程,解得：,剪力方程和弯矩方程,CA段：,AD段：,DB段：,10-5 剪力、弯矩与载荷 集度间的微分关系,一、剪力、弯矩与载荷集度间的微分关系,解得：,二、利用剪力、弯矩与载荷集
14、度间的微分关系绘制剪力图、弯矩图,当正弯矩画在上面时，q(x)0，图为凹曲线；q(x)0，图为凸曲线。,例：简支梁受力如图，作梁的剪力图和弯矩图。,解：求支座约束力,解得：,剪力图,AC段：,水平直线,斜直线,CB段：,弯矩图,AC段：,斜直线,CB段：,二次抛物线（有极值）,求弯矩极值位置,例：外伸梁及其所受载荷如图，试作梁的剪力图和弯矩图。,解：求支座约束力,解得：,剪力图,AC段：,斜直线,斜直线,CD段：,水平直线,DB段：,水平直线,BE段：,弯矩图,AC段：,CD段：,二次抛物线（有极值）,求弯矩极值位置,二次抛物线（无极值）,BE段：,斜直线,DB段：,斜直线,例：试作组合梁的剪
15、力图和弯矩图。,解：求支座约束力,解得：,以CB为研究对象，建立静力平衡方程,以整体为研究对象，建立静力平衡方程,剪力图,AE段：,水平直线,水平直线,ED段：,斜直线,DK段：,水平直线,KB段：,弯矩图,AE段：,ED段：,斜直线,DK段：,二次抛物线（有极值）,斜直线,求弯矩极值位置,ED段：,斜直线,第十一章 弯曲应力,11-1 引言,横力弯曲,纯弯曲,梁横截面上既有正应力又有切应力。,梁横截面上只有正应力无切应力。,11-2 截面的几何性质,一、截面的静矩与形心,截面对y轴的静矩,截面对z轴的静矩,截面对形心轴的静矩恒等于零；截面对某轴的静矩为零，则该轴过截面形心。,组合截面的静矩等
16、于截面各部分对同一轴静矩的代数和。,例：计算图示三角形截面对其底边重合的y 轴的静矩。,解：,三、惯性矩和惯性半径,1.惯性矩,截面对z轴的惯性矩,惯性矩与极惯性矩的关系,截面对y轴的惯性矩,二、极惯性矩,2.惯性半径,截面对y、z轴的惯性半径,三、惯性积,截面对y、z轴的惯性积,y、z轴之一为截面对称轴，则 Iyz=0,四、常见截面的惯性矩和惯性半径,1.矩形截面,（矩形截面高h，宽b，z轴过截面形心平行矩形底边）,2.圆形截面惯性矩,3.圆环截面惯性矩,（圆直径为D，z轴过圆心）,（圆内径为d，外径为D，z轴过圆心）,截面对轴的惯性矩或惯性积等于该截面各部分对同一轴的惯性矩或惯性积代数和。
17、,五、组合截面的惯性矩和惯性积,六、惯性矩的平行移轴定理,截面对任一坐标轴的惯性矩，等于对其平行形心轴的惯性矩加上截面面积与两轴间距离平方之乘积。,例：计算图示T 形截面对其形心轴yC 的惯性矩。,解：确定形心轴的位置，坐标系如图,截面对形心轴yC的惯性矩,例：单臂液压机机架的横截面尺寸如图，计算该截面对形心轴yC的惯性矩。,解：确定形心轴的位置，坐标系如图,截面对形心轴yC的惯性矩,11-3 对称弯曲正应力,一、纯弯曲时的正应力,1.变形几何关系,变形后纵向线aa和bb弯成弧线，且aa缩短，bb伸长;横向线mm和nn保持为直线，垂直于变形后的轴线，相对旋转一个角度。,平面假设,变形前原为平面
18、的横截面变形后仍保持为平面，垂直于变形后的梁轴线，绕截面的某一轴旋转一个角度。,中性层,中性轴,中性层上纵向纤维长度不变,中性轴与纵向对称面垂直,距中性层y处纤维bb变形前长度,纤维纵向线应变为,距中性层y处纤维bb变形后长度,正应变在横截面上的分布,纯弯梁纵向纤维正应变与该纤维到中性层的距离成正比。,2.物理关系,由于载荷作用于对称纵截面内，故中性轴与横截面对称轴y垂直，但位置未定。,公式中曲率半径未知，与内力、材料、截面有关。,纯弯时梁横截面上点的正应力与该点到中性轴的距离成正比。,（y轴为截面纵向对称轴，z轴为弯曲时截面的中性轴）,中性轴必过截面形心，同时中性轴与截面纵向对称轴垂直，故中
