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1、二元函数的极限,第一节,第八章,和连续性,一、多元函数的极限,二、多元函数的连续性,1、一元函数极限的定义，记号,复习:,2、一元函数连续的定义,一、二元函数的极限,定义.设函数,时,相应的函数值无限趋于一个确定的常数A,当,记作：,的某空心邻域,内有定义,如果点,以任何方式无限趋于点,机动 目录 上页 下页 返回 结束,在点P0,P0,则称 A 为,函数,时的极限.,（1）,的路径是任意的；,（2）,上面介绍的极限也称为二重极限；,（3）一元函数的极限性质在这里亦成立,注意：,（4）用极限定义计算多元函数的极限及证,明极限的存在比较麻烦，不作要求。,若当点,趋于不同值或有的极限不存在，,解:
2、设 P(x,y)沿直线 y=k x 趋于点(0,0),在点(0,0)的极限.,则可以断定函数极限,则有,k 值不同极限不同!,在(0,0)点极限不存在.,以不同方式趋于,不存在.,例1.讨论函数,函数,机动 目录 上页 下页 返回 结束,仅知其中一个存在,推不出其它二者存在.,二重极限,不同.,如果它们都存在,则三者相等.,例如,显然,与累次极限,但由例3 知它在(0,0)点二重极限不存在.,例3 目录 上页 下页 返回 结束,二、二元函数的连续性,定义.设二元函数,如果函数在定义域 D 上各点处都连续,则称此函数在,如果,否则称为不连续,称为间断点.,元函数,机动 目录 上页 下页 返回 结
3、束,D上连续.,处连续,在点P0,邻域内有定义,且,的某,存在,则称二,在点P0,例如,函数,在点(0,0)极限不存在,又如,函数,上间断.,故(0,0)为其间断点.,在圆周,机动 目录 上页 下页 返回 结束,结论:一切多元初等函数在定义区域内连续.,定理：（1）若 f(x,y)在有界闭域 D 上连续,则该函,机动 目录 上页 下页 返回 结束,在 D 上可取得最大值 M 及最小值 m;,(3)对任意,(有界性定理),(最值定理),(介值定理),闭域上多元连续函数有与一元函数类似的如下性质:,(证明略),数是有界函数。,解:原式,例2.求,例3.求函数,的连续域.,解:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,1.多元函数的极限,2.多元函数的连续性,1)函数,2)闭域上的多元连续函数的性质:,有界定理;,最值定理;,介值定理,3)一切多元初等函数在定义区域内连续,机动 目录 上页 下页 返回 结束,内容小结,课外作业：,P165.3,1.证明,在全平面连续.,证:,为初等函数,故连续.,又,故函数在全平面连续.,由夹逼准则得,机动 目录 上页 下页 返回 结束,备用题：,
