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1、第八章 粘性流体动力学基础,第一部分（第1、2节）：纳维斯托克斯方程,第二部分（第3、4、5、6、7、8节）：边界层理论,第三部分（第10、11、12节）：湍流运动方程,http:/http:/http:/http:/http:/http:/http:/http:/http:/http:/http:/http:/http:/http:/http:/http:/http:/http:/http:/www.xunchi-http:/http:/http:/http:/http:/http:/http:/http:/http:/http:/www.51xiu.org/http:/http:/http
2、:/http:/http:/http:/,第一节 纳维斯托克斯方程 一、粘性流体的应力 粘性流体运动时会产生切应力，它的力学性质不同于理想流体，在作用面上的表面应力既有法向应力，也有切应力,作用在水平面内的M点的表面应力pn分解为一个法向应力pzz和两个切应力pzx、pzy。,正应力和切应力的下标中第一个字母表示作用面的法线方向，第二个字母表示应力的作用方向。,空间点M在三个相互垂直的作用面上的表面应力共有九个分量，将应力分量写成矩阵形式：,或,注意：切应力两两相等,二、应力形式的运动方程,在流场中，取一以点M为中心的微小正六面体，其边长分别为dx、dy、dz。设M点的坐标为(x，y，z)，流
3、体在M点处的速度分量为vx、vy、vz，密度为。根据泰勒级数展开，并略去级数中二阶以上的各项，六面体各表面上中心点的应力如图所示。,作用于六面体的力有质量力和表面力两种。X轴方向上的表面力有：,将三式相加，得,设作用于六面体的单位质量力在x轴方向上的分量为fx，则x方向上作用于六面体的质量力为fxdxdydz。,根据牛顿第二定律有：,化简上式可得同理，在y、z轴方向上,粘性流体应力形式的运动方程（动量方程）。,应力形式的运动方程式中单位质量力的分量fx、fy、fz通常是已知的，对于不可压缩均质流体而言，密度是常数，所以式中包含6个应力分量和3个速度分量，共9个未知量。3个运动方程式，加上连续性
4、微分方程式，无法求解，因此必须找出其他的补充关系式。,三、广义的牛顿内摩擦定律牛顿内摩擦定律中切应力 流体微团运动时的角变形速度与纯剪切变形速度的关系为从而有,因此，切应力与剪切变形速度的关系式写作,粘性流体运动时发生线变形，同一空间点不同方向上的法向应力的大小不同，即 pxxpyypzz在实际问题中，同一点法向应力的各向差异并不很大，可以取3个方向上法向应力的平均值，即平均压强,压强p为正值，而当以作用面的外法线方向为正向时，正应力为负值,粘性流体各个方向的法向应力可以等于平均压强加上一个附加法向应力，即,附加法向应力可认为是由于流体微团的线变形运动产生的，按照类似切应力与剪切变形速度的关系
5、式，有附加法向应力与线变形速度的关系式：,因此，法向应力与线变形速度的关系式为：,不可压缩均质流体的连续性方程为,将上面3个式子相加后，取平均，得,因此,法向应力与线变形速度、切应力与剪切变形速度的关系式称为广义的牛顿内摩擦定律：,四、纳维-斯托克斯方程,在x轴方向上,代入,得到,不可压缩均质实际流体的连续性方程为:,引入拉普拉斯算符,得到,同理，可以推导出y、z方向上的运动方程。,上式即为不可压缩均质粘性流体的运动微分方程，即纳维斯托克斯方程，简称N-S方程。N-S方程是不可压缩均质流体的普遍方程。,N-S方程中未知量有p、vx、vy、vz四个，加上连续性方程共有四个方程式，从理论上讲，任何
6、不可压缩均质流体的N-S方程，在一定的初始和边界条件下，是可以求解的。但是，N-S方程是二阶非线性偏微分方程组，只有在某些简单的或特殊的情况下，才能求得精确解。,N-S方程的矢量形式为,单位质量流体的粘性力,简单边界条件下的N-S方程的精确解,一、平行平板间的定常层流,流动特点：,（1）vy=0,vz=0,vx=vx(y),平板很大,（2）p=p(x),简化后的N-S方程为：,1.平板静止（库埃特流动）,积分后得到,代入边界条件：,vx(0)=vx(h)=0,有,因此，速度分布式为,2.上板以速度v向x轴的正向移动，下板静止，且无压强梯度,vx(0)=0，vx(h)=v,速度分布式为,dp/dx=0,3.上板以速度v向x轴的正向移动，下板静止，存在压强梯度,vx(0)=0，vx(h)=v,速度分布式为,二、圆管中的定常层流,流动特点：,(1)vr=0，v=0,vz=vz(r),(2)p=p(z),简化后的N-S方程为：,积分,代入边界条件,三、旋转同心圆管间的粘性流动,流动特点：,vz=0，vr=0，v=v(r),(2)p=p(r),简化后的N-S方程为：,积分,代入边界条件,
