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1、空间向量及其加减运算,复习回顾：平面向量,1、定义：,既有大小又有方向的量。,2、平面向量的加法、减法与数乘运算,向量加法的三角形法则,3、平面向量的加法、减法与数乘运算律,已知F1=2000N,F2=2000N,F3=2000N,这三个力两两之间的夹角都为60度,它们的合力的大小为多少N?,这需要进一步来认识空间中的向量,平面中存在向量,空间中是否也有向量?,你能类比平面向量的定义、表示 以及运算法则推出空间向量的定义、表示 以及运算法则.,平面向量,概念,加法减法运算,运算律,减法:三角形法则,加法:三角形法则或平行四边形法则,空间向量及其加减运算,空间向量,具有大小和方向的量,加法交换律
2、,加法结合律,具有大小和方向的量,起点,终点,空间向量与平面向量没有本质的区别！,零向量,单位向量,相等向量,相反向量,长度为零,长度为1,方向相同，长度相等,方向相反，长度相等,找一找、说一说,相等向量？相反向量？单位向量？,平面向量,概念,加法减法运算,运算律,减法:三角形法则,加法:三角形法则或平行四边形法则,空间向量及其加减运算,空间向量,具有大小和方向的量,加法交换律,加法结合律,具有大小和方向的量,O,A,B,C,空间向量的数乘,空间向量的加减法,A,B,C,D,平行六面体：平行四边形ABCD平移向量 到A1B1C1D1的轨迹所形成的几何体.,记做ABCD-A1B1C1D1,平面向
3、量,概念,加法减法运算,运算律,减法:三角形法则,加法:三角形法则或平行四边形法则,空间向量及其加减运算,空间向量,具有大小和方向的量,加法交换律,加法结合律,加法交换律,加法:三角形法则或平行四边形法则,减法:三角形法则,加法结合律,成立吗？,具有大小和方向的量,数乘分配律,加法结合律：,O,A,B,C,O,A,B,C,推广:,（1）首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量；,（2）首尾相接的若干向量若构成一个封闭图形，则它们的和为零向量。,做一做、想一想,变式一,变式二,E,例1：已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1，化简下列向量表达式，并标出化简结果的向量
4、。(如图),例1：已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1，化简下列向量表达式，并标出化简结果的向量。(如图),G,M,始点相同的三个不共面向量之和，等于以这三个向量为棱的平行六面体的以公共始点为始点的对角线所示向量,例2：已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1，求满足下列各式的x的值。,例2：已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1，求满足下列各式的x的值。,例2：已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1，求满足下列各式的x的值。,例2：已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1，求满足下列各式的x的值。,A,B,M,C,G,D,练习1,在空间四边形ABCD中,点M、G分别是BC、CD边的中
5、点,化简,A,B,M,C,G,D,(2)原式,练习1,在空间四边形ABCD中,点M、G分别是BC、CD边的中点,化简,A,B,C,D,D,C,B,A,练习2,在立方体AC1中,点E是面AC 的中心,求下列各式中的x,y.,E,A,B,C,D,D,C,B,A,练习2,E,在立方体AC1中,点E是面AC的中心,求下列各式中的x,y.,A,B,C,D,D,C,B,A,练习2,E,在立方体AC1中,点E是面AC 的中心,求下列各式中的x,y.,平面向量,概念,加法减法数乘运算,运算律,定义,表示法,相等向量,减法:三角形法则,加法:三角形法则或平行四边形法则,空间向量,具有大小和方向的量,数乘:ka,
6、k为正数,负数,零,加法交换律,加法结合律,数乘分配律,小结,类比思想 数形结合思想,数乘:ka,k为正数,负数,零,作业,3.1.2空间向量的数乘运算,一、空间向量的数乘：,2、空间向量的数乘的性质,1、定义：,实数 与空间向量 的乘积 仍然是一个向量，称为空间向量的数乘,2、空间向量的数乘的运算律,（3）数乘结合律：,（1）数乘分配律1：,（2）数乘分配律2：,1、定义：,如果表示空间向量的有向线段所在直线互相平行或重合，则这些向量叫做,共线向量,二、空间中的共线向量,（或平行向量）,2、空间中共线向量的性质,（1）,共线,（2）非零共线向量的传递性：,（3）零向量与任一向量共线，,（4）
7、空间共线向量定理：,对空间任意两个向量,有且只有一个实数，使,思考1：为什么要强调,思考2：这个定理有什么作用？,1、判定两个向量是否共线,2、判定三点是否共线,若P为A,B中点,则,向量参数表示式,推论:如果 为经过已知点A且平行已知非零向量 的直线,那么对任一点O,点P在直线 上的充要条件是存在实数t,满足等式 其中向量 叫做直线 的方向向量.,若 则A、B、P三点共线。,空间向量的基本定理,共面向量定理,共面向量:平行于同一平面的向量,叫做共面向量.,注意：空间任意两个向量是共面的，但空间任意三个向量就不一定共面的了。,312,1、如果向量e1和e2是一平面内的两个不平行的向量，那么，该
8、平面内的任一向量a与 e1,e2有什么关系?,如果e1和e2是一平面内的两个不平行的向量，那么，该平面内的任一向量a，存在惟一的一对实数a1，a2，使 a a1 e1 a2 e2,2、平面向量基本定理,复习：,（1）必要性：如果向量c与向量a，b共面，则通过平移一定可以使他们位于同一平面内，由平面向量基本定理可知，一定存在唯一的实数对x，y，使cx ay b,3、共面向量定理：,如果两个向量a，b不共线，则向量c与向量a，b 共面的充要条件是，存在唯一的一对实数 x，y，使 cx ay b,证明：,共面向量定理的剖析,如果两个向量 a，b 不共线,(性质),(判定),得证.,判定空间中三点A、
9、B、C共线的常用方法：,（1）只需得到存在实数，使,（2）对空间任意点O，存在实数t,使,特别地，当t=1/2时，,此时，点C恰为线段AB的,中点,例1、已知A，B，C三点不共线，对平面ABC外的任一点O，确定在下列条件下，M是否与A，B，C三点共面：,例2(课本例)如图，已知平行四边形ABCD,从平面AC外一点O引向量,求证：四点E、F、G、H共面；平面EG/平面AC.,例2(课本例)已知 ABCD，从平面AC外一点O引向量,求证：四点E、F、G、H共面；,平面AC/平面EG.,证明：,（）代入,所以 E、F、G、H共面。,1.对于空间任意一点O，下列命题正确的是：(A)若，则P、A、B共线(B)若，则P是AB的中点(C)若，则P、A、B不共线(D)若，则P、A、B共线,2.已知点M在平面ABC内，并且对空间任意一点O，,则x的值为(),1.下列说明正确的是：(A)在平面内共线的向量在空间不一定共线(B)在空间共线的向量在平面内不一定共线(C)在平面内共线的向量在空间一定不共线(D)在空间共线的向量在平面内一定共线,2.下列说法正确的是：(A)平面内的任意两个向量都共线(B)空间的任意三个向量都不共面(C)空间的任意两个向量都共面(D)空间的任意三个向量都共面,