19、性轴位置可确定。,3.静力关系,y轴为截面的形心主惯性轴，故上式成立。,（y轴为截面纵向对称轴，z轴为弯曲时截面的中性轴）,抗弯刚度：截面抵抗弯曲变形的能力,（y轴为截面纵向对称轴，z轴为弯曲时截面的中性轴）,4.纯弯时横截面的正应力表达式,横截面的弯矩,横截面对于中性轴的惯性矩,所求应力的点距中性轴的垂直距离,二、横力弯曲时的正应力,细长梁,三、最大弯曲正应力,同一横截面上距离中性轴最远处正应力最大。,矩形截面,实心圆截面,空心圆截面,例：图所示悬臂梁，承受的集中力偶M=20kNm作用。梁采用No18工字钢，钢的弹性模量E=200GPa。计算梁内的最大弯曲正应力与梁轴的曲率半径。,解：截面的
20、弯矩,查型钢表,梁内的最大弯曲正应力,梁轴的曲率半径,例：宽度b=6mm、=2mm厚度的钢带环绕在直径D=1400mm的带轮上，已知钢带的弹性模量为E=200GPa。试求钢带内的最大弯曲正应力与钢带承受的弯矩。,解：钢带的应力状态同弯曲，其轴线的曲率半径,横截面离中性轴最远距离,11-4 对称弯曲切应力,一、矩形截面梁的弯曲切应力,假设横截面上各点切应力方向平行于剪力，切应力沿截面宽度均匀分布。,顶面有切向力,切应力互等定理,切应力沿截面高度抛物线分布,最外缘处切应力等于零,中性轴处切应力最大,1.腹板的切应力,最大切应力在中性轴上,腹板内切应力沿高度抛物线分布,最小切应力在腹板与翼缘的交界处
21、,二、工字形截面梁的弯曲切应力,2.翼缘的切应力,翼缘部分切应力复杂且很小，一般不作计算，认为翼缘承受截面弯矩。,腹板厚度远小于翼缘宽度时，可认为腹板上的切应力均匀分布,三、圆形截面梁的弯曲切应力,最大切应力在中性轴上,截面边缘点的切应力与圆周相切,假设AB弦上各点切应力作用线通过一点，且垂直分量相等,四、薄壁环形截面梁的弯曲切应力,假设横截面上切应力的大小沿壁厚无变化。方向与圆周相切。最大切应力在中性轴上,例：图所示矩形截面悬臂梁承受均布载荷q作用，比较梁的最大正应力与最大切应力。,解：梁的最大剪力、最大弯矩为,11-5 梁的强度条件,一、弯曲正应力强度条件,确定危险截面：弯矩图、截面、材料
22、。,当材料抗拉、抗压性能不同时，应分别进行抗拉、抗压的强度计算。,例：图所示圆截面轴AD，中段BC承受均布载荷q=1000kN/m作用，材料许用应力=140MPa。试确定轴径。,解：确定支座约束力，作弯矩图,确定轴径,AB、CD段最大弯矩,确定AB、CD段轴径,确定BC段轴径,BC段最大弯矩,例：图所示意管道支架，1-1截面的形状和尺寸如图。支架上管道重量P=1.0kN，求 1-1截面上的最大正应力；支架中间部分为实心时，1-1截面上的最大正应力。,解：,1-1截面的弯矩,计算截面中心有孔时的最大正应力,1-1截面对中性轴的惯性矩,计算截面中心无孔时的最大正应力,1-1截面对中性轴的惯性矩,例
23、：T 形截面铸铁梁的载荷和截面尺寸如图示。铸铁的抗拉许用应力为 t=30MPa，抗压许用应力为 c=160MPa，试校核梁的强度。,解：求支座约束力，作弯矩图,解得：,截面性质,形心位置,截面对中性轴的惯性矩,强度校核,最大拉应力校核，B截面和C截面可能是最大拉应力发生位置,C截面,B截面,最大压应力校核，最大压应力在B截面,B截面,所以此梁的强度满足要求,例：单梁吊车跨度l=10.5m，由No45a工字钢制成，材料的=140MPa。试计算能否起吊F=85kN的重物；若不能，则在上下翼缘各焊接一块100100的钢板，钢板长a=7m，再校核其强度；求加固钢板的经济安全长度。,解：校核未加固梁的强
24、度,当小车位于梁的中点时，在梁的中点位置处弯矩最大,查型钢表,所以此梁不能起吊F=85kN的重物,校核加固梁的强度,加固处截面强度校核,当小车位于梁的中点时，在梁的中点位置处弯矩最大,未加固处截面强度校核,设加固钢板长度为x，当小车作用在梁中点位置处，未加固截面的最大弯矩,当小车作用在加固钢板边缘处，未加固截面的最大弯矩,所以未加固截面的最大弯矩,未加固截面,所以加固以后该梁是安全的,计算加固钢板的经济安全长度，设加固钢板为x,二、弯曲切应力强度条件,一般情况梁的强度主要由正应力控制，切应力一般会满足要求，以下情况必须复核切应力强度：,1.梁的最大弯矩较小，而最大剪力却很大时（粗短梁、支座附近
