《二叉树的一个重要应用最优树问题.ppt》由会员分享，可在线阅读，更多相关《二叉树的一个重要应用最优树问题.ppt（28页珍藏版）》请在三一办公上搜索。
1、二叉树的一个重要应用最优树问题,给定一组权w1,w2,wt,不妨设w1w2wt。设有一棵二叉树，共有t片树叶，分别带权w1,w2,wt,该二叉树称为带权二叉树。,定义1 在带权二叉树中，若带权为wi的树叶，其通路长度为L(wi)，我们把w(T)=wiL(wi)称为该带权二叉树的权。在所有带权w1,w2,wt的二叉树中，w(T)最小的那棵树，称为最优树。,t,i=1,定理3 设T为带权w1w2wt的最优树，则 a）带权w1,w2,wt的树叶vw1,vw2是兄弟。b）以树叶vw1,vw2为儿子的分枝点，其通路长度最长。,定理4 设T为带权w1w2wt的最优树，若将以带权w1和w2的树叶为儿子的分枝
2、点改为带权w1+w2的树叶，得到一棵新树T，则T也是最优树。,代之以,w1+w2,w2,w1,例1：设有一组权 2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41。求相应的最优树。,二叉树的另一个应用前缀码问题,定义2 给定一个序列的集合，若没有一个序列是另一个序列的前缀，该序列集合称为前缀码。,例如：000，001，01，10，11是前缀码，而1，0001，000就不是前缀码。,定理5 任意一棵二叉树的树叶可对应一个前缀码。,证明 给定一棵二叉树，从每一个分枝点引出两条边，对左侧边标以0，对右侧边标以1，则每片树叶将可标定一个0和1的序列，它是由树根到这片树叶的通路上各边标
3、号所组成的序列，,显然，没有一片树叶的标定序列是另一片树叶标定序列的前缀，因此，任何一棵二叉树的树叶可对应一个前缀码。,定理6 任何一个前缀码都对应一棵二叉树。,证明 设给定一个前缀码，h表示前缀码中最长序列的长度。我们画出一棵高度为h的正则二叉树，并给每一分枝点射出的两条边标以0和1，,这样，每个结点可以标定一个二进制序列，它是由树根到该结点通路上各边的标号所确定，因此，对于长度不超过h的每一二进制序列必对应一个结点。,对应于前缀码中的每一序列的结点，给予一个标记，并将标记结点的所有后裔和射出的边全部删去，这样得到一棵二叉树，再删去其中未加标记的树叶，得到一棵新的二叉树，它的树叶就对应给定的
4、前缀码。,图（b）中所对应的前缀码00，001，01，1。设有二进制序列可译为000，1，001，1，01，1，1，01，001。,。我们知道，在远距离通讯中，常常用0和 1的字符串作为英文字母的传送信息，因为英文字母共有26个，故如用不等长的H进制序列表示 26个英文字母时，由于长度为 1的序列有 2个，长度为2的H进制序列有 2个，长度为 3的有 2个，依此类推，我们有 22，226 ZI12P26，474因此，用长度不超过四的二进制序列就可表达26个不同英文字母。但是由于字母使用的频繁程度不同，为了减少信息量，人们希望用较短的序列去表示频繁使用的字母。当使用不同长度的序列表示字母时，我们
5、要考虑的另一个问题是如何对接收到的字符串进行详码？,回 四 例如图788给出了与前缀码忏叭001，01，万对应的完全二叉树，其中图k）是高度为3的正则二叉树，对应前缀码中序列的结点用方框标记，图（的是经删剪后得到的对应三叉树。通过前缀码和二叉树的对应关系，我们可知，如果给定前缀码对应的二叉树是完全二叉树，则此前缀码可进行译码。例如，可对任意二进制序列进行译码。如果被译的信息最后部分不能成为前缀码中的序列，可约定添加0或1，直至能够译出为止,证明设在带权W，创b，。的最优树中，0是通路长度最长的分校点，用的儿子分别带权Wi和。0，故有 LtheDeL（Wi L（叫L（W）若L枷JLJ，将叩与一对
6、调，得到新材T。则。许一叫n一（LedW十Ltw叨J 一（L（叫W十L（W卜W）一L0wih一。干L（。1）tw一心 一（w一w）（L（W）一 L（w）0即。叨）。w，与T是最优树的假定矛盾。故工ho一L（心。同理可证LboL（W）。因此 Ltw）一石功一LedL。）分别将o七，。与o七，。对调得到一棵最优树，其中带权创h和以。的树叶是兄弟。回 证明根据题设，有 一。（万一。W卜。1W。若T不是最优树，则必有另一棵带权地十。，。a，。；的最优树P。对y中带权地十创会的树叶。生成两个儿子，得到新树分，则一。（f一叫p）。l十一。因为T”是带权。1Wb，W，。t的最优树，故 ho（”）。（T。如果
7、。W）。仔，则。曲。侧，与Y是带权。，。最优树的假设矛盾，因此”、“。卜。们，er是带权Ww，w，W的最优树。回 根据上述两条定理，要画一棵带有：个权的最优裕，可简化为画一棵带有t一1个权的最优树，而这又可简化为画一棵带有t一2个权的最优树，依此类推。具体做法是：首先找出两个最小的。值以刀地和地，然后对卜1个权地十w，w。wb作一担全优树，并且将这棵最优树中的结点K刁代之m八依此类推。,M首先组合 2十已并寻找5、5、7、11、Af的MMforsg65依！k来推。边人二，。u。，H。D 8 3 57 M 1317 19 23 29 31 37 41 5 5 711 18 17 19 23 29 31 37 41 10 7 11 13 17 192329 31 37 Af 17 11 18 17 19 23 29 31 37 41 17 24 17 19 23 29 31 87 41 24 34 19 op 29 31 37 41 M 34 42 W 31 37 41 M 42 53 at 37 41 425365gr41 We cd 6578 95 78 951M 238 它对应的历优树如自7ed7所示。,
