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1、第三章 图像变换,3.1 概述3.2 傅立叶变换和性质3.3 其他可分离变换3.4 霍特林变换,3.1 概述,为了有效和快速地对图像进行处理和分析常常需要将原定义在图像空间的图像以某种形式转换到另外一些空间，并利用在这些空间的特有性质方便地进行一定的加工，最后再转换回图像空间以得到所需要的效果。,3.1 概述,一、图像变换的引入 1.方法：对图像信息进行变换，使能量保持但重新分配。2.目的：有利于加工、处理（滤除不必要信息(如噪声)，加强/提取感兴趣的部分或特征）。,3.1 概述,二、方法分类 可分离、正交变换:2D-DFT,2D-DCT,2D-DHT，2D-DWT。,3.1 概述,三、用途
2、1提取图像特征（如）：（1）直流分量；（2）目标物边缘：F（u,v）高频分量。2图像压缩：正交变换能量集中，对集中（小）部分进行编码。3图像增强：低通滤波，平滑噪声；高通滤 波，锐化边缘,3.2 傅立叶变换和性质,f(x)为连续可积函数，其傅立叶变换定义为：,其反变换为：,1、一维傅立叶变换,3.2 傅立叶变换和性质,幅度谱：相位谱：,其中:F(u)=R(u)+jI(u),一维离散傅立叶变换(DFT),一维离散傅立叶变换公式为：,逆变换为：,二维傅立叶变换,二维傅立叶变换由一维傅立叶变换推广而来：,逆变换：,二维傅立叶变换,其中:F(u,v)=R(u,v)+jI(u,v),幅度谱：相位谱：,二
3、维离散傅立叶变换,对于二维傅立叶变换，其离散形式为：,逆变换为：,幅谱(频谱)、相谱：,频率域 幅值与频率,空间域 灰度,傅立叶变换举例,二维离散傅立叶变换的性质,1.线性性质：,2.比例性质：,3.可分离性：,可分离性,二维离散傅立叶变换 DFT 可分离性的基本思想是：二维 DFT 可分离为两次一维 DFT 应用：二维快速傅立叶算法 FFT，是通过计算两次一维FFT 实现的,可分离性,傅立变换的可分离性质先进行列变换，然后进行行变换。,可分离性,可分离性,4.空间位移：,5.频率位移：,图像中心化：,当u0=v0=N/2时，,二维离散傅立叶变换的性质,频率位移,即将f（x,y）之图像频谱（图
4、像能量集中在低频的 4 个角，见下图(a)）从原点（0，0）移到中心（N/2,N/2），得到一个完整的频谱，称为频谱中心化(见下图(b),6.周期性：F(u,v)=F(u+aN,v+bN),f(x,y)=f(x+aN,y+bN),7.共轭对称性：,8.旋转不变性：,9.平均值：,10.卷积定理：f(x,y)*h(x,y)F(u,v)H(u,v)f(x,y)h(x,y)F(u,v)*H(u,v),11.帕塞瓦定理（能量定理）：,若f1(x,y)=f2(x,y)=f(x,y)，则有：,频率位移性质,当图像在频率域时移动时需要用到频率位移性质：,图像中心化,把图像进行傅立叶变换后，往往要把中心移到u
5、0=v0=N/2的位置上,平均值,平均值定义：,由傅立叶变换定义：,因此，f(x,y)的平均值与傅立叶变换系数的关系为：,2D-FFT,2D-DFT可由连续2次的1D-DFT实现,对1D-DFT研究其快速算法即1D-FFT就可得到2D-FFT.,3.3 其他可分离变换,1、可分离变换：,1-D可分离变换的一般形式可用下式表示：,其中T(u)为f(x)的变换，g(x,u)称为正向变换核。同理，反变换可表示为：,其中h(x,u)称为反向变换核。,3.3 其他可分离变换,对2-D的情况，正变换和反变换可分别表示为：,同样，g(x,y,u,v)和h(x,y,u,v)分别称为正向变换核和反向变换核。,3
