定积分法求面积探究毕业论文.docx

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1、定积分法求面积的探究教学系：专 业：年 级：姓 名：学 号：导师及职称：定积分是数学中十分重要的工具，其中求图形的面积正是它的运用之一，它的思想 就是切割求和，在不同的坐标系下可采用特定的方法求解面积。本文介绍了几种运用定 积分来求面积的方法，其中列举了特殊的例题以及重要的问题解决方法。如果实际问题 中的所求量与某一区间有关且在该区间上具有可加性， 我们就可以用函数的定积分来表 示这个所求的量，因此我们就可以运用定积分来解决一些实际问题。同时利用定积分求不规则平面图形的面积，是定积分在几何中的重要应用之一。如 何灵活地运用定积分的定义及有关公式，巧妙地将求不规则图形的面积问题等价转化为 求定积

2、分的数值问题就是一大关键，本文结合实例，介绍几种常用的转化方法与求解策 略。从而充分的体现数形结合的数学思想方法。关键词：定积分；封闭图形；曲面域；对称性Research of square in defi nite in tegralABSTRACTA definite integral is very important mathematical tools, for which the graphics area is one of its applicati on, its thought is to cut and, un der differe nt coordi nate sys

3、tems can use specific method to find the area. This paper introduces several methods of using the integral area to seek the. Which lists the specific examples and an important method to solve the problem. If practical problems for quantity with a certain interval and in the interval is additive, we

4、can use the definite integral of a function to represent the desired amount. Therefore, we can use the defi nite in tegral to solve some practical problems.At the same time, the use of definite integrals for the irregular plane graphics area, is one of the important applications of integral in geome

5、try. How to flexibly use definite integral is defi ned and the related formulae and skillfully will seek irregular graphic area equivale nt transformation to calculate the numerical integral is one of key, the paper with examples, in troduces several common ly used tran sformati on method and soluti

6、 on strategy. I n order to fully reflect the comb in ati on of the mathematical thought and method.Keywords: defi nite in tegral; closed graph; surface area; symmetry目录一、引言 5二、相关概念 51.1 定积分的定义 51.2定积分的常用计算方法 51.2.1直接利用公式及性质计算 51.2.2利用定积分的区间可加性计算 2三、定积分在面积问题中的应用 23.1直角坐标系下求面积 23.1.1 平面面积 23.1.2 曲面面积

7、53.2 极坐标 63.3求旋转曲面的面积 7四、常见方法 104.1 巧选积分变量 104.2巧用对称性 114.3巧用分割计算 11五、结束语 12参考文献 13致谢 13、引言积分在自然科学、工程技术、经济管理中有着广泛的应用，比如利用积分求平面图 形的面积、变力做功等都是微积分中定积分的应用问题，在数学分析中占据了重要地位。利用定积分求平面图形的面积是一个重要应用，与实际联系紧密，有很好的实用性。我们 已经知道很多规则的平面图形的面积计算，如正方形、平行四边形、三角形、圆的面积 等等。可以发现这些规则图形一般都是“直边图形”，但平时我们在实际中还会遇到求 “曲边图形”的面积，那我们想到

8、了定积分。定积分的定义是前人用“逼近”的方法总 结归纳定义出来的，是受“以直代曲”的思想而启发的。也就是把“曲边图形”采用“逼近、分割”方法进行近似代替而求得。利用定积分求含曲边的图形面积问题是在面 对在平面几何中难以用常规方法加以解决的问题而采用的。定积分知识的引入，为此类 问题的解决提供了强有力的工具，也充分体现了创新性及数形相结合的典型性。二、相关概念1.1定积分的定义一般地，如果有函数f(X)在区间a,b上连续，用分点a = X。：捲：x?疳：xi ：:时，上述 i=1i =1 nb和式无限接近某个常数，这个常数叫做函数f (x)在区间a,b上的定积分。记作a f(x)dx b错误！未

