不可压缩粘性流体动力学基础.ppt

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1、,第七章 不可压缩流体动力学基础,第七章 不可压缩理想流体的无旋运动,71 流体微团运动分析 72 有旋流动 7 3 不可压缩流体连续性方程 74 以应力表示的粘性流体运动微分方程 75 应力和变形速度的关系 76 纳维斯托克斯方程 77 理想流体运动微分方程及其积分 78 流体流动的初始条件和边界条件,学习基本要求及重点,基本要求：掌握质点导数、流体微团的基本形式、有旋流动与无旋流动，N-S方程以及N-S方程的意义与应用。,学习重点 通过微元体分析法推导N-S方程。通过N-S方程简化得到欧拉方程、流体平衡微分方程。,7-1 引言,直到现在，我们只讨论了理想与粘性流体的一元流动。可是，有些空间

2、问题，需要多元流动即二元和三元的流动，即流场中流体的流动参量在二个或三个坐标轴方向都发生变化。本章论述流体的三元流动，主要内容是有关流体运动的基本概念和基本原理以及描述不可压缩流体流动的基本方程和定解条件。,本章的研究以流体微团为对象。,一、流体微团（Material Elements of Fluid）流体微团是由大量的流体质点所组成的一个微小质团，它具有微小的体积，是研究流体运动的一个基本单元。,流体微团的尺度在微观上足够大，大到能包含大量的分子，使得在统计平均后能得到其物理量的确定值，质点的尺度在宏观上又足够小，远小于所研究问题的特征尺度，使得其平均物理量可看成是均匀的；而且可以把流体微

3、团看成是几何上的一个点。有了连续介质假设就可以把流体的物理量作为空间坐标和时间的连续函数，充分利用数学分析这个有力的工具来解决流体力学问题。,二、流体微团运动分析的目的1按照微团有无旋转运动，可以将流动分为无旋流动和有旋流动两大类型，从而可以分别对它们深入进行研究。2根据微团的线变形速度和角变形速度可以建立粘性切应力和附加切应力表达式，以简化运动方程式。三、流体微团运动的基本形式 流体微团运动的基本形式为平移、旋转和变形，变形又分为线变形和角变形（参见图7-1）思考题：流体微团运动基本形式与刚体运动基本形式有何不同？流体运动可能同时具有这三种基本形式，也可能具有两种或一种形式，但流体微团是否发

4、生旋转运动具有更重要的意义。,图7-1 流体微团运动的基本形式,7-2 流体微团运动分析,由理论力学可知，刚体有平移和旋转两种运动形式，而流体运动则不同。由于流体微团在流场中各点的速度不同，但又要保持流体本身的连续性，因此流体微团除有平移和旋转运动外，还有变形运动。下面将分析流体微团的三种运动形式。,如图72所示的平面运动中的流体微团。设在 t 时刻流体微团为矩形ABCD，经过 时段后它移动到新的位置并变形为，又设 t 时刻角点A的速度为，根据泰勒级数展开，得B、C点的速度分别为,四点的速度中均包含有，由图72可见，是平移速度。,以AB为例。因为角点B沿 x 方向的速度比角点A快（或慢），所以

5、经过 时段后，AB边在 x 方向的伸长（或缩短）量为。单位时间单位长度的线变形称为线变形速度，并记为，则,1、平移运动,2、线变形运动,三个方向的线变形之和，即为体积膨胀率。根据连续性方程可知，对于不可压缩流体，。,3、旋转运动,将流体微团上两条直线旋转角速度的平均值定义为流体微团的旋转角速度，记为，假设直线逆时针方向旋转的角速度为正，则由（1）（2）式可知，单位时间内AB边的旋转角度为，单位时间内AC边的旋转角度为，根据流体微团旋转角速度的定义得,（7-2）,将平面上角变形速度之半定义为流体微团的剪切变形速度，记为 由图7-2可知，A点的角度变化为,4、剪切变形,根据流体微团剪切变形速度的定

6、义得,（73）,综上所述，可写出表示流体微团运动的基本形式如下：,表示平移的平移速度：、。,表示线变形的线变形速度（又称线变率）：,表示角变形的角变形速度（又称角变率）：,表示转动的旋转角速度（又称角转速）,5流体微团速度分解公式（即Helmholtz速度分解定理）,设微团内任一点O（x、y、z）在t时刻的速度分量为、，距O点ds处的M点在同一时刻的速度分量为，将速度增量按泰勒级数展开：,于是，M点的速度分量 经过配项，整理有,根据、和 的表达式，可得,同理可写出y和z方向两个速度分量表达式。,上列三式中，右边第一项为平移速度，第二项为线变形所产生的速度增量，第三、五项是由于转动所产生的速度增

