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1、抛物线的切线与阿基米德三角形及其考察的2个视角文/刘蒋巍一.什么是“阿基米德三角形”？抛物线的弦与过弦的端点的两条切线所围的三角形被称为阿基米德三角形.二.抛物线切线方程及阿基米德三角形的性质1 .过抛物线上的一点作切线：(1)过抛物线y2=2px上一点MaO,yo)的切线方程为yoy=(x+xo);(2)过抛物线V=-2px上一点Ma,网)的切线方程为yoy=(x+xo)；(3)过抛物线x2=2py上一点M(XO,yo)的切线方程为如r=p(y+yo);(4)过抛物线a2=-2py上一点M(X,yo)的切线方程为Xar=-P(y+yo).2 .如图，已知。是抛物线f=2p，准线上任意一点，过
2、0作抛物线的切线QAtQB分别交抛物线于A,8两点，Ma,)为AB的中点，则：(1)若48过焦点F,则AB的端点的两条切线的交点。在其准线上;(2)阿基米德三角形底边上的中线平行于坐标轴，即XQ=XM；3 3)AB过抛物线的焦点F；4 4)AQ1BQ；(5)阿基米德三角形面积的最小值为p2.三.考察的2个视角视角1：过弦的端点分别作切线问题例1(2022.唐山三模)在平面直角坐标系XOy中，动圆M与圆N：f+(y-g2=相内切，且与直线=-1相切，记动圆圆心M的轨迹为曲线C(1)求曲线C的方程;【解答】设动圆圆心M(%,y),半径为r,由题意知IMNI=r5,r=y+l,于是得Jf+(y_；=
3、y+去化简得f=2y,所以曲线C的方程为f=2y(2)过点E(U)的直线/与曲线C交于A,B两点，分别以A,8为切点作曲线C的切线/1，12,直线(，/2交于点P.若(油+油)=0,求直线/的方程.【解答】由题意知，直线/的斜率存在，设/的方程为y=+l,A(汨，5彳),b(x2,由卜二2，消去y并整理得X22一2=0,4=4d+8X),且l7ly=o+1,x+x2=2k,XlX2=2.直线的斜率存在，设直线/1的方程为y一1=用(1一X),y-x=m-r由2消去y并整理得1-2twc+2tnxa=0,则d=4n2-2=2y,4（2ai一）=0,解得机=x,切线/i的方程为y=xix%彳，同理
4、可得，切线b1y=x-x,L 2的方程为y=X2-y由J1解得ry=X2X-2iy人I人2U- 2 ,为隹鸟明贝IJAS =（12 即，蕾 2t, #一1 9Xl+X2XlX1X2Xl-2即点P的坐标,P =里尹，X牢JVl)因为(A+).防=0,所以劝.闻+#.闻=0,即用江+X2X+X2X2一婷 也一短4十一4-_2xixxr=0f化简得3+级的+后=0,因此，谖=1,于是得点5(1,或从一1,0,直线/的斜率&=a所以直线/的方程为x2y+2=0或x+2y2=0.变式已知抛物线x2=4y的焦点为F,Af8是抛物线上的两动点，AB所在直线经过抛物线的焦点R过A,5两点分别作抛物线的切线，设
5、其交点为M.求证：命A为定值.【解答】由题意，设直线AB的方程为y=日+1,代入x2=4y,得f一4依一4=0.设4(x,V)，8(x2，丁2)，则力=163+160,汨+及=必，汨也=4,又yf=2f所以切线的方程分别为MA：y=y-,MB：y=yx-从而4溟，一J所以kFM=故kFMk=-2,xix2=-1，即而，屈,k2)X十X2K+X242_2所以能劝=0,为定值.视角2：定直线上的点引两条切线问题例2如图，设抛物线的方程为f=2Py(P0),M为直线y=-2p上任意一点，过点M引抛物线的切线，切点分别为A,B.(例2)(1)求证：A,B,M三点的横坐标成等差数列;【解答】x0,O2因
6、此加+x2=4,MX2=-42.又心8=女#=r&=T=W故由弦长公式得以用X2-Xi乙PPP=y1+Ax+x22-4xX2=/1+-T16+16p2.XAB=4T所以P=I或P=2,因此所求抛物线的方程为f=2y或f=4y.变式已知抛物线D：x2=4yf过X轴上一点反不同于原点)的直线/与抛物线。交于两点A(x,y)fB(X2,”)，与y轴交于点C(1)若成=九或，Eh=Et,求力女的值；【解答】设E(O)(O),C(0,m)，因为或=九比，E=HEt,所以即r，y=-t,Xi-1, yz=22-r,设直线/的斜率为匕则方程为y=k(x-t)1 联立,y=kx-t, y=4y,得 f4Ax+4K=0, 4=16炉一16内0,且 x +x=4k, XiXi=W,所以2也=r2-Xl +%2X1X2 尸一4+4h(2)若风4,0),过A,8分别作抛物线。的切线，两切线交于点M,证明：点M在定直线上，并求此定直线的方程.【解答】设M(X,y),由f=4)，可得)，=。，故尸5所以抛物线在G,方处的切线方程为y-j=y(-),即y=卦W.同理可得抛物线在电2,同处因为 E(4,0),的切线方程为y=zL*联立即f=4,由可得x+%2=4怎XbM=I6怎所以x=2k,即y=2x,所以点M(x,y)在直线y=2x上.
