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1、填空：,上次课复习,1.无阻尼单自由度系统的固有频率,其单位是,2.无阻尼单自由度系统的固有频率,3.简谐振动的三要素：、和,振幅,频率,初相位,4.两个频率不同的简谐振动的合成，如果两频率比为 时，合成振动为周期振动.,5.单自由度无阻尼振动系统的自由振动解为：,写为正弦形式为：,其中：,有理数,上次课复习,当物体在水中的运动速度超过50米/秒时，钝头航行器或安装在头部的空泡发生器可产生低密度气穴。使物体能够在自己产生的长气泡内部，以最小的阻力飞速前进。,疾风超空泡鱼雷,第一章：单自由度系统的振动,1.5 有阻尼单自由度系统的自由振动,粘性阻尼模型(摘自机械振动季文美，方同)：物体沿润滑表面
2、滑动或,粘性阻尼系数,简称阻尼系数。,本门课程只涉及这种粘性阻尼模型。,在流体中低速运动时遇到的阻力，其大小近似地与相对速度成正比,即:,第一章：单自由度系统的振动,1.5 有阻尼单自由度系统的自由振动,1.列出有阻尼自由振动方程,3.得到奇次方程通解,2.求出特征方程的特征根,第一章：单自由度系统的振动,1.5 有阻尼单自由度系统的自由振动,牛顿第二定律：,自由运动方程：,1.列出单自由度有阻尼系统的自由运动微分方程,第一章：单自由度系统的振动,1.5 有阻尼单自由度系统的自由振动,2.求特征方程的特征根,临界阻尼系数,第一章：单自由度系统的振动,1.5 有阻尼单自由度系统的自由振动,阻尼比
3、,过阻尼,临界阻尼,欠阻尼,1.,2.,3.,第一章：单自由度系统的振动,1.5 有阻尼单自由度系统的自由振动,过阻尼情况,特征方程有一对互异实根，故通解为：,第一章：单自由度系统的振动,1.5 有阻尼单自由度系统的自由振动,图 质量块对初始位移的过阻尼响应,结论：过阻尼系统的自由运动为衰减非振荡运动。,第一章：单自由度系统的振动,1.5 有阻尼单自由度系统的自由振动,临界阻尼情况,特征方程有一对相等实根，故通解：,第一章：单自由度系统的振动,1.5 有阻尼单自由度系统的自由振动,图 质量块对初始条件的临界阻尼响应,结论：临界阻尼系统的自由运动为衰减非振荡运动。,第一章：单自由度系统的振动,1
4、.5 有阻尼单自由度系统的自由振动,欠阻尼情况,特征方程有一对共轭复根，故通解：,第一章：单自由度系统的振动,1.5 有阻尼单自由度系统的自由振动,第一章：单自由度系统的振动,1.5 有阻尼单自由度系统的自由振动,欠阻尼自由振动,欠阻尼振动是一种衰减的非周期振动；,自由振动具有等时性，即相邻两个正（负）峰值之间的时间间隔均为:,阻尼振动周期,欠阻尼振动特性：,第一章：单自由度系统的振动,1.5 有阻尼单自由度系统的自由振动,引入对数衰减率来描述振动衰减的快慢,相邻的两次振动振幅之比的自然对数叫作对数衰减率。,当系统阻尼比较小时，有：,第一章：单自由度系统的振动,1.5 有阻尼单自由度系统的自由
5、振动,图 阻尼对欠阻尼系统自由振动的影响,第一章：单自由度系统的振动,1.5 有阻尼单自由度系统的自由振动,【思路】：,【例】:有一阻尼单自由度系统，测得质量m=5kg，刚度系数k=500N/m。试 验测得在6个阻尼自然周期内振幅由0.02m衰减到0.012m，试求系统的阻尼比和阻尼器的阻尼系数。,根据 得到系统的阻尼比,对数衰减率,根据 得到阻尼器的阻尼系数,第一章：单自由度系统的振动,1.5 有阻尼单自由度系统的自由振动,阻尼器的阻尼系数：,【解】：,第一章：单自由度系统的振动,1.5 有阻尼单自由度系统的自由振动,【例】:有一阻尼单自由度系统，测得质量m=5kg，刚度系数k=500N/m