7、量，第四、六项是由于角变形所产生的速度增量。可见，流体微团的运动可以分解为平移运动、旋转运动和变形（包括线变形和角变形）。例题 71（见教材page184）思考题：流体速度分解定理和刚体速度分解定理有何区别？,因此，点的速度可表示为,7-3 有旋和无旋流动,流体微团的旋转角速度在流场内不完全为零的流动称为有旋流动。比如大气中的龙卷风、管道中的流体运动、绕流物体的表面边界层及其尾部后的流动等都是有旋流动。,在流场中，各点不仅存在有流速，形成流速场，而且也存在有旋转角速度，形成旋转角速度场，角速度数值大小为,旋转角速度向量的方向规定为沿旋转轴线按右手定则确定。用矢量表示,那么定义涡量 为旋转角速度

8、向量的2倍。,一、有旋流动及其性质,1、有旋流动,其中 为涡量 在x、y、z坐标上的投影。,显然，涡量是空间坐标与时间的矢量函数，。所以，它构成了一个向量场，成为涡量场。涡量实际上是速度矢量的旋度，即，用哈密尔顿算子表示，即为,无源场的散度为零，即，或写成下列形式,上式称为涡量连续性微分方程。,在涡量场中可以画出表征某一瞬时流体质点的旋转角速度向量的曲线，成为涡线。在给定的瞬时，涡线上各点的角速度向量在该点处与涡线相切。沿涡线取一微小线段ds，由于涡线与角速度向量的方向一致。所以ds沿三个坐标轴方向的分量dx、dy、dz必然和角速度向量的三个分量成正比，即,在给定瞬时，在漩涡场中任取一个不是涡

9、线的封闭曲线，通过这条曲线上每一点作一根涡线，这些涡线就构成一个管状曲面，称为涡管（Vortex Tube）；涡管中充满着作旋涡运动的流体，称为涡束，或称为元涡（Vortex Filament）。,涡通量（Vortex Flux）或旋涡强度（Intensity of Vorticity），以J表示。元涡的涡通量为微元涡的断面积和速度涡量（简称涡量）的乘积，即,设A为涡量场中一开口曲面，微元面dA的外法线单位向量为，涡量在 方向上的投影为，,上式称为涡通量。,则面积分,有旋流动的一个重要的运动学性质是：在同一瞬时，通过同一涡管的各截面的涡通量相等，即,对于微元涡管，近似认为断面上各点的涡量相等，

10、则,左式证明见教材187,由上式可知，微元涡管截面愈小的地方，流体的旋转角速度愈大。由于流体的旋转角速度不可能无穷大，故涡管截面不可能收缩为零。即，涡管不可能在流体内部开始或终止，而只能在流体中自行封闭成涡环，或终止于和开始于边界面，例如龙卷风起于地面，终止于云层。,对于有旋流动，其流动空间是速度场，也是涡量场。,通常，涡通量是利用速度环量来计算的，在流场中任取一个封闭曲线，则速度沿曲线的积分,称为曲线上的速度环量，并规定积分绕行方向以逆时针方向为正。,沿任意封闭曲线的速度环量等于穿过以该曲线为边界的任意曲面的涡通量，即,2、斯托克斯（Stokes）定理,式中，L为流场中任意封闭的曲线；A为曲

11、线L所围城的面积；u是曲面A的外法线单位向量。,上式给出了速度环量与涡通量之间的关系：沿任意封闭曲线L的速度环量等于通过以该曲线为边界的曲面A的涡通量，即,根据这个关系可以通过分析速度环量来研究旋涡运动。若速度环量，涡通量，封闭曲线所包围的是势流区；若速度环量不等于0，必存在有旋涡。而且通过上式把面积分变成一个线积分，而沿封闭曲线的速度分布是可以直接量测的，这样即可通过速度环量来求得涡通量，使计算大为简便。,3、汤姆逊（Thomson）定理及其推论,具有正压性质的理想流体在有势的质量力作用下，在流场中沿着任何一个封闭曲线的速度环量不随时间而变化，即,所谓正压性质流场是指整个流场中，密度是压强的

