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1、常微分方程,偏微分方程,含未知函数及其导数的方程叫做微分方程.,方程中所含未知函数导数的最高阶数叫做微分方程,(本章内容),(n 阶显式微分方程),微分方程的基本概念,一般地,n 阶常微分方程的形式是,的阶.,分类,或,机动 目录 上页 下页 返回 结束,使方程成为恒等式的函数.,通解,解中所含独立的任意常数的个数与方程,确定通解中任意常数的条件.,n 阶方程的初始条件(或初值条件):,的阶数相同.,特解,通解:,特解:,微分方程的解,不含任意常数的解,定解条件,其图形称为积分曲线.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,定义3,2.微分方程的解（几何意义）：,转化,可分离变量微分方程,机动 目
2、录 上页 下页 返回 结束,第二节,解分离变量方程,可分离变量方程,第七章,分离变量方程的解法:,设 y(x)是方程的解,两边积分,得,则有恒等式,当G(y)与F(x)可微且 G(y)g(y)0 时,说明由确定的隐函数 y(x)是的解.,则有,称为方程的隐式通解,或通积分.,同样,当F(x),=f(x)0 时,上述过程可逆,由确定的隐函数 x(y)也是的解.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,形如,的方程叫做齐次方程.,令,代入原方程得,两边积分,得,积分后再用,代替 u,便得原方程的通解.,解法:,分离变量:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第三节 齐次方程,内容小结,1.微分方程的概
3、念,微分方程;,定解条件;,2.可分离变量方程的求解方法:,说明:通解不一定是方程的全部解.,有解,后者是通解,但不包含前一个解.,例如,方程,分离变量后积分;,根据定解条件定常数.,解;,阶;,通解;,特解,y=x 及 y=C,机动 目录 上页 下页 返回 结束,3.齐次方程的求解方法:,令,找出事物的共性及可贯穿于全过程的规律列方程.,常用的方法:,1)根据几何关系列方程(如:P263,5(2),2)根据物理规律列方程(如:例4,例 5),3)根据微量分析平衡关系列方程(如:例6),(2)利用反映事物个性的特殊状态确定定解条件.,(3)求通解,并根据定解条件确定特解.,3.解微分方程应用题
4、的方法和步骤,机动 目录 上页 下页 返回 结束,一、一阶线性微分方程,一阶线性微分方程标准形式:,若 Q(x)0,称为非齐次方程.,1.解齐次方程,分离变量,两边积分得,故通解为,称为齐次方程;,机动 目录 上页 下页 返回 结束,对应齐次方程通解,齐次方程通解,非齐次方程特解,2.解非齐次方程,用常数变易法:,则,故原方程的通解,即,即,作变换,两端积分得,机动 目录 上页 下页 返回 结束,该定理易让我们想起线性代数中的一阶非齐次线性方程组的解的结构定理。,二、伯努利(Bernoulli)方程,伯努利方程的标准形式:,令,求出此方程通解后,除方程两边,得,换回原变量即得伯努利方程的通解.
5、,解法:,(线性方程),伯努利 目录 上页 下页 返回 结束,内容小结,1.一阶线性方程,方法1 先解齐次方程,再用常数变易法.,方法2 用通解公式,化为线性方程求解.,2.伯努利方程,机动 目录 上页 下页 返回 结束,思考与练习,判别下列方程类型:,提示:,可分离 变量方程,齐次方程,线性方程,线性方程,伯努利方程,机动 目录 上页 下页 返回 结束,可降阶高阶微分方程,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第五节,一、型的微分方程,二、型的微分方程,三、型的微分方程,第七章,解法：降阶,一、,令,因此,即,同理可得,依次通过 n 次积分,可得含 n 个任意常数的通解.,型的微分方程,机动
6、目录 上页 下页 返回 结束,既不含未知函数y,也不含未知函数的导数,解法:连续积分n次，便得通解。,型的微分方程,设,原方程化为一阶方程,设其通解为,则得,再一次积分,得原方程的通解,二、,机动 目录 上页 下页 返回 结束,即含自变量x,不含未知函数y,三、,型的微分方程,令,故方程化为,设其通解为,即得,分离变量后积分,得原方程的通解,机动 目录 上页 下页 返回 结束,即含有未知函数y,不含自变量x,内容小结,可降阶微分方程的解法,降阶法,逐次积分,令,令,机动 目录 上页 下页 返回 结束,思考与练习,1.方程,如何代换求解?,答:令,或,一般说,用前者方便些.,均可.,有时用后者方
7、便.,例如,2.解二阶可降阶微分方程初值问题需注意哪些问题?,答:(1)一般情况,边解边定常数计算简便.,(2)遇到开平方时,要根据题意确定正负号.,例6,例7,机动 目录 上页 下页 返回 结束,n 阶线性微分方程的一般形式为,方程的共性,为二阶线性微分方程.,例1,例2,可归结为同一形式:,时,