光学教程第3章.docx

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1、3.1证明反射定律符合费马原理。证明：设两个均匀介质的分界面是平面，它们的折射率为n1和n2。光线 通过第一介质中指定的A点后到达同一介质中指定的B点。为了确定实 际光线的路径，通过A,B两点作平面垂直于界面，OO是它们的交线， 则实际光线在界面上的反射点C就可由费马原理来确定，如下图所示。反证法：如果有一点C位于线外，则对应于C，必可在OO线上找到 它的垂足C.由于ACAC,BCBC,故光线acb总是大于光程 AC” B而非极小值，这就违背了费马原理，故入射面和反射面在同一平 面内得证。（2）在图中建立坐XOY坐标系，则指定点A,B的坐标分别为（x1，y1） 和（x2, y2），未知点C的坐

2、标为（x，0）。C点是在A、B之间的，光程必小于C点在A，B以外的相应光程，即气 x 0,故为凸面镜。P160, NO3.811111=s f s 10 40s = 8 cms+(s) 8 + 40 所以 x = = 24 cm22解：由习题3.3可知，放入玻璃板得效果是折射光线得反向延长线交点P160, NO3.9P再P点得右边距离l = d(1 -c0S 1)，近似为Jn，2 sin2 il = d (1 ) n即3.10欲使由无穷远发出的近轴光线通过透明球体并成像在右半球面的 顶点处，问这透明球体的折射率应为多少？解：由球面折射物象公式n - n = 四 s s r由题意可知，s = 8

3、，s=2r，n=1，所以n 1 _ n-12r 8 r得n = 23.11有一折射率为1.5,半径为4 cm的玻璃球，物体在距球表面6cm处, 求：（1）物所成的像到球心之间的距离；（2）像的横向放大率。解：（1）已知：对前一折射面，s=-6cm，r=4cm，n = 1.5，n=1由球面折射物象公式nn = （nn）得 s s r1.51=K5-1)计算得s = 36 cm对后一折射面s=-36-8=-44cm，r=-4cm，n = 1，n=1.5由球面折射物象公式-n = i（nn）得 s s r11s 44=土(1 计算得s = 11cm，所以物到球心之间的距离为15cm横向放大率：对前一

4、球面P = = = = 61 s- 6对后一球面 p = =s =11 =-L2 s - 444 13所以总的放大率P = PP = 6 x (-1)=-，即放大倒立实像。12423.12 一个折射率为1.53、直径为20cm的玻璃球内有两个小气泡。看上 去一个恰好在球心，另一个从离观察者最近的方向看去，好像在表面与球心连线的中点。求两气泡的实际位置。解：n n n -n(1)即 s = r即s = r，仍在原来球心处，物像重合。r(2)s=-2n n-n n+n2n n n r/2 r=E =堂七/为球的直径) 艮即n+n2( n +n)1.53 x 20 x 10-2 s = 6.05 c

5、m2 x (1 +1.53)离球心的距离l = 10 - 6.05 = 3.95 cm。3.13直径为1 m的球形鱼缸的中心处有一条小鱼，若玻璃缸壁的影响可 忽略不计，求缸外观察者所看到的小鱼的表观位置和横向放大率。解：由球面折射物象公式匕-=1(n-n) s s rs=-0.5m、r=-0.5m、n= 1、n=1.33，代入得11.33s 0.5(1 1.33)计算得s = 0.5 m故小鱼的表观位置仍在原来的位置。横向放大率 p = = = 2 x I = 1.33。1 y s n 0.513.14玻璃棒一端成半球形，其曲率半径为2cm，将它水平地浸入折射率 为1.33的水中，沿着棒的轴线

6、离球面顶点8cm处的水中有一物体，利 用计算和作图法求像的位置及横向放大率，并作光路图。1.33 x 2 = 15.647 cm 1.50 1.33解：如图所示，物方焦距/ = - r = nn像方焦距广=工 r = 一150 x 2 = 17.647 cm nn1.50 1.33由球面折射高斯公式f f ,c+ = 1， s = 8 cmss17.647 15.647 ,+= 1s 8即 s= 18.46 cm3.15有两块玻璃薄透镜的两表面均各为凸球面及凹球面，其曲率半径为 10cm。一物点在主轴上距镜20cm处，若物和镜均浸在水中，分别用 作图法和计算法求像点的位置，设玻璃的折射率为1.

7、5,水的折射率为1.33。解：（1）当两表面均为凸球面时，物方焦距/=-1.33n1n 一 n r21.5 -1.33 1.33-1.5 =一39.12沔 +10-10n 一 n 1 +r1n1.33=39.12cmn 一 n * n 一 n 1.5 一 1.33 1.33 一 1.5r1r2由薄透镜成像的高斯公式匚+f=15像方焦距f =10+-10s = 20 cm39.12 一 39.12 1所以+= 1s一 20s = -40.92 cm（2）当两表面均为凹球面时，n1n 一 n 2r2物方焦距f =-1.33n 一 n 1 +r1n21.5 -1.33 1.33 -1.5 = 39.