6、。试 验测得在6个阻尼自然周期内振幅由0.02m衰减到0.012m，试求系统的阻尼比和阻尼器的阻尼系数。,【例】:图示为一摆振系统，不计刚性摆杆质量，。求系统绕o点小幅摆动的阻尼振动频率和临界阻尼系数。,图 摆振系统的小幅振动,【思路】,要想求阻尼振动频率：,就要求：,通过系统的运动微分方程来求：,当 时所对应的阻尼系数就是临界阻尼系数。,第一章：单自由度系统的振动,1.5 有阻尼单自由度系统的自由振动,对不对？,动量矩定理：,【解】,广义坐标：,正方向：顺时针,第一章：单自由度系统的振动,1.5 有阻尼单自由度系统的自由振动,临界阻尼系数：,第一章：单自由度系统的振动,1.5 有阻尼单自由度
7、系统的自由振动,【思考】某阻尼器的阻尼比是0.1,这句话对么,?,第一章：单自由度系统的振动,1.5 有阻尼单自由度系统的自由振动,【作业】教材第44页第3题、第4题和第45页第8题。(下次上课时交),【习题1】,图示摆，其转轴与铅垂方向成 角，摆长，质量不计，求摆动固有频率。,习题课,习题课,【习题2】,求图示系统的固有频率(注：图中所示位置均为静平衡位置)。,(a),(b),(c),习题课,(a),习题课,习题课,(c),为什么不考虑重力了？,习题课,【习题3】试证明，在衰减振动中，振系每周耗散的机械能，与每周开 始时的机械能 之比为常量，在阻尼很小时等于。,【证明】,设一周开始时的振幅为
8、，一周末的振幅为，则对应的机械能为,证毕。,习题课,1.系统阻尼比的定义是：,2.阻尼振动频率的定义是：,3.对数衰减率为：,复 习,填空：,判断对错：,1.单自由度欠阻尼系统的自由振动具有等时性，所以是周期运动；,1.6 简谐激励下无阻尼系统的受迫振动,受迫振动:,受迫振动方程：,齐次方程通解：,系统在持续的外界控制的激励的作用下所发生的振动。,1.6 简谐激励下无阻尼系统的受迫振动,1.如果,非齐次方程通解：,特解：,待定常数：,2.如果,特解：,特解的形式：,1.6 简谐激励下无阻尼系统的受迫振动,待定常数：,图 共振响应,1.6 简谐激励下无阻尼系统的受迫振动,【思考】：实际系统在共振
9、时，其振幅会是无限大么？,1.实际系统都存在阻尼，阻尼能够使系统在共振时维持有限的振幅。,2.当振幅增大到一定程度后，支配系统运动的微分方程已经不再是 线性微分方程了，而是非线性运动微分方程，所以此时根据线性 运动方程得到的结果已经不能反映实际情况了。,【例】求图示系统在外激励作用下的响应，,下面的解法是否正确,齐次方程的通解：,由初始条件得到：,所以齐次方程的通解为：,非齐次方程的特解为：,所以系统的响应为：,1.6 简谐激励下无阻尼系统的受迫振动,?,1.7 简谐激励下有阻尼系统的受迫振动,求齐次方程通解,1.简谐激励下受迫振动的解,运动方程：,完整的受迫振动解：,1.7 简谐激励下有阻尼
10、系统的受迫振动,受迫振动响应的特征：,总的振动响应瞬态振动和稳态振动的叠加；,随着时间的增加，瞬态振动消失，响应主要由稳态振动构成；,稳态振动与激励同频，但与激励之间有相位差;,稳态振动的振幅和相位差与初始条件无关，初始条件只影响系统的瞬态振动。,图 受迫振动的构成,1.7 简谐激励下有阻尼系统的受迫振动,引入两个无量纲参数：,稳态振动：,2.稳态振动,频率比：,位移振幅放大因子：,位移幅频特性,1.7 简谐激励下有阻尼系统的受迫振动,图 位移幅频特性,频率比对位移响应幅值的影响：,低频段：,高频段：,位移共振：,阻尼比对位移响应幅值的影响：,阻尼在共振区,对减小振幅有显著作用；在远离共振区，
11、阻尼对减小振幅的作用不大,解释：激振力变化很慢，近似地看成一个不变的力。,解释：激振力的方向改变过快，振动物体由于惯性来不及发生相应的变化，结果是近似地停着不动。,振幅近似达到最大值。弹性恢复力与惯性力相平衡，激振力全部用于克服阻尼力。,1.7 简谐激励下有阻尼系统的受迫振动,图 位移相频特性,低频段：,高频段：,位移共振：,说明响应与激励之间几乎是同相的。,说明响应与激励之间是反相的。,说明响应与激励之间相差90度。,1.7 简谐激励下有阻尼系统的受迫振动,相位差随频率比的变化：,共振：,统一规定，频率比 时发生共振。,共振时：,1.7 简谐激励下有阻尼系统的受迫振动,教材25页第一自然段最
