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1、概率论与数理统计部分难点问题解析,设 A1,A2,An 为样本空间 S 的一个完备事件组，B 为一个随机事件.若 P(Ai)0,i=1,2,n,则成立：,第一章 随机事件及其概率,全概率公式 与 贝叶斯 公式,全概率公式,P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)+P(An)P(B|An);,贝叶斯公式,难点类型：利用两公式求概率.,例1 由三台机床加工一大批零件，加工比例分别为5:3:2，合格率分别为0.94,0.90,0.95，在全部产品中随机抽取一个,(1)求此零件合格的概率（产品合格率）；(2)已知抽到的是合格品，求此零件为1号机床加工的概率.,解 设 Ai:零件由i
2、 号加工(i=1,2,3),B:抽到零件合格.因此,P(A1)=0.5,P(A2)=0.3,P(A3)=0.2;,P(B|A1)=0.94,P(B|A2)=0.90,P(B|A3)=0.95.,(2)由贝叶斯公式，,(1)由全概率公式，P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)+P(A3)P(B|A3)=0.47+0.27+0.19=0.93；,例2 盒中有9新、6旧共15只乒乓球，上午比赛时从盒中任取两球，用后放回，下午比赛时再从盒中任取两球.,(1)求下午取两球都为新球的概率；(2)已知下午取两球都为新球，求上午取两球为1新1旧的概率.,解 Ai:上午取两球有i 个新球(
3、i=0,1,2),B:下午取两新球.因此,(2)由贝叶斯公式，,(1)P(B)=P(A0)P(B|A0)+P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)=0.2547,例3(产品检验问题)要验收 100 件产品的方法是：抽取 3 件产品，若测出次品就拒绝接收.已知一件次品被测出的概率为 0.95，一件合格品被误测为次品的概率是 0.01.若这 100 件产品中恰好有 4 件次品，求这批 100 件产品被接受的概率.,解 设A:产品被接受（抽到的3件产品都被认为是合格的）.Bk:抽到的 3 件产品恰有k 个次品(k=0,1,2,3).,其中P(Bk)服从超几何分布:,P(A|Bk)=0.05
4、 k0.99 3k(k=0,1,2,3).,由全概率公式，这批产品被接受的概率是P(A)=k=03 P(Bk)P(A|Bk)=k=03 0.05k0.99 3 k 0.8629.,C4k C96 3 k C1003,第二章 随机变量及其分布,连续型随机变量函数的分布,难点类型,PY y=P g(X)y=P X g 1(y)，,解法,即,两端求导数,FY(y)=FX(g 1(y)，,fY(y)=fX(g 1(y)g 1(y).,已知 X 的密度函数 fX(x)，求 Y=g(X)的密度函数.,例1 已知 X 具有密度函数,求 Y=2X+8 的密度函数.,解,两端求导得,PX,例2 设随机变量X 的
5、密度函数为,，求Y=1e 2 X 的密度函数 fY(y).,解,即 FY(y)=FX().,两端求导得,PY y=P1e 2 X y=,即YU(0,1).,例3 证明 若 XN(0,1),即X 具有概率密度,则 Y=X 2 的概率密度为,第三章 多维随机变量及其分布,二维连续型随机变量及其概率密度,1.已知(X,Y)的密度函数 f(x,y)，求其分布函数F(x,y).,其中区域 D 为:u x,v y,解法 求二重积分,2.已知(X,Y)的密度函数 f(x,y)，求X,Y 的边缘密度函数 f X(x)及 f Y(y).,解法 求积分,例1 设 X,Y 的密度函数为,2 e(2 xy),当 x
