全等证明的的几种做题方法.docx

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1、全等证明的的几种做题方法一、把握好数学的加法（或减法），找出对应的线段或对应角， 然后运用判定达到证明两个三角形全等，从而解决问题。教学是应让 学生要养成标识图的方法，能结合图找出已知，运用上判定追究所差 的条件的做题习惯,掌握用上线段的加减或角的加减求所差的条件。 做题能以不变应万变，把握核心做题思想才能轻松做题.1、运用线段的和与差题型举例：数学教材第44页第9题：如图点B,E,C在同一条直线上，AB=DE,AC=DF,BE=CF求证:/A = /D证明两个角相等，这里用的是全等证法，证明两个三角 形全等，运用SSS，而题中已知两组对应边相等，还差一组对应边相 等，运用线段加法可得到。后再

2、运用全等的性质可证得/A = /D相等。思维导航：/A = /DAABC = RDEFAB=DEAC=DF 运用 SSSBE=CFBC=EFO。oBE = CF:.BC = EF在 AABC 与 ADEF 中AB=DE AC=DF BC=EF . AABC = ADEF:.ZA = ZD类似题目：11题，如图点B,F,C,E在一条直线上，FB=CEAB/ED,AC/FD求证 AB=DE,AC=DF.思维导航:证明线段相等运用全等三 角形证明方法.只要证明得两个 三角形全等,然后运用性质可证 明得AB=DE,AC=DF.结合图找出 两个三角形已知条件，由平行线 知道两对对应角相等，差一对应 边，

3、由已知可运用加法得到./B = ZE, ZACB = DFEFB = CEBC = EF求证:AC/DF转化为证ZACB = ZDFE 用全等证法.运用SAS证明.两个三角形中一 对应边相等，一平行线可得一对对应角相等，由BE=CF运用加法可得另 一对应边相等，这样可达到运用SAS的判定证得两个三角形全等，得到 角相等，运用同位角相等两直线平行可证得AC/DF.3. 点 E,F在 BC 上,BE=CF,AB=DC/8 =，C 求证小2转化为全等证法，运用SAS但此题是对 应边的把握.4. 如图，已知B,E,C,F在同一直线上AB=DE, ZA = 4, AC / DF求证:BE=CF.本题运用

4、线段差可证得BE=CF.解题方法基本上相似，学生掌握了做题目 方法,这样的题学生就会感觉到很容易.类似教材43页第2题如 图,AB=CD, AE 1 BC, DF 1 BC ,垂足分别是E,F,CE=BF 求证 AE=DF由垂直知道,这是两个直角三角形，运用HL可以 判定两个直角三角形全等，题中已知一斜边，差 直角边，题中CE=BF不是直角边但可运用线段的 差求得直角边对应相等.类似教材39页,第2题,如图点E,F在BC 上，BE=CF,AB=DC, /b = AC 求证ZA = /D证明两角相等用全等证法，此题中两个三角形，已知一对应边相等，一 对应角相等差另一对应边才能运用得上SAS判定，

5、而由BE=CF可想到 运用线段加法可得到另一对应边相等.教材56页第8题，如图已知AB=PE-,AC=I本题证明平行，平行证法通常运 用角证法，这样此题证明转化为证明 角相等，而角相等证法通常用到全等 三角形证法，这样此题转化为全等三 角形证明问题，两个三角形已知两对 应边，差一对应边，而已知BE=CF可运用线段的和证得BC=EF这样解决了 3一 七问题.思维导航：ZDFE = ZACB运用线段加法BE=FCAB=DEAC=DF运用SSS判定运用SSS判定AB/DE,AC/DF =1 昼=，defaabc 丝 E2、运用角的和与差的题型：1.如图 EC=AC, /BCE = ZDCA, ZA