12、单值函数，即，如均匀温度流场，不可压缩流体恒定流场等。由斯托克斯定理可知，速度环量不随时间而变化就意味着涡通量不随时间而变化，也就是说漩涡是守恒的。汤姆逊定理重要推论，即漩涡不生不灭定理：如果作用在理想正压流体上的质量力是有势的，那么若微团没有旋转角速度，则将来也不会出现旋转角速度；若原来有旋转角速度，则将来也不会消失。即流体无旋永远无旋，有旋永远有旋。由上述定理反推可知，流体正压、理想、质量力有势三个条件中，只要有一个条件得不到满足时，漩涡就有可能在流体中产生或消失。对于实际流体，摩擦力常常是产生和消除漩涡的根源。实际流体能否当作理想流体来考虑，主要决定于粘滞力是否起显著作用，工程上所遇到的

13、流体主要是水和空气，它们的粘性都很小，如果在流动过程中没有受到边壁摩擦的显著作用，就可以当作理想流体来考虑。,二、无旋流动定义及其性质,根据流体微团是否发生旋转，可以把流动分为有旋流动和无旋流动。无旋流动：流场中各点旋转角速度都等于零的流动，即,因此，无旋流动的前提条件,（7-14）,1、无旋流动,流体的流动是有旋还是无旋，是由流体微团本身是否旋转来决定的。流体在流动中，如果流场中有若干处流体微团具有绕通过其自身轴线的旋转运动，则称为有旋流动。如果在整个流场中各处的流体微团均不绕自身轴线的旋转运动，则称为无旋流动。这里需要说明的是，判断流体流动是有旋流动还是无旋流动，仅仅由流体微团本身是否绕自

14、身轴线的旋转运动来决定，而与流体微团的运动轨迹无关，在图7-3(a)中，虽然流体微团运动轨迹是圆形，但由于微团本身不旋转，故它是无旋流动；在图7-3(b)中，虽然流体微团运动轨迹是直线，但微团绕自身轴线旋转，故它是有旋流动。在日常生活中也有类似的例子，例如儿童玩的活动转椅，当转轮绕水平轴旋转时，每个儿童坐的椅子都绕水平轴作圆周运动，但是每个儿童始终是头向上，脸朝着一个方向，即儿童对地来说没有旋转。,图7-4 流体微团运动,无旋流动,有旋流动,2、无旋流动的性质、无旋流动必然是有势流动 式（7-14）是无旋流动的前提条件，根据全微分理论，它又是某空间位置函数（x、y、z）存在的必要和充分条件。和

15、它的速度分量 的关系可表示为下列全微分形式（7-16）函数称为速度势函数（Velocity Potential function）。存在着速度势函数的流动，称为有势流动，简称势流（Potential Flow）。所以无旋流动必然是有势流动。特别注意：速度势函数虽然也用了“势”这个词，却不象力的势函数具有势能的物理意义。,势函数的全微分可表示为,对于以上两式，可得,所以，对于有势流动，求速度场时，只要求得速度势函数，即可根据式（7-17）求得速度的三个分量。事实上，通过速度势函数不仅可以表示x、y、z三个方向的分速度，而且可以表示任意方向的分速度，即,也就是说速度在某一方向的分速度，等于速度势函

16、数对此方向的偏导数。这样就把无旋流动求速度场的问题转化为求速度势函数问题了。,3、速度势函数的几个主要性质。（）速度势函数可加上任意常数，而不影响求解的流速场；（）速度势函数相等的点所组成的面，称为等势面，等势面与流线正交（请自己证明）；（）任意两点速度势函数之差，等于此二点间速度沿任意曲线的线积分，即,也就是说，无旋流动速度u的线积分和积分所取的路线无关。如果L是封闭曲线，则当无旋流动时，必有,（）在不可压缩流体中，速度势函数满足拉普拉斯方程（Laplace Equation）,代入,即得,上述方程称为拉普拉斯方程。满足拉普拉斯方程的函数称为调和函数。因此，不可压缩流体无旋流动的速度势函数是