8、12cm +-10101.33=-39.12 cm n 一 n n 一 n 1.5 1.33 1.33 一 1.5r r -1010由薄透镜成像的高斯公式f + f = 1s ss = -20 cm一 39.12 39.12 1所以+= 1s一 20s = -13.23cm作图法略 3.16 凸透镜在空气中的焦距为40cm，在水中时焦距为136.8 cm， 问此透镜的折射率为多少（水的折射率为1.33）?若将此透镜置于CS2中（CS2的折射率为1.62），其焦距又为多少？解：透镜在空气中的焦距为f空气n 一 1 1 一 n+r1r2n，即 40 = n 一 n + n 一 nr1r2(1)11

9、1(n -1)-= rr40透镜在水中的焦距为即 136.8 =1.33n 1.33 1.33 n+r r111.33(n 1.33)=rr136.8由1、2两式得r1(2)(n 1) _ 1 136.8x牝 2.57(n 1.33) 40 1.33(n 1) 2.57 x (n 1.33)得 n=1.54(2)透镜置于水CS2中的焦距为n1.622 , - .:,-.cs n n n n 1.54 1.62 1.62 1.541.62rrrr由1式及n=1.54得 12111111,=x= x= 0.046296r r 40 (n 1)40 (1.54 1)代1入 3式中得(1.54 1.6

10、2)1 +1 r1r2n2n n + n nrrf =437.4 cmcs1.62_1.621.54-1.62 + 1.62 -1.54 = (1.54 1.62) x 0.046296r1r23.17两片极薄的表面玻璃，曲率半径分别为 20cm和25cm .将两片 的边缘粘起来，形成内含空气的双凸透镜，把它置于水中，求其焦距 为多少？解：f =土n n + n nr11.331 -1.33 1.33 1 =44.78cm +20 253.18会聚透镜和发散透镜的焦距都是10cm，求：(1)与主轴成30 的一束平行光入射到每个透镜上，像点在何处 ?(2)在每个透镜左方 的焦平面上离主轴lcm处

11、各置一发光点，成像在何处？作出光路图。解：（1）因为 -=，而s 8，对于凸透镜f= 10cm, s S f所以 s = f = 10cm, ss = f tan 30。= 10x 0.577 = 5.77 cm考虑到光可以是斜向上；或向下30入射，所以像点的坐标为（10,5.77）对于凹透镜f= 10cm，所以 s，= f=10cm，s = f tan30 = 10 x 0.577 = 5.77 cm考虑到光可以是斜向上或向下30入射，所以像点的坐标为（-10，土5.77）（2）因为 = ，而s = f = 一 f，对于凸透镜f = 10cm， s s f所以s =8 cm，即光为平行光出射

12、。所以无像点存在，对于凹透镜f = 10cm， s = f. f -所以 s = = 5 cm，x 2又由于 P = = s， y =，即 y = 0.5cmy s 110考虑到物可以在主轴上、下距离1cm，所以像点的坐标为（-5，0.5）A3.19题3.19图（a）、（b）所示的MM，分别为一薄透镜的主光轴，s为光 源，s，为像，用作图法求透镜中心和透镜焦点的位置。解：略*3.20比累对切透镜是把一块凸透镜沿直径方向剖开成两半组成,两 半块透镜垂直光轴拉开一点距离，用挡光的光阑K挡住其间的空隙（见 题3.20图），这时可在屏上观察到干涉条纹.已知点光源P与透镜相 距300cm,透镜的焦距f

13、=50cm,两半透镜拉开的距离t=1mm,光屏与透镜 相距l =450cm.用波长为632.8nm的氦氖激光作为光源，求干涉条纹的间 距.*3.21把焦距为10cm的会聚透镜的中央部分C切去,C的宽度为1姬把余 下的两部分粘起来（题3.21图）.如在其对称轴上距透镜5处置一点光 源，试求像的位置.*3.22 一折射率为1.5的薄透镜，其凸面的曲率半径为5cm,凹面的曲率 半径为15cm,且镀上银（见题3.22图）.试证明：当光从凸表面入射时，该 透镜的作用相当于一个平面镜.（提示:物经过凸面折射，凸面反射和凹面再次折射后，s = s, p =1.）3.23题3.23图所示的是一个等边直角棱镜和

14、两个透镜所组成的光学系 统.棱镜折射率为1.5,凸透镜的焦距为20cm,凹透镜的焦距离为10cm,两 透镜间距为5cm,凸透镜距棱镜边的距离为10cm.求图中长度为1cm的物 体所成像的位置和大小.（提示:物经棱镜成像在透镜轴上，相当于经过 一块厚6cm的平板玻璃,可利用例3.1的结果求棱镜所成像的位置.） 3.24显微镜由焦距为1cm的物镜和焦距为3cm的目镜组成，物镜与物镜 之间的距离为20cm,问物体放在何处时才能使最后的像成在距离眼睛 25cm 处？3.25题3.25图中L为薄透镜，水平横线MM为主轴.ABC为已知的一条 穿过这个透镜的路径，用作图法求出任一条光线DE穿过透镜后的路径。

