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设 f(x)在区间a,b上连续，则对于任意的x()，积分 存在，,2-9 变上限定积分,限为x的定积分.,为了避免与积分上限x,发生混淆，我们在积分中把f的自变量写成t,我们把上,称作函数y=f(x)的变上限积分.,记做,定理(积分中值定理)若函数 f(x)在闭区间a,b上 连续，则在a,b内至少存在一个点c，使得,证,即,几何意义：,在 上至少存在一点,使得曲边梯形的面积等于同一底边而高为 的矩形的面积.,说明:,可把,故它是有限个数的平均值概念的推广.,积分中值定理对,因,定理2,证,由此推出,因而,证毕.,由上述结论可知：尽管不定积分与定积分概念的引入完全不同，但彼此有着密切的联系，因此我们可以通过求原函数来计算定积分.,定理2也称作原函数存在定理,例 1 设,解,则,由,和,复合而成的复合函数.,则,例 2 设,解,说明:,1)定理 1 证明了连续函数的原函数是存在的.,2)变限积分求导:,同时为,通过原函数计算定积分开辟了道路.,