17、坐标x、y、z的调和函数。而拉普拉斯方程就是不可压缩流体无旋流动的连续性方程。注意：速度势函数只适用于无粘性流体的无旋流动，它是一个标量函数，粘形流体一般都是有旋的，因此不存在速度势函数。,7-4 不可压缩流体连续性微分方程,根据质量守恒原理，可以推导出三元流动的连续性微分方程。选用不同的坐标系统，可以得到不同形式的连续性方程。,1直角坐标系统 在流场中选取一个微小六面体，根据质量流量平衡条件可推得不可压缩流体连续性方程为,适用范围：恒定流和非恒定流；理想流体和实际流体。物理意义：流体的体积膨胀率为零，即体积未发生变化。,2圆柱坐标系统对于一些旋转问题，采用柱坐标形式更为方便。其推导过程和直角

18、坐标连续性微分方程类似。不可压缩流体连续性微分方程的柱坐标形式为,注意和直角坐标连续性方程相比多了一项，这是由于柱坐标的六面体，外弧比内弧长了一段，从多的这块面积 流出的质量为，除以，即得。,二、可压缩流体连续性方程 对于可压缩流体来说，密度随x、y、z坐标和时间t在变化的，推导可得,用矢量表示为,这就是可压缩流体非恒定流的连续性方程。对于可压缩流体恒定流动，上式可简化为,对于不可压缩流体，即可得 或，即。称为速度 的散度为零。在数学场论里，称 为散度（Divergence）。为 哈密顿（Hamilton）算子。,思考题：为什么连续性微分方程既适用于恒定流又适用于非恒定流？既适用于理想流体又适

19、用于实际流体？,7-5 以应力表示的粘性流体运动微分方程式,一、粘性流体的应力,粘性流体在运动时，表面力不仅法向应力，还有切向应力。因此粘性流体的表面力不垂直作用面，如在任一点取一微小正六面体，如右下图所示。,作用在ABCD面的应力有法向应力 与切向应力。应力符号的第一个脚标表示作用面的外法线方向，第二个脚标表示应力方向。那么，流场内任一点的应力状况，即该点流体微团在任一方向的作用面上的应力，都可用通过该点的三个垂直的作用面的9个应力分量来表示。即,实际流体运动的微元六面体受力分析图,dx、dy、dz的平行六面体,p代表法向应力,代表切向应力,X，Y、Z的代表质量力,二、以应力表示的运动微分方

20、程,在粘性流体中取一边长为dx、dy、dz的长方体，如下图示。各表面应力的方向如图所示。注意的是各应力值均为代数值。正值表示应力沿相应坐标轴的正向。由于流体不能承受拉力，故 必为负值。,由牛顿第二定律列出x方向的运动微分方程,质量力,法向力,切向力,惯性力,由牛顿第二定律列出x方向的运动微分方程,化简得到,同理可得y、z方向的运动微分方程,那么三维流动的以应力表示的粘性流体运动微分方程式如下：,粘性流体运动微分方程,，,体积力,表面力梯度,质量密度,加速度,根据达朗伯原理，所有力矩之和等于零，,得,最后得,切向应力之间的关系,上式方程中有9个应力和三个速度分量是未知量。加上连续性方程共四个方程

21、。故需要补充关系式，使方程封闭。这些封闭条件就是连续介质力学中所谓的本构方程。下一节中将给出应力与变形速度的关系式。实际过程中，测定流动流体所承受的应力有困难，因此将未知量中的应力用较容易测定的速度分量来表示。,7-6 应力与变形速度的关系,一、切应力与角应变速度的关系,一元流动的牛顿内摩擦定律：,这里流速梯度 就是直角变形速度，即，故牛顿内摩擦定律也可写成下式：,可将上式结论推广到三元流动。在讨论流体微团运动时，给出了角变形速度的表达式，是直角变形速度，它是角变形速度的2倍。在xoy平面上：,因此，对于三元流动的牛顿内摩擦定律，可写成如下形式：,两个相互垂直面上的切应力互等是很自然的。因为它

22、们的角变形速度是相同的。,通过上式，将切应力用粘性系数河直角表形速度的乘积表示出来了，这样可将应力表示的粘性流动的运动微分方程中的12个未知数消去了6个。,二、法向应力与线变形速度的关系,对于理想流体中，在同一点上的各个方向上的法向应力相等。即。对于粘性流体，粘性不仅产生与切应,力有关的角变形速度，而且还使线变形速度 也产生附加的法向应力。使一点的法向切应力与作用面方位有关。,下面讨论线变形速度产生附加法向应力的原因。,选取如右图边长dxdy方块流体微团，现对每一个线变形速度单独考虑。设微团只有沿x、y方向的线变形，故在AB、AD面上只有法向应力。先讨论流体微团只有x方向的伸长变形。,微团在x