6、0,y 0；0，其它,f(x，y)=,(1)求分布函数 F(x，y)；(2)计算 P Y X.,解,(1)对任意的 x 0、y 0，,0，其 它.,F(x，y)=,于是,(1e2 x)(1e y),当 x,y 0,例1 设 X,Y 的密度函数为,2 e(2 xy),当 x 0,y 0；0，其它,f(x，y)=,(1)求分布函数 F(x，y)；(2)计算 P Y X.,解,(2)设在G 0 上 f(x,y)0，且 yx，则,按 y-型区域,用x-型区域求,用y-型区域求,解,例2 已知 X、Y 的联合密度函数为：,计算 X、Y 的边缘概率密度.,6，x 2 y x;0，其它.,f(x，y)=,第
7、四章 随机变量的数字特征,定理(独立同分布中心极限定理)设 X 1,X 2,X n,独立同分布，其期望、方差 2 0 存在，则有,中心极限定理,定理(棣莫弗-拉普拉斯定理)若 Xn b(n,p),则有,.,.,.,或者,解,易知，E(Vk)=5,D(Vk)=100/12,由独立同分布中心极限定理，有,于是有 PV 255=,例1 某仪器同时收到48个独立的噪音电压 Vk U(0,10)(k=1,48).记 V=V1+V2+V48.求PV 255的近似值.,1(0.5)=0.3085.,以 X 记90000次海浪冲击时纵摇角大于3的次数，则 X b(90000,1/3).,例2 一船舶在海上航行
8、，已知每遭受一次海浪的冲击，纵摇角大于3的概率为 p=1/3，若船舶遭受90000次海浪冲击，问其中有 2950030500 次纵摇角大于3的概率是多少？,解,由棣莫弗-拉普拉斯定理，近似地有,P 29500X 30500=,=0.9996.,(1)以Xk 记第k个学生来参加家长会的人数，则有,例3 设每个学生无家长、有1名家长、有 2名家长来参加家长会的概率分别为0.05、0.8、0.15.若学校共有学生400名，且各学生参加会议的家长数独立同分布.求下列概率：(1)参加家长会的家长数超过450；(2)有1名家长来参加会议的学生数不超过340.,解,由独立同分布定理.参加家长会的家长数,可求
9、得，E(Xk)=1.1,D(Xk)=0.19,k=1,2,400.,P X 450,1(1.147)=0.1357.,(2)若以Y 表示有1名家长来参加会议的学生数，则 Y b(400,0.8)，由棣莫弗 拉普拉斯定理得,P Y 450,(2.5)=0.9938.,例3 设每个学生无家长、有1名家长、有 2名家长来参加家长会的概率分别为0.05、0.8、0.15.若学校共有学生400名，且各学生参加会议的家长数独立同分布.求下列概率：(1)参加家长会的家长数超过450；(2)有1名家长来参加会议的学生数不超过340.,解,点估计的常用方法,第六章 参数估计,最大似然估计,由总体X的概率密度 f
10、(x)(或分布律P X=xi)建立似然函数,或,求似然函数 L(x1,x2,xn;)的最大值.,例1 设 X b(1,p).X 1,X 2,X n 是来自X 的一个样本，试求参数 p 的最大似然估计量.,解 X 的分布律为PX=x=px(1 p)1x，x=0,1.设 x 1,x n 为样本值.似然函数为,两边取对数，,求导数，令其为零，得,解得 p 的最大似然估计值为,所以，p 的最大似然估计量为,例2 设 X N(,2).x 1,x 2,x n 是来自X 的一个样本值，试求参数,2 的最大似然估计量.,解 X 的概率密度为,故似然函数为,等式两边取对数，得,令其两个偏导数为零，得方程组,解得,2 的最大似然估计值分别为,所以，,2的最大似然估计量分别为,现测得一组容量为8的样本观察值为 1,3,0,2,3,3,1,3，试求 p 的最大似然估计值.,例2 设总体X的分布律为,其中 p(0 p1/2)为参数，,解,似然函数 L(p)=,=2 p(1 p)2(12 p)4(p2)2,取对数 ln L(p)=2ln2p+ln(1 p)+4 ln(12p)+4ln p，,令 ln L(p)=,解得,舍去,所以p的极大似然估计值为,