6、= ZE求证:BC=DCBC=DC | ACB = AECD |运用角的和ZBCE =ZDCAZA = ZEEC=ACZBCA = ZDCE运用ASA判定本题证BC=DC运用全等三角形证法,先找出 相应的两个三角形，结合图找出已知的条件 一组对应角,一组对应边,还差一对应角，而已 知给出的一组相等的角不是对应角，但可运用 角的和证法得到另一组对应角相等，因此运用ASA得到全等. 思维导航：2.某中考题，如图已知四边形ABCD中点E在AD上, ZBCE = ZACD = 90。, ZBAC = ZD, BC = CE 求证:AC=CD本题证明线段相等，常用全等证 法，找出两个三角形 :AABC,

7、 ADEC 两个三角形已知一对应边，一对 应角，差另一对应角.运用角的差 可证得另一对应角相等.思维导航:AC=CD /ACB = /DCEBC=CE运用AAS类似题目：如图,在RtAABC中 ,/ACB = 90。,点 D,F 分别在 AB,AC 上,CF=CB,连接CD将线段CD绕点C按顺时针旋转，连接EF(1) 求证 ABCD = AFCE(2) 若 EF/CD 求 /BDC 度数.本题证明两个三角形全等,由旋转可得两个旋转角相等：/BCF = /DCE = 90。 运用角的差可得两个对应夹角相等 : /BCD = /FCE由BC=CF,旋转知道CD=CE然后运用SAS可证得全等.第2问

8、由平行可知道 /EFC = /ACD , 由全等知道 /EFC = /DBC 由 /BCD + /DCA = 90。 通过 角的转换可得/DBC +/BCD = 90。这样可得/BDC =90。证明:(1) CD将线段CD绕点C按顺时针旋转.ZDCE = 90。,CD=CEZACB = 90。, ZDCE = 90。/BCD = ZFCEABCD 与 AFCECD=CE/BCD = /FCEBC=CFABCD = AFCE. ABCD = AFCE:./CFE = /CBD, /FCE = /BCD EF / DC:./CFE = /FCD /FCD + /BCD = 90。./CBD +/B

9、CD = 90。/BDC = 90。解答中用到角的转换（等量代换）,用 到证两个锐角和等于，从而得到 /BDC = 90。 的方法.课本56页第9题如图，/ACB =90。，AC=BC,AD 1 CE, BE 1 CE 足分别是D,E,AD=2.5, DE=1.7求BE的长。本题运用AAS证明两个直角三角形全等：Rt ABEC = Rt ACDA由全等三角形性质得CE=AD这样运用线段的差求得CD=0.8再由BE=CD可求出BE=0.8.思维导航:BE=CD =|CD=CE-DECE=ADRt ABEC = Rt ACDAZBEC = ZC DA-角差证法么DCA =，EBC .AC=BCH证

10、明过程（略）二、把握好数学的转换思想，如线段转换，角的转换等。1、线段的转换练习题举例：通常有运用全等三角形的性质达到线段的转换或角的转换的目标。1.如图，/ACB =90。M是BC上一点，过点M作MD1AB于点D且MC=MD 如果 AC=8cm，AB=10cm,那么 BD=本题运用全等可得到AC=AD达到线段的转换，这样BD=AB-AD=AB-AC=2解.：MD 1AB:.ZMDA = 90。.在 Rt AADM 与 Rt AACM 中AM=AMMC=MD Rt AADM =Rt AACMAD = ACBD AB AD = AB AC = 2线段转换，运用线段的差求得。类似题B:如图，已知A

11、C平分匕晚CD=CB (ABAb)求i本题在AB上截取AE=ADDCZB + ZD = 180,B这样构造两个三角形全等:AADC = AAEC 这样转换了 角：ZD = ZAEC， 线段也转换了 DC=CE,这样ZB = ZCEB 由 ZAEC + ZCEB = 180。可证得 ZB + ZD = 180。类似练习:已知408=90。，OM是角平分线，将直角尺顶点P在射线上滑动,两直角边PC,PD分别与OA, OB相交于点C,则PC和PD有怎样的数量关系？说明理由。方法1：类似上题构造三角形转换线段，转换角。首先两个三角全等:ODBPGO = APDO 则有PD=PG再证PG=PC可运用角的