15、*3.26题3.26图中MM是一厚透镜的主轴，H、H是透镜的主平面，S1是点光源，S，是点光源的像.试用作图法求任一物点S的像SS的位置1223.27双凸透镜的折射率为1.5,r=10cm, r | =15cm,匕的一面镀银，污点P在透镜的前主轴上20cm处，求最后像的位置并作出光路图.3.28实物与光屏间的距离为z，在中间某一位置放一个凸透镜，可使 实物的像清晰地投于屏上。将透镜移过距离d之后，屏上又出现一个 清晰的像.（1）试计算两个像的大小之 比；（2）证明透镜的焦距为字；证明】不能小于透镜焦距的4倍。解：(1)依题意作草图如下令 s = x，贝g s = l - x -d , s =

16、l - x , s = d + x2121由透镜成像公式-=-得， s s f一 11第一次成像-= s s即(d + x)l - (d + x)1，f_ 1=f11第二次成像二-=二,22(1)即x-顼上=f(2)1_ 1x (1 - x) f 由(1)(2)式得(d + x)1 - (d + x) = x(1 - x)艮口 d1 - d 2 - dx + x1 - xd - x2 = x1 - x2得1 d(3)1 d 2 x = 0,所以 x =2一1 d艮口 s = 1 x d = 2s = d + x = d + M =22,l - d l + d2 = l - x = l -2 _

17、(4)求两次象的大小之比:y s & =上=，即y s2T-d2T+d而七=七所以l + d、七为两次像的大小，所以两像的大小之比为(口)2证明将3式代入2式得l - d n l - d、(l )224l(l-d)(l d)f即卜W(3)证明：由=y2得 I 1/可见:若l v 4 f，则d无解，即得不到对实物能成实像的透镜位置若l = 4 f，则d=0,即透镜在l中央，只有一个成像位置，&=-1若l 4f，则d0可有 两个成像位置。故欲使透镜成像，物和屏的距离l不能小于透镜焦距的4倍但要满足题中成两次清晰的像，则必须有l 4广3.29 一厚透镜的焦距f为60mm，其两焦点间的距离为125mm

18、，若（1）物点置于光轴上物方焦点左方20mm处；（2）物点置于光轴上物方焦点右方20mm处；（30）虚 物落在光轴上像方主点右方20mm处，文在这三种情况下像的位置各在何处？像的 性质各如何？并作光路图。*3.30 一个会举薄透镜和一个发散薄透镜互相接触而成一复合光具组，当物距为-80cm时，实像距镜60cm，若会聚透镜的焦距为10cm，问发散透镜的焦距是多少？*3.31双凸透镜两个球面表面的曲率半径分别为100mm和200mm，沿轴厚度为 10mm，玻璃的折射率为1.5，试求其焦点、主点的位置，并会图表示之，*3.32 一条光线射到一折射率为n的一球行水滴（见题3.32图），求：（1）若后表

19、 面的入射角为a，问这条光线将被全反射还是部分发射？（2）偏转角8 ； （3） 产生最小偏转角的入射角中。*3.33将灯丝至于空心玻璃球的中心，玻璃球的内外直径分别为8 cm和9 cm.求： （1）从球外观察到的灯丝像的位置（设玻璃折射率n =1.5）； （2）玻璃温度计 管子的内外直径分别为1 mm和3 mm，求从外侧观察到的直径数值；（3）统一温度 计的竖直悬挂于直径100皿得盛水玻璃烧杯的正中，从较远处通过烧杯壁观察时， 温度计的内外直径为多少？*3.34如题3.34图所示为梅斯林分波面干涉实验装置，其中O1、O2分别为两块半透镜L和L的光心，S、O、O、S、S共轴，且SS = l，（1

20、）试1212121 2证来自L和L两端的光束到达P点的光程差8 = l-（SP + S P）；（2）定性讨论1212与轴线垂直的光屏上接收到的干涉图样的特点。*3.35把杂质扩散到玻璃中可以增大玻璃的折射率，这就有可能造出一个后度均 匀的透镜。已知圆板半径为R，厚度为（如题3.35图所示），求沿半径变化的折 射率n（r），它会使从A点发出的光线传播到B点，假定这是个薄透镜，d a，d b。*3.36 一弯凸透镜的两个表面的半径,和r2分别为-20cm和-15cm，折射率为 1.5,在r2的凸面镀银，在距球面左侧40cm处的主轴上置一高为1印的物，试求最 后成像的位置和像的性质。*3.37 一折射率位n，曲率半径为R1和R2的薄凸透镜放在折射率分别为n1和n2 的两种介质之间，*和s2分别为物距和像距，f1和f2是物方和像方焦距，证明： f + f 二 1。s s