9、找到引用源。，即f f(x)dx=lim错误！未找到引用源。n b _aAf( J。这里，a和b分别叫做积分上限和积分下限，区间a,b叫做积分区间，i i n函数f (x)叫做被积函数，x叫做积分变量，f(x)dx叫做被积式。1.2定积分的常用计算方法1.2.1直接利用公式及性质计算TL例 2.1 求 Jtan2 xdx分析被积函数是不定积分中见过的类型按相应的三角恒等变换，先求出原函数再:tan2 xdx 二一2利用公式计算。sec x -1)dx = (tanx x) 4=1 01.2.2利用定积分的区间可加性计算-1 _ x ： 0 亠 20 兰 x2,求 L(x)dx分析这是一个分段函

10、数, 分区间考虑其计算。在不同的区间对应的函数表达式不同，利用区间可加性-1221e -0 2- - 2 1解 f (x)dx =二(1+x)dx + ( exdx = (x+?x2)注意针对不定积分中的两类换元积分法，运用到定积分的计算时要注意的是如何 正确选择积分方法。第一类换元积分法直接可以应用到定积分的计算中，只要熟悉不定积分的凑微分， 知道如何凑出中间变量的微分就可计算。1 例 2.3 求 o 1 - x2 dx分析 被积函数是自变量的平方形式，需三角代换才能去根号。解令 x = si nt, 1 -x2 二 cost,dx 二 costdt 当 x=0 时，t = 0，当 x =

11、1 时，t= 2102X02cos2tdt1 - 二=?02(1边2艸蔦三、定积分在面积问题中的应用在求区域的面积当中，由于围成区域的曲线可用不同的形式表示，一般情况下，曲 线的形式分为多种情况，每种情况下的求区域面积的方法各有所不同，因而定积分求面 积的具体用法通过下列问题分下面四种情况进行探讨。3.1直角坐标系下求面积3.1.1 平面面积般地，由上下两条连续曲线y二f2(x)与y= f1(x)以及两条直线x = b(a :：: b)所围成的平面图形(图3 1)，它的面积计算公式为：A = & f 2(X)- f1(x) dx(3-1)例3.1求两条曲线y 区域(图3 2)的面积。分析由图可

12、知选取对x2与x = y2围城的平面x积分，便于计算。解两条曲线的交点是(0,0)与(1,1)，则此区域的面积:30&X _x2)dx =(|x2 _x3)33例3.2抛物线y2 =2x把圆x2 y2 两部分，求(图3 4)中阴影部分的面积S.分析由*仃2；得交点坐标:x2 +y2 =8选取y为积分变量。二8分成(-2,2)，2 y2解 S = .,.8 y2 一专284W严透-严3总之，由函数y二f (x), y = g(x), x 二 a,x = b 围成的图形(其中 f (x) 一 g(x),a b)，选b取x为积分变量，则面积为 A二f(x)_g(x)dx ；由函数X hF：(y),

13、x jr(y)错误！未找a到引用源。,y =c, y =d围成的图形(其中(y)(y),c乞d，选取y为积分变量，则面d积为 A (y) - (y)dyc以上可简记为：“上减下，右减左，总之大减小, 积分小到大”。在平面图形的面积求解中，除了以上方法外，还可以运用二重积分，将面积问题转化为求二重积分值的问题。例3.3求由抛物线f,x)=x2与f2(x)=2-x2所围图形的面积。分析 设所围图形如(图3 3)面积为S.解方程组fl(x) =x 2，解得两曲线的 2(x) =2 -x2交点坐标为(-1,1)，(1,1).解图形面积为：1f2(x)122122 3 18S = JJdxdy =()d

14、y = J,2 一 x2 x2)dx =(2 2x2)dx = (2x _ x3)=一D xy当曲线C是参数方程X二y = (t) () C) = b,则函数 x -G(t)存在反函数t=G(x),曲线C : y=G(x)、x轴和两条直线x = a,x = b所.aa彳q围成的区域面积：A = L | y dx二|(x) dx =命| (t )半(t) dtB= (t) t)dt(33)如果由参数方程所表示的曲线是封闭的，既有 ()=(B),(0),且p pA =胪(t)dt ( 或 A= T(t)(t)dt )(34)在C，)内曲线自身不在相交，那么由曲线自身所围成图像的面积为：例3.4 求