12、证法。ZPCO = ZPGC由 ZPCO + ZPDO = 180。得到 ZPGO + ZPGC = 130ZPCO = ZPGC证明略。方法2:构造两个三角形证明全等首先有两条线段相等一对应角相等，差另一对应角相等，运用角的差证法。由角平分线性质得另一对应边相等，最后运用AAS证明两个三角形全等，得到PC=PD证明：过P作PE 1OC,PF 1OB垂足分别是E,FPE 1 OC, PF 1 OB:.APEO = ZPFO = 90ZAOB = 90ZEPF = 90ZEPD + ZDPF = 90ZCPD = 90/. ZEPD + ZCPE = 90/. A CPE = ZDPF.OP 平

13、分 ZAOB , PE 1 OC, PF 1 OB:.PE = PFAPEC 与 APFD 中ZDPF = ZCPEZPFD = ZPEAPE=PFRPEC = APFDPC=PD课本52页第7题如图,/B = ZC = 90。,E是BC中点,DE平分ZADC求证AE是zDAB的平分线本题通过辅助线搭桥作用，作EG AD垂足是D由角平分线性质得CE=GE由E是BC中点得CE=BEG-一所以GE=BE证明:作EG AD于GZB = ZC = 90。EC DC DE 平分 ZADCEG 1 AD, EC 1 DC:.GE = CE E是BC中点 CE=CB. GE = EB EG 1 AD, EB

14、 1 AB AE 是 ZDAB 的平分线2、运用垂直平分线的性质或折叠达到线段转换的目标教材65页：第6题，如图，在AABC中，DE是AC的垂直平分线，AE=3, AABD的周长为13，求AABC的周长。本题已知AE=3其实隐藏知道AC,这样求AABC周长只要求出AB+BC即可求，由已知AABD周长可知AB+AD+BD,这样转换AD,DC两条线段，可得到 BD+AD=BD+DC=BC,这样 AB+BC等于13，这样可求得AABC的周长。解：.DE是AC的垂直平头分线AD = DC AABD 的周长为：AB+BD+AD=13AB + BD + DC = 13 即 AB+BC=13AE = 3AC

15、 = 6 AABC 周长为 13+6=19课本56页第10题如图三角形纸片中，AB=8,BC=6,AC=5沿过点B的直线折叠这个三角形，使C落在AB边上的点E,折痕为BD求AAED的周长本题由折叠得到BE=BC=6DE=DC,由 AB-BE=AE=2而AAED周长为AD+DE+AE,所以景ED周长为AC+AE=5+2=7.2、如图， AABC 的 ZABC 的角平分线BD与 ZACB 外角的平分线CE相 交于点P求证：点P到三边AB,BC,CA所在直线的距离相等。本题要作出垂线，运用角平分线的性质，达到线段的转换证明。证明：过 P 作 PN 上 AC, PF CB , PG AG垂足分别是N,

16、F,GPN 上 AC, PF CB ,PN = PFPF CB , PG AG:.PF = PG:.PN = PF = PG即点P到三边AB,BC,CA所在直线的距离相等。类似课本91页：如图，D,E分别是AB,AC的中点，CD 1 AB,BE AC垂足分别是D,E求证：AC=AB.本题运用线段的垂直平分线的性质进行线段的转换。连接CB。这样由线段的垂直平分线得BC=AB,AC=BC，这样可达到AC=AB.证明：连接BC D,E分别是AB,AC的中点， CD 1 AB, BE 1 ACBC=AB,BC=ACAC = AB方法2：连接AG 先证两个三角形全等：CGE 4bdg 得到 CE=BD然