12、后一句话:“共振时弹性力与惯性力相平衡，系统的响应由阻尼力与激振力间的平衡关系确定，系统基本呈阻尼特性”。,1.7 简谐激励下有阻尼系统的受迫振动,激振力：,阻尼力：,惯性力：,3 测量单自由度系统阻尼比的方法,(1).自由振动衰减法,量得相隔 周的两个振幅，,1.7 简谐激励下有阻尼系统的受迫振动,(2)半功率法,1.7 简谐激励下有阻尼系统的受迫振动,阻尼比：,复 习,【1】：实际系统在共振时，其振幅会不会无限大。,【2】：求解系统完整的受迫振动响应时，需要注意列出完整的受 迫振动响应表达式后再代入初始条件求待定常数。,单自由度有阻尼系统在简谐激励下的受迫振动响应的特征：,总的振动响应瞬态
13、振动和稳态振动的叠加；,随着时间的增加，瞬态振动消失，响应主要由稳态振动构成；,稳态振动与激励同频，但与激励之间有相位差;,稳态振动的振幅和相位差与初始条件无关，初始条件只影响系统的瞬态振动。,【3】：,复 习,作业情况,1.抄袭现象严重。,1.8 用复数解法求解稳态振动,上次课的解法：,稳态振动对应齐次方程的通解还是非齐次方程的特解？,当用复数的虚部表示周期扰力时,运算过程中用复数形式,得到复数形式的解,然后对复数解取虚部,就得到了实数解.,1.8 用复数解法求解稳态振动,复数解法：,当用复数的实部表示周期扰力时,得到的复数解应该取实部.,1.8 用复数解法求解稳态振动,【例】：旋转机械的总
14、质量为M，转子质量为m，偏心距为e，转子角速度为，其他参数如图所示。求非旋转部分的稳态振动(用复数法求解)。,运动方程：,【解】：,1.8 用复数解法求解稳态振动,稳态振动：,1.8 用复数解法求解稳态振动,1.8 用复数解法求解稳态振动,【课堂练习】：用复数法求解图示系统的稳态振动,并与教材20页(1.5.10)式比较。,1.9 基础简谐激励下的受迫振动,1.9 基础简谐激励下的受迫振动,1.9 基础简谐激励下的受迫振动,我们想用复数激振力的虚部表示方程右端的实数激振力，为此,绝对运动传递率,1.9 基础简谐激励下的受迫振动,绝对运动传递率的频率特性：,低频段,1.9 基础简谐激励下的受迫振
15、动,质量块的绝对运动近似等于基础的运动,说明基础运动经弹簧和阻尼器传递到质量块后放大了,注意到：,高频段：,1.9 基础简谐激励下的受迫振动,说明基础运动被弹簧和阻尼器隔离了。,1.9 基础简谐激励下的受迫振动,【课堂练习】：某路面沿长度方向可近似为正弦波，波长为l,波峰高为h.一汽车质量为m,减振板簧总刚度为k,在该路面上以速度v行使.不计阻尼,求汽车铅垂振动的稳态响应和临界行使速度.,图 几种振动抑制手段,消振:,隔振:在振源和受控对象之间加入弹性支撑来减小相互之间所 传递的振动量。,阻振:,吸振:在受控对象上附加一个子系统，振动能量主要集中在子 系统中；,消除振源的振动；,在受控对象上加
16、阻尼；,1.10 振动的隔离,第一类隔振（隔力）：通过弹性支撑隔离振源传到基础的力；,第二类隔振（隔幅）：通过弹性支撑减小基础传到设备的振动幅值；,图 隔幅示意图,1.10 振动的隔离,1.第一类隔振,经隔振器传到基础的弹性力和阻尼力分别为：,图 隔力问题的力学模型,1.10 振动的隔离,传到基础上的力的合力幅值：,力传递率：,1.10 振动的隔离,图 隔幅问题的力学模型,图 绝对运动传递率幅频特性,绝对运动传递率：,1.10 振动的隔离,2.第二类隔振,在隔振器设计中，隔振系统的阻尼大好还是小好？,解：力的传递率：,【例】：一台电机质量为31kg，转速n=2970r/min，在电机与基础之间