15、由摆线 x =a(t -sint), y - a(1 - cost)(a 0)的一拱与x轴所围成的平面图形(图3 5)的面积 .2tt解 摆线的一拱可取t二0,2二所求面积为： A a（1-cost）a（t-sin t） dt2 2C.2=a 0 (1 - cost) dt =例3.5 求椭圆：x = acost, y =bsin t（0兰t兰2兀）的面积。分析 参数方程所表示的曲线是封闭的，既有（：）“：），： ：（：）= : （ J,且在:）内曲线自身不在相交。于是便可由公式（34）求解。2下2 p解椭圆的面积为：A= J。bsintgcostetYbysiftdab显然，当a = b =

16、 r时，这就等于圆面积2 2例3.6求由曲线（笃 每）2 =x2 y2所围成的平面图形的面积。a b解令丿x = ar cos 日则Jc(x, y)acosQ-ra sin日=abry =brsin 日8(r,0)bsin 日rb cos 日在此变换下积分区域D变换为Di = fr,T）0兰。兰2兀，0兰r兰Ja2 cos2日+b2 sin2日a2 cos2 ; b2sin2则区域 D 的面积 SD 二 dxdy “ abrd闵r 二 ab。V rdrDDif 气1 2、a2cos2 日llsin2 g1 仃2.2= ab0 -r 0d=?兀ab（a +b ）3.1.2 曲面面积在一元函数积分

17、学中，定积分是某种确定形式的和的极限，这种和的极限的概念推 广到定义在平面区域上的二元函数情形，便得到二重积分，即区域面积的和。因此便可 采用二重积分求解面积。如果曲面S由方程z = f（x,y）确定，在xOy面上的投影区域为D则面积为：厂f-.cz 2 cz 2A. 1 （ ）2 （ 一）2dxdy（ 3 5）dx :y如果曲面S由方程y二y（x,z）确定，在xOz面上的投影区域为D则面积为:ad :1(；x)2(；z)2dxdz如果曲面S由方程x=x(y,z)确定，在yOz面上的投影区域为D，则面积为:ATT+&)2+q)2dydz例3.7求锥面zx2y2被柱面z2=2x截下的部分的面积。

18、解联立方程组rX+y2 消去 z，z2 =2x得(x 一1)2 y2 =1,曲面在xOy面上的投影区zy x2y2域 D 为(x -1)2 y2 _ 1，由 z = x2 由公式(32)得 A= Jjjl +(r +()2 dxdydex勿t1 J y2)2(.x2 y2)2dxdy =、2 11 dxdy = 、2 二图36A = 1 r2)d2 ct /(33.2极坐标设曲线C由极坐标方程r二r(r),“ 一訂给出，其中r =r(R在：上连续，- -2二。由曲线C与两条射线-所围成的平面图形，通常也称为扇形(图3 6)。此扇形的面积的计算公式为n 1 2i =12这仍可由定积分分的基本思想

19、而得。女叭图3 7)所示，对区间，订作任意分割T % 0时，5 f(X)厶X =亦即(3 7)b那么只要把定积分a f (x)dx计算出来，就是该问题所求的结果设平面光滑曲线C的方程为目二f(x),x a,b(不妨设f(x) _0)这段曲线绕x轴旋转一周得到旋 转曲面(图310)下面用y微元法导出它的面积公 式。通过x轴上点x与x x分别作垂直于x轴的平 面，它们在旋转曲面上截下一条狭带。当Ax很小时, 此狭带的面积近似于一圆台的侧面积，即图 310S ：二f (x) f (x lx)/ Ly22f(x)切1 (厂其中 cy = f (x=x) - f (x)由于 lim .y= 0， lim