17、后运用线段中点得到AC=AB这种证法同样运用了线段的转换方法。证明：连接AG.D,E分别是AB,AC的中点， CD LAB.BE VAC EB,CD分别是AC,AB的垂直平分线AG = CG = gbRt ACGE 与 ABGD 中ZGEC = ZGDB = 90ZEGC = ZDGBCG=BGRt ACGE =ABGD:.BD = CEAB = 2BD，AC = 2CE :.AB = AC类似练习在AABC中，AB的垂直平分线11交BC于点D, AC边的垂直平分线12交BC于点E, 11与12相交于点O,即E的周长为6(1) 求BC的长(2) 分别连接OA,OB,OC若 OBC 的周长为16

18、求OA的长。本题运用垂直平分线性质达到线段的转换：AD=BD,AE=CE所以AADE的周长为AD+DE+AE，运用线段转换刚好是等于BD+DE+CE=BC=6第2问AOBC的周长为16为：BC+OB+OC，由线段垂直平分线性质得 到OA=OB,OA=OC这样AOBC的周长用OA进行转换正好为BC+2OA然 后运用代入法可求出OA=5.3、运用平行线性质，等腰三角形性质达到角,线段的转换.课本83页，第10题，如图AABC中，BO平分ZABC , CO平分ACBMN经过点O与AB,AC相交于点M,N，且MN/BC，求证：AAMN的周长等于AB+AC本题运用平行线性质达到角的转换，然后得到等腰三角

19、形达到线段的转换。思维导航:AAMN 的周长AM+AN+MNAB=AM+MBAC=AN+NC采用分线段MN=MO+NO只要ON=NCMO=MB只要AMBO = /MOBZNOC = /NCO角平分线性质，平行线性质证明：BO 平分 /ABC，CO 平分 /ACB/MBO = /OBC/NCO = /OCBMN / BC:.ZCBO = /MOBZBCO = /NCO:./MOB = /MBO/NOC = /NCO:.MO = MB, NO = NC景MN周长为AM+MN+ANMN=MO+ONAB=AM+MBAC=AN+NCAAMN周长等于AB+AC类似角的转换的习题:课本82页第5题,如图/A

20、 = /B, CE / DA , CE交AB于点E求证:本题运用平行线的性质，达到角的转换，由等腰三角形的性质:两角相等的三角形是等腰三角形，等角对等边，得到结论.ACEB是等曰角形。第2题，如图AD/BC,BD平分/ABC,求证AB=AD本题运用角平分线性质，平行线性质腰叠进行角的转换，证得两个角相等从而得到AB=AD课本79页第2题 如图,把一张长方形的纸片沿对角线折叠，重合部分是一个等腰三角形 吗?为什么？本题运用折叠知识，把握两个角相等:ZDBC = /DBE由平行性质得 :ZDBC = ZADB这样得到ZDBE = ZADB由等角对等边知道这个三角形是等三、把握好方程（组）的做题思想

21、.如图，在AABC中，BC边上垂直平分线DE交边BC于点D，交AB于 点E，若 EDC 的周长为24, AABC与四边形AEDC的周长差为12,则线 段DE的长为本题用到线段的转换,但假设 学生没有掌握用方程的思想做题, 这题学生就无从入手.它的方法 就是分别用线段表示周长根据等 量关系列出方程. AEDC 的周长 CE+ED+DC 实质是 BE+BD+DE=24 ,AABC与四边形AEDC的周长差为12实质(AB+BC+AC)-(AE+DE+DC+AC)=BE+BD-DE=12 观察把BE+BD看作一项，组成方程组已经能解出DE=6,这道题如果 学生不动手参与演算，很难发现此题的做法，若没有用方程解题的思想 也很难想到解法.类似题1.如图在ABC中,ZA = 60。，边BC的垂直平分线分别交于AB,BC于点2.如图在等腰三角形ABC中,AB=AC/DBC = 15。,AB的垂直平分线MN交AC于点D,则zA度数()解：设ZA度数是x度测有x +15 + x +15 + x 180解得乂 50