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1、5 向量空间,封闭的概念,定义：所谓封闭，是指集合中任意两个元素作某一运算得到的结果仍属于该集合例：试讨论下列数集对四则运算是否封闭？整数集 Z有理数集 Q实数集 R,向量空间的概念,定义：设 V 是 n 维向量的集合，如果 集合 V 非空，集合 V 对于向量的加法和乘数两种运算封闭，具体地说，就是：若 a V，b V，则a+b V（对加法封闭）若 a V，l R，则 l a V（对乘数封闭）那么就称集合 V 为向量空间,例：下列哪些向量组构成向量空间？n 维向量的全体Rn集合 V1=(0,x2,xn)T|x2,xnR 集合 V2=(1,x2,xn)T|x2,xnR 齐次线性方程组的解集 S1
2、=x|Ax=0 非齐次线性方程组的解集 S2=x|Ax=b 解：集合 Rn，V1，S1 是向量空间，集合 V2，S2 不是向量空间定义：齐次线性方程组的解集称为齐次线性方程组的解空间.,例：设 a,b 为两个已知的 n 维向量，集合L=l a+m b|l,m R 是一个向量空间吗？解：设 x1,x2 L，kR，因为x1+x2=(l1a+m1b)+(l2a+m2b)=(l1+l2)a+(m1+m2)b Lk x1=k(l1a+m1b)=(kl1)a+(km1)b L 所以，L 是一个向量空间,定义：把集合L=l a+m b|l,m R 称为由向量 a,b 所生成的向量空间一般地，把集合 L=l1
3、a1+l2a2+lmam|l1,l2,.,lm R 称为由向量a1,a2,.,am 所生成的向量空间例：设向量组a1,a2,.,am 和 b1,b2,.,bs 等价，记L1=l1a1+l2a2+lmam|l1,l2,.,lmR，L2=m1b1+m2b2+ms bs|m1,m2,.,msR，试证 L1=L2 结论：等价的向量组所生成的空间相等,a,l a,L=l a|lR,L=l a+m b|l,mR,a,b,c,L=l a+m b+g c|l,m,g R,l a,m b,g c,a,b,l a,m b,a1,a2,L1=l1a1+l2a2|l1,l2R L2=m1b1+m2b2|m1,m2R
4、则 L1=L2L3=m1b1+m2b2+m3b3|m1,m2,m3R 问题：L1=L2=L3?,b1,b2,b3,返回,子空间的概念,定义：如果向量空间 V 的非空子集合 V1 对于 V 中所定义的加法及乘数两种运算是封闭的，则称 V1 是 V 的子空间 例：n 维向量的全体Rn集合 V1=(0,x2,xn)T|x2,xnR 集合 V2=(1,x2,xn)T|x2,xnR 解：V1 是 Rn 的子空间，V2 不是 Rn 的子空间,向量空间的基的概念,定义：设有向量空间 V，如果在 V 中能选出 r 个向量a1,a2,ar，满足 a1,a2,ar 线性无关；V 中任意一个向量都能由 a1,a2,
5、ar 线性表示；那么称向量组 a1,a2,ar 是向量空间 V 的一个基r 称为向量空间 V 的维数，并称 V 为 r 维向量空间,向量空间向量空间的基向量空间的维数,向量组向量组的最大无关组向量组的秩,n 维向量的全体 Rn解：En 的列向量组是 Rn 的一个基，故Rn 的维数等于 n.集合 V1=(0,x2,xn)T|x2,xnR 解：En 的后 n1个列向量是V1 的一个基，故 V1 的维数等于 n1 n 元齐次线性方程组的解集 S1=x|Ax=0 解：齐次线性方程组的基础解系是 S1 的一个基，故 S1 的维数等于 nR(A),n 维向量的全体 Rn解：En 的列向量组是 Rn 的一个
6、基，故Rn 的维数等于 n.集合 V1=(0,x2,xn)T|x2,xnR 解：En 的后 n1个列向量是V1 的一个基，故 V1 的维数等于 n1 结论：若V1 是V 的子空间，则V1 的维数不超过V 的维数 n 元齐次线性方程组的解集 S1=x|Ax=0 解：齐次线性方程组的基础解系是 S1 的一个基，故 S1 的维数等于 nR(A),由a1,a2,.,am 所生成的向量空间L=l1a1+l2a2+lmam|l1,l2,.,lmR 若 a1,a2,.,am 线性无关，则 a1,a2,.,am 是向量空间 L 的一个基若 a1,a2,.,am 线性相关，则 向量组 A：a1,a2,.,am
7、等价于向量组 A 的最大无关组 A0：a1,a2,.,ar 从而 L=L1=l1a1+l2a2+lr ar|l1,l2,.,lrR 故向量组 A0 就是 L 的一个基，A0中向量的个数就是 L 的维数.,由a1,a2,.,am 所生成的向量空间L=l1a1+l2a2+lmam|l1,l2,.,lmR 解：L=l1a1+l2a2+lmam|l1,l2,.,lmR 向量组 A：a1,a2,.,am 等价于向量组 A 的最大无关组 A0：a1,a2,.,ar 故向量组 A0 就是 L 的一个基，A0中向量的个数就是 L 的维数.一般来说，若 a1,a2,.,am V，则 L 是 V 的子空间若向量组
8、 a1,a2,.,am 是向量空间V 的一个基，那么V=l1a1+l2a2+lmam|l1,l2,.,lmR,L=l1a1+l2a2+l3a3|l1,l2,l3R 向量组 a1,a2,a3 等价于相应的最大无关组 a1,a2所以 L=m1a1+m2a2|m1,m2 R 从而 a1,a2 就是 L 的一个基，L 的维数等于2,a3,a1,a2,结论：等价的向量组所生成的空间相等,定义：如果在向量空间 V 中取定一个基 a1,a2,.,ar，那么V中任意一个向量可唯一表示为x=l1a1+l2a2+lrar数组 l1,l2,.,lr 称为向量 x 在基 a1,a2,.,ar 中的坐标,例：的列向量组
9、是 R3 的一个基，,那么,b 在基 e1,e2,e3 中的坐标,n 阶单位矩阵 En 的列向量叫做 n 维单位坐标向量n 阶单位矩阵 En 的列向量组称为 Rn 的自然基,上三角形矩阵 的列向量组也是 R3 的一个基，那么,结论：同一个向量在不同基中的坐标是不同的,例：设验证a1,a2,a3 是R3 的一个基，并求 b1,b2 在这个基中的坐标.,分析：a1,a2,a3 是 R3 的一个基 R(a1,a2,a3)=3b1,b2 在这个基中的坐标 用 a1,a2,a3 表示 b1,b2当 时，A 的列向量组与B 的列向量组有相同的线性关系（P.93 例11）为此，考虑把(A,B)=(a1,a2,a3,b1,b2)化为行最简形矩阵,解：,于是,例：设验证a1,a2,a3 是R3 的一个基，并求 b1,b2 在这个基中的坐标.,例：在 R3中取定一个基 a1,a2,a3，再取一个新基 b1,b2,b3，设 A=(a1,a2,a3)，B=(b1,b2,b3)求用a1,a2,a3 表示 b1,b2,b3 的表示式（基变换公式）；求向量在两个基中的坐标之间的关系式（坐标变换公式）.,分析：求解矩阵方程 AX=B设 xR3，且，求解矩阵方程,