25、有很大集中力作用）。,3.各向异性材料（木梁顺纹、组合截面梁胶粘层抗剪强度计算）。,2.在焊接或铆接的组合截面钢梁中，横截面腹板部分的宽度与梁高之比小于型钢截面的相应比值。,例：图所示起重机梁用工字钢制成，已知负载F=20kN，梁的跨度l=6m，许用正应力=100MPa，许用切应力=60MPa。试选择工字钢型号。,解：按梁弯曲正应力强度条件初步选择工字钢型号,当小车位于梁的中点时，在梁的中点位置处弯矩最大,查型钢表选择No22a工字钢,查型钢表选择No22a工字钢,按梁弯曲切应力强度条件复核初步选择的工字钢型号,当小车位于支座位置时，在此位置剪力最大,所以选择工字钢满足弯曲正应力和弯曲切应力强
26、度条件,例：图所示左端嵌固，右端用螺栓联结的悬臂梁，在自由端作用一集中力F。不考虑上下层梁的摩擦，试分析螺栓的受力。,解：螺栓联结后，两根梁看成一个整体（高2a，宽b）在载荷作用下整体弯曲，两根梁的接触面相当于整个梁的中性层,各横截面中性轴处切应力,中性层面上切应力,中性层面上的剪力,实际中性层间的剪力完全由螺栓承受，所以螺栓受剪力,中性层面上切应力,11-6 梁的合理强度设计,一、梁的合理截面形状,1.合理的截面形状应该是截面面积较小，抗弯截面系数较大。,定量分析,矩形,矩形比方形合理,方形比圆合理,方形,圆,定性分析,Wz 与截面面积对于中性轴的分布有关。材料分布越远离中性轴，截面的Wz
27、越大。,可认为梁横截面正应力沿高度线性分布，中性轴附近正应力值很小，该处的材料未发挥作用，可以将材料移置距中性轴较远处，使之充分利用。,2.考虑材料的特性来选择截面的合理形状,抗拉和抗压强度相等的材料，宜采用中性轴为对称轴的截面。,抗拉和抗压强度不相等的材料，宜采用中性轴偏向一侧的截面，使 y1 和 y2 之比接近于下列关系,例：图所示梯形截面承受正弯矩作用。已知材料的许用拉应力 t=45MPa，许用压应力 c=80MPa，为使梁重量最轻，试确定截面的顶边宽度a 与底边宽度b 的最佳比值。,解：截面形心距底边距离是,为使截面合理，满足下列条件,解得：,二、变截面梁和等强度梁,1.变截面梁,2.
28、等强度梁,改变截面尺寸，使抗弯截面系数随弯矩而变化。,变截面梁各横截面的最大正应力都等于许用应力。,例：图示集中力F 作用下的简支梁，截面为矩形，设宽度b 不变，设计等强度梁。,解：,在支座附近，按切应力强度条件确定截面最小高度,三、梁的合理受力,1.合理布置梁的支座,2.尽量将载荷分散作用,第十二章 弯曲变形,12-1 引言,一、梁的挠曲轴,在外力作用下，受弯后梁的轴线变为一条连续光滑的曲线。,二、挠度、转角,1.挠度、转角,挠度,梁横截面的形心在垂直于轴线方向的位移。,转角,梁横截面绕其中性轴所转的角位移。,2.挠度、转角正负规定,挠度正负规定,挠度与坐标轴正向一致取正，反之取负。,转角正
29、负规定,转角逆时针转向为正，顺时针转向为负。,三、挠度和转角的关系,1.挠度方程,2.转角方程,3.挠度和转角的关系,挠曲轴上任一点斜率,在小挠度情况下，很小,挠曲轴是挠度方程的函数曲线,12-2 挠曲轴近似微分方程,平面弯曲时梁轴线的曲率,由微积分可知，挠曲轴任一点曲率,梁的挠曲轴微分方程,在小挠度条件下,挠曲轴近似微分方程,近似微分方程适用于弹性范围内小挠度平面弯曲。,梁的挠曲轴微分方程,12-3 计算梁位移的积分法,梁的挠曲轴近似微分方程,梁的转角方程,梁的挠曲轴方程,积分常数由支承条件（边界的转角和挠度已知）和连续条件（挠曲线连续光滑）确定。,例：图所示悬臂梁，自由端承受集中载荷F 作