20、2(x)因此由应T0冷f(x)的连续性可以保证二2f(x)勺.1(y)2 ：x -2二f (x) 1 xf 2(x)：x = : C x)所以得到 dS = 2二f (x) 1 f 2(x)dxS =2 兀b f ( x )訥 +2 ( x ) dx(3 8)如果光滑曲线C由参数方程X =x(t), y二y(t),r , 给出，且y(t) 一 0，那么由弧 微分知识推知曲线C绕x轴旋转所得旋转曲面的面积为S = 2兀 f y(t) Jx2(t) + y2(t)dt(3 9)例3.10计算圆x2 y2二R2在区间X1,X2-R, R上的弧段绕x轴旋转所得球的面积。解 对曲线y“R2-x2在区间X

21、1,X2上应用公式(3 8)，得到S =讥RF j= 2rR(x_ Xi)% R -x注意 当X1 -R,x2 = R时，则地球的表面积S球二4R2例3.12 计算由内摆线 x = acos31, y = asin3t (图311) 绕x轴旋转所得到旋转曲面的面积。解 由曲线关于y轴的对称性及公式(3 9)，得31S=4二(sin3t. 3acos tsint)2 (3asin2tcost)2dt2空.4122=12二a 2 sin t costdt a05运用曲面的第一基本形式也可以计算曲面的面积，首先把曲面域用坐标曲线u二常数与v =常数剖分成完整的和不完整的曲边四边形，取以点(u,v)，

22、(u du,v)，(u du, v dv)， (u, v dv)为定点的曲边四边形，近似地换成切平面上的一个平行四边形。这个平行四边形是以切于坐标曲线的向量 rudu与rvdv为边，我们把曲边四边形的面 积认为近似地等于以rudu，rvdv为边的平行四边形的面积。由于平行四边形的面积等于 两边之积再乘以它们交角的正弦，即：上述平行四边形的的面积 W为= RdZ rvdv，= ruvdudv因此，曲面区域D的面积可由二重积分来表示：口的面积=口如=jj|ruXrJdudvDS这里的区域s是曲面域D相对应得(u,v)平面上的区域。由于(ru g)2二J -伉)2二EG-F2 0，其中E,F,G为曲

23、面的第一类基本量所以二的面积二EG - F 2dudv由于正螺面是直纹面，它是直线沿着圆柱螺线连续变动形成的例 3.13 求螺旋面 x=ucosv，y=usi nv， z = av (0 _ u _ b,0 _ v _ 2二)的面积。分析 由于正螺面是直纹面，它是直线沿着圆柱螺线连续变动形成的，这个过程中 直线的方向是已知的且垂直于z轴方向。因此，正螺面也是旋转曲面。解 分别关于u和v求导得：xu =cosv， yu =si nv， zu = 0，xv = -usin v， yv = u cosv， zv = a即：E =1，F =0, G =u2 a2A= EG-F2dudv=. u2 a2

24、dudvss22a2dua2 b2 a2a b 注意 利用二重积分法求旋转曲面的面积问题，关键在于寻找中间变量，进而转化为用 定积分来求解。四、常见方法4.1巧选积分变量例4.1求抛物线y2 =x与x -2y -3 =0所围成的平面图形的面积 A.分析 该平面图形(图4 1)。先求出抛物 线与直线的交点P(1,-1)与Q(9,3)用x = 1把图形 分成左、右两部分。P 图 4 19解应用公式(3 1)分别求的它们的面积为：1 IJA1 . x -. x )dxA2所以A = A1 A2323注意在有些定积分求解问题中，选 x为积分变量，需要将图形分割运算较繁琐这时把y作为积分变量，并求出两相