6、.3 其他可分离变换,如果下式成立：,则称变换核是可分离的。进一步如果g1与g2的函数形式一样，则称变换核是对称的。此时有：,3.3 其他可分离变换,具有可分离变换核的2-D变换都可分成2个步骤计算，每个步骤用1个1-D变换。首先沿f(x,y)的每1列进行1-D变换得到：,然后沿T(x,v)的每1行进行1-D变换得到：,3.3 其他可分离变换,2、沃尔什变换,沃尔什（Walsh）变换是一种可分离变换。当 时，变换核为：,3.3 其他可分离变换,离散沃尔什变换W(u)为：,是z的二进制表达中的第k位。例如n=3，则对z=6（1102），有b0(z)=0，b1(z)=1，b2(z)=1。,3.3
7、其他可分离变换,例 沃尔什变换核的值下表给出N=8时1-D的沃尔什变换核的值,3.3 其他可分离变换,由沃尔什变换核组成的矩阵是一个对称矩阵并且其行和列正交（即各行向量与各列向量的内积为0，互相独立）。这些性质表明反变换核与正变换核只差1个常数1/N，即：,所以离散沃尔什反变换为：,3.3 其他可分离变换,2-D的沃尔什正变换核和反变换核由以下2式给出：,这2个核完全相同，所以下面2式给出的2-D沃尔什正变换和反变换也具有相同形式：,3.3 其他可分离变换,沃尔什变换可用类似于FFT的算法快速地计算，快速沃尔什变换简写为FWT。,3.3 其他可分离变换,正向变换核和反向变换核均只依赖于x,y,
8、u,v而与f(x,y)或F(u,v)的值无关。这些核可看作1组基本函数，一旦图像尺寸确定这些函数也完全确定。书中图3.4.1给出N=4时沃尔什基本函数的图示，其中白色表示1，而阴影表示 1。每个大方块对应固定的u和v，内部小方块对应的x和y从0变到3。,3.3 其他可分离变换,3、哈达玛变换,哈达玛（Hadamard）变换也是一种可分离变换。2-D的哈达玛正变换核和反变换核由以下2式给出：,其中指数上的求和是以2为模的。,3.3 其他可分离变换,二维哈达玛变换的变换公式如下：,3.3 其他可分离变换,4、离散余弦变换,2-D离散余弦变换（DCT）和其反变换由以下2式定义：,其中a(u)由下式定
9、义：,3.3 其他可分离变换,2-D DCT的正变换核表达式为：,DCT的变换核具有可分离性和对称性，即,3.4 霍特林变换,霍特林变换,霍特林变换在连续域对应的变换是KL变换，霍特林（Hotelling）变换也常称为特征值变换、主分量变换或离散KL变换，它基于图像的统计特性。,设从同一个随机母体得到了M个矢量采样，则其均值矢量和协方差矩阵可分别由以下2式利用采样来近似：,3.4 霍特林变换,例：协方差矩阵计算,协方差矩阵为,设有1组随机矢量x=x1 x2 x3T，其中x1=0 0 1T，x2=0 1 0T，x3=1 0 0T，均值矢量为：,3.4 霍特林变换,现令 和 li(i=1,2,N)
10、分别为Cx的特征矢量和对应的特征值，并且这些特征值单调排列，即 li li+1(i=1,2,N 1)。再令A为由Cx的特征矢量组成其各行的矩阵，并且A的第1行为对应最大特征值的特征矢量，A的最后1行为对应最小特征值的特征矢量。如果设A是将x转换为y的变换矩阵，则：,上式就称为霍特林变换。,由这个变换得到的y矢量均值为0,3.4 霍特林变换,Y矢量的协方差矩阵可由A和 得到,它的主对角线以外的元素值均为0,3.4 霍特林变换,由于A的各行都是正交归一化矢量，即,我们由此可实现图像的最佳压缩。,Fourier 变换示意图,Fourier变换的频率特性,Fourier变换的低通滤波,Fourier变换的高通滤波,基于Fourier变换的压缩,另一幅图像效果,压缩率为：1.7：1,压缩率为：2.24：1,压缩率为：3.3：1,