30、用，梁的弯曲刚度为EI。求梁的挠曲轴方程和转角方程，并确定最大挠度和最大转角。,解：列弯矩方程，建立如图坐标系,挠曲轴近似微分方程,转角方程,挠曲轴方程,确定积分常数,解得：,转角方程,挠曲轴方程,确定最大挠度和最大转角,例：图所示简支梁，左端支座处受集中力偶 M=Fl 作用，梁的弯曲刚度为EI。求此梁的挠曲轴方程和转角方程，并确定最大挠度和最大转角。,解：列弯矩方程，建立如图坐标系,挠曲轴近似微分方程,转角方程,挠曲轴方程,确定积分常数,解得：,转角方程,挠曲轴方程,确定最大挠度和最大转角,例：简支梁AB如图所示（图中a b），承受集中载荷F作用，梁的弯曲刚度为EI。求此梁的挠曲轴方程和转角
31、方程，并确定挠度的最大值。,解：列弯矩方程，建立如图坐标系,AC段（0 xa）,CB段（a xl）,转角方程,挠曲轴方程,AC段（0 xa）,CB段（a xl）,挠曲轴近似微分方程,弯矩方程,确定积分常数,解得：,挠曲轴方程,AC段（0 xa）,CB段（a xl）,转角方程,挠曲轴方程,转角方程,确定最大挠度,所以转角为零的点在AC 段,12-4 计算梁位移的叠加法,梁材料服从胡克定律下的小变形，几种载荷共同作用产生的变形等于每种载荷单独作用产生变形的代数和。,例：简支梁上作用均布载荷q 和集中力F，设弯曲刚度为常数。试用叠加法求横截面的挠度。,解：,例：悬臂梁在段作用集度为q 的均布载荷，设
32、弯曲刚度EI为常数。试用叠加法求自由端C 的挠度和转角。,例：图示等截面外伸梁，设弯曲刚度EI 为常数。试用叠加法求截面B 的转角和端点C 的挠度。,解：外伸梁可看作由简支梁和固定在B处的悬臂梁组成,简支梁AB的变形，将均布载荷向B处简化，得作用在B处的集中力qa和力偶 M=qa2/2,悬臂梁BC的变形，均布载荷引起C有挠度，简支梁AB在B处可以转动，由于转动引起C有挠度,例：图所示矩形截面梁，自由端横截面内承受集中载荷F 作用，该载荷与对称轴 y 的夹角为，试计算自由端形心C 的位移。,解：将载荷沿坐标轴与分解,Fy 作用时，形心C沿坐标轴 y 方向的挠度,Fz作用时，形心C沿坐标轴 z 方
33、向的挠度,形心C的位移,总位移与坐标轴y的夹角,12-5 简单静不定梁,例：图所示AB梁端固定，B端活动铰，承受均布载荷，梁的弯曲刚度为EI。求A、B 处的约束力。,解：解除B 端约束，用自由端和约束力FBy 代替,解得：,变形协调条件,建立静力平衡方程,解得：,解除A端转动约束，用固定铰和约束力MA代替。变形协调条件,解得：,建立静力平衡方程,解得：,例：图所示圆形截面梁承受集中载荷F 作用，已知F=20kN，跨度a=500mm，截面直径d=60mm，许用应力=100MPa，试校核梁的强度。,解：求支座约束力，作弯矩图,解除B 端约束，用相应的约束力FBy 代替，变形协调条件,解得：,建立静
34、力平衡方程,解得：,强度校核,所以梁的强度满足要求,例：悬臂梁承受集中载荷F 作用，因其刚度不够用杆CB 加固。试计算梁AB 的最大挠度的减少量。设梁与杆的长度均为l，梁的弯曲刚度与杆的拉压刚度分别为EI与EA，且A=3I/l2。,解：将加固梁B 处的约束解除，用相应的约束力FR 代替,变形协调条件,解得：,加固梁的最大挠度,未加固梁的最大挠度,12-6 梁的刚度条件与 合理刚度设计,一、梁的刚度条件,一般轴,吊车梁,架空管道,滑动轴承,例：简支梁跨中承受集中载荷F=35kN。已知跨度l=4m，许用应力=160MPa，许用挠度=l/500，弹性模量E=200GPa，试选择工字钢型号。,解：按强度条件选择工字钢型号,按刚度条件选择工字钢型号,查表选择No22a工字钢,二、提高梁弯曲刚度的措施,1.选择合理的截面形状,2.合理选择材料,影响梁刚度的截面几何性质是惯性矩，所以合理截面形状是截面面积较小而惯性矩大的截面。,影响梁刚度的材料性能是弹性模量，所以选择弹性模量大的材料。,3.梁的合理加强,梁的位移与梁内所有微段的变形均有关，所以提高梁的刚度必须在一定范围内提高梁的刚度。,4.梁跨度的选取,5.合理安排梁的约束与加载方式,通过减小梁的跨度实现减小梁的弯矩，从而达到降低梁弯曲变形的目的。,通过合理安排梁的约束与加载方式减小梁的弯矩，从而达到降低梁弯曲变形的目的。,