25、交点的纵坐标，确定出被积函数的积分上下限，便 可利用牛顿一莱布尼兹公式求解。的面积，可以通过对x积分、对y积分两种方法求解例4.2求抛物线y2 =2x与直线y=x4所围成的平面图形的面积。 分析 本题考查了利用定积分的几何意义求图形(图 42)。解法一选取横坐标x为积分变量解法二选取纵坐标y为积分变量:.2xdx ；（一 2x （x 4）dx =18.4=18 -2S= f2(y+4)-肘询=(肘2 +4yy3)/ 2 2 6注意 这两种解法，显然对y积分比对x积分计算简捷。因此在应用定积分求平面图 形面积时，积分变量的选取非常重要。选取时对y积分，积分函数应是x=（y）,不管选 用哪种积分变

26、量去积分，面积是不会变的，即定积分的值不变。4.2巧用对称性例4.3门求由三条曲线y =x?,4y =x?,y =1所围成的面积。分析 因为y=x2,4y=x2是偶函数，根据对称性，总面积为 y轴右边图形的面积的两倍解由方程组丿* 2y=x错误！未找到引用源。和* 24八X错误！未找到引用源。得交占/ 、坐标（-1,1），(1,1)， (-2,1) ， (2,1).选择x为积分变量，则S1 2 x2 2 x2 4=2 (x - )dx + 1 (1 ：)dx = 34.3巧用分割计算例4.4求由抛物线y =-x2，4x-3及其在点M （0厂3）和点N（3,0）错误！未找到引用 源。处两条切线所

27、围成的图形的面积。解 由y = -x2 4x -3错误！未找到引用源。得y = -2x 4则过M点的切线方程为八4x_3，过N点的切线方程为y”6，又可求得两切线交点的横坐标为故3 23(-2x 6)(_x2294x_3)dx3所求面积 S 二 2(4x -3) -(-X2 4x -3)dxb注意 当函数f(x) _0时，定积分 f(x)dx错误！未找到引用源。在几何上表示:_a由曲线y = f(x)、直线x=a,x=：b及x错误！未找到引用源。 轴所围成的曲边梯形的面b积S错误！未找到引用源。，即s二f(x)dx.五、结束语求图形的面积，转化为求定积分，适当的分割、积分变量的选取至关重要，同

28、时选 择适当的方法可使计算简便。用定积分求面积，其关键是确定出被积函数和积分的上、 下限。一般是应先画出它的草图，借助图形的直观性确定被积函数，求出两条曲的交点 的坐标确定积分的上、下限，进而由定积分求出其面积。利用定积分的性质优化求解过 程，本文中采用重积分求解曲面的面积充分体现了数形结合思想。参考文献1 文性琏，傅沛仁等数学分析讲义M.北京：高等教育出版社，2004:25-37.2 吴良森,毛羽辉等.数学分析学习指导M.北京：高等教育出版社,2008:100-134.3 绿林根.面积与体积M.江苏：人民出版社，1978:76-93.4 边均伯,张茂根.极限的新概念M.北京:宇航出版社,19

29、88:35-47. 张惠颖，周成林等.应用数学教程M.第二版.陕西：西北农林科技大学出版社,2010:62-64.致谢随着毕业设计的完成，我的大学生活也将结束。在这短短的几个月的时间里，让我 学到了以前在书本上学不到的知识。让我度过了大学生活最为充实的一段时期，而且收 获了理论和实践上的第一桶金。在做毕业设计的这段时间，我要感谢我的指导老师，她经常抽出宝贵的时间来询问 毕业设计的情况。在这次毕业设计中她还指导了很多学生，任务非常繁重，但是她对每 一项工作还是那么负责，对我耐心指导。从她负责指导我的毕业设计开始，就对我设计 中的每一个环节都不遗余力的给于我帮助。 在毕业设计的这段时间，她深厚的学术修养, 严禁的治学态度，强烈的责任心和对学生的无私关怀，令我收益终身。同时，我还要感谢数学学院的所有老师们，他们在我大学生活的几年中给我的无私 帮助，我将终生难忘。在平时的学习生活中，各位老师不辞辛劳的工作，使我在许多方 面都达到了一个较高的层次。给我以后的工作与生活都打下了坚实的基础。