23、方向做伸长变形，由BC伸长到BC,此时对角线由AC旋转到AC，使 产生角变形，粘性流体的角变形,与切应力相关。故必然在AC面上产生切应力，这样线变形速度产生的 必然有其他附加力（如图中的，AB面不会产生附加切应力，否则AB就会旋转）加以平衡。这就是AB面上产生法向切应力 的来由。,列 方向的力平衡,分析 的大小,作CE垂直于AC。因为 很小，可认为，则有,代入上式并化简得到：,由于 是 角的角变形速度，直角变形速度应是它的两倍，因此,代入到 得附加法向应力与线变形速度得关系,同理可得：,线变形运动是法向应力随伸长变形而减小。于是,上式为粘性流体法向应力与线变形速度的关系。式中 为理想流体的压强

24、，其大小与作用面方位无关。,粘性流体中，任意一点的三个相互垂直方向的法向应力一般是不相等的。因此定义过任意一点的三个相互垂直平面上的法向应力的平均值的负值为粘性流体在该点的压强。即,对于不可压缩流体，有下式成立,因此，可得。,对于可压缩流体来说，是表征质点的体积膨胀率，与座标选择无关，因此压强p是空间座标的函数，与方向无关。,将公式 代入,通过上式，可将三个法向应力变换为一个压强函数p。减少了两个变量。,上式与左式称为广义牛顿公式,对于均匀流，设,那么下式,变为,上式说明粘性流体均匀流动时，任意一点平行于水流方向的法向应力 与垂直水流方向的法向应力 和 相等。,对本节的主要内容概括如下：,主要

25、讨论了应力与应变（及角变形速度的关系）。粘性流体由于粘性的存在，故而存在粘性切应力和附加法向应力。,对于粘性切应力，其与角变形速度的关系如下：,对于附加法向应力，其与角变形速度的关系如下：,7-7 纳维斯托克斯方程,上节课我们讨论了粘性流体中粘性切应力、法向应力与角变形速度的关系。我们现在回到第五节的内容。在第五节中讨论了以应力表示的粘性流体运动微分方程式。即,粘性流体运动微分方程,对于上式方程，含有应力项。我们可将粘性切应力、法向应力与角变形速度的关系代入上式方程将应力项消除。,以第一式（即x方向为例）得,整理得到,对于不可压缩流体有，将此式代入上式得,同理可得,上式方程组就是不可压缩流体三

26、元流动的运动微分方程，称为纳维斯托克斯方程。上式三个方程加上不可压缩流体的连续性方程共四个方程。从数学上可以求解方程组的四个未知量：流速的三个分量和压强。而不必联立能量方程。,由于速度为空间坐标（x,y,z)和时间t 函数，可将N-S方程右边的加速度项展开为如下形式。,上式就是流速分量 对时间t求全微分时，指的是某一任取的流体质点的速度对时间的微分，因此就是加速度。此时有，,上式描述方法是拉格朗日方法。故函数中的变量x，y，z是指该质点在 运动过程中的位置坐标，因此他们是时间t的函数，并非独立变量。而下式的,右端的四项中的各量又是独立变量x，y，z和时间t的函数，这是欧拉描述方法了。因此上式完

27、成了对加速度分量描述的由拉格朗日方法到欧拉方法的转化。,上式右边第一项表示空间固定点流速随时间的变化，称为时变加速度或当地加速度；后三项表示固定质点流速由于位置变化而引起的速度变化，称为位变加速度。例如第二项，,：表同一时刻由于在x方向上位置不同而引起的单位长度上速度的变化，则为流体质点在单位时间内在x方向上的位置变化，因此两者的乘积 表示流体质点的流速分量 在单位时间内单纯由于x方向上的位移所产生的速度变化。,时变加速度和位变加速度之和又称为流速的随体导数。,将N-S方程的右边的 展开,得到N-S方程的下列表示式,矢量式,质量密度 加速度体积力压差力粘性力,圆柱体坐标系的N-S方程表达式。,许多实际问题中，用圆柱坐标系更为方便，下面给出圆柱体坐标系的N-S方程表达式。,圆柱体坐标系的不可压缩流体的连续性方程,其切向力的表达式为,其法向应力的表达式为,例题77 page198,第八,7-8 流体流动的初始条件与边界条件,7-9 不可压缩流体紊流运动基本方程及其 封闭条件,自学,自学,