17、加有弹性衬垫，阻尼不计。要使传到基础上的力减为不平衡力的1/10，问弹性衬垫的刚度系数为多少？,1.10 振动的隔离,【例】：某直升机在旋翼额定转速360rpm时机身强烈振动，为使直升机上某电子设备的隔振效果达到,试求隔振器弹簧在设备自重下的静变形.,解：绝对运动传递率：,1.10 振动的隔离,1.10 振动的隔离,【作业】教材第45页第9题、第12题和第13题。(下次上课时交),第一类隔振（隔力）：通过弹性支撑隔离振源传到基础的力；,第二类隔振（隔幅）：通过弹性支撑减小基础传到设备的振动幅值；,衡量隔力效果好坏的参数：力的传递率,衡量隔幅效果好坏的参数：绝对运动传递率,当 时，隔振器才有隔振
18、效果。,复 习,一个疑问,1.11 周期激励下的振动分析,当外激励不是简谐激励，而是一般的周期激励，受迫振动如何求？,【思路】：,1.11 周期激励下的振动分析,叠加原理,1.11 周期激励下的振动分析,如果周期函数满足狄利赫莱条件：,1.在一个周期内，极大值和极小值数目是有限个；,2.在一个周期内，如果有间断点存在，则间断点数目为有限个；,3.在一个周期内，函数绝对值的积分为有限值，即：,Joseph Fourier(17681830)给出了信号的频域分析方法,傅立叶级数展开：,1.11 周期激励下的振动分析,另一种形式：,1.11 周期激励下的振动分析,系统,周期函数激励下的受迫振动：,【
19、思路】：,1.11 周期激励下的振动分析,稳态解：,请同学们根据教材20页或21页的相关公式验证。,1.12 任意激励下的振动分析,1.列车在铁轨的接头处受到的冲击力,2.炮弹在发射时作用于支承结构的反作用力,3.地震波以及爆炸形成的冲击波对房屋建筑的作用,4.飞行器对接时产生的冲击力,任意激励：,激振力是时间的任意的确定性的函数。,函数：,且,函数的单位:为自变量的倒数，如自变量是时间，则单位是1s。,1.12 任意激励下的振动分析,筛选性,1.12 任意激励下的振动分析,脉冲力开始作用时刻,脉冲力的平均值,脉冲力的表示：,作用在 时刻冲量为I 的脉冲力,1.12 任意激励下的振动分析,脉冲
20、力的冲量为,脉冲力停止作用时刻,作用在 时刻单位脉冲力,单位脉冲响应函数,1.12 任意激励下的振动分析,系统的运动方程：,初始条件：,设脉冲力的作用时间区间是,根据冲量定理：,初始条件变为：,单位脉冲响应:,1.12 任意激励下的振动分析,在 时刻作用的单位脉冲引起的t 时刻的响应为,杜哈梅尔积分,在 时刻作用的冲量为 的脉冲引起的t 时刻的响应为,1.12 任意激励下的振动分析,(杜哈梅尔积分),时刻以前的所有脉冲都对 时刻的响应有贡献，根据叠加原理，有,1.12 任意激励下的振动分析,非零初始条件下，系统的响应为,实验安排:,第一组：0104101班试验时间：下周一上午,8:009:00
21、,地点：14号楼1楼（从14号楼的大铁门进入便是）,实验指导老师：徐庆华,第二组：0104103班试验时间：下周一上午,9:0010:00,第三组：0104104班试验时间：下周一中午,12:301:30,第四组：0104102班和0004301班试验时间：下周一晚上,6:307:30,1.12 任意激励下的振动分析,复 习,杜哈梅尔积分,它完全由系统参数决定，和初始条件和外激励无关。,作 业,作 业,作 业,判断:,1.单自由度线性系统在谐波激励下的稳态振动的频率等于外激励的频率，与系统的固有频率无关；,习题课,2.一个谐波激振力作用到线性系统上，所得到的稳态响应将与激振力有相同的频率与相位；,3.一个周期激振力作用到单自由度线性系统上，系统响应的波形与激振力的波形相同，只是两波形间有一定的相位差；,习题课,【题1】如图所示，在质量块上作用有简谐力，同时在弹簧的固定端有支承运动。试写出系统的振动微分方程和稳态振动解。,习题课,【解】,习题课,【例】如图所示，试写出系统的振动微分方程和稳态振动解。,习题课,【解】,习题课,习题课,习题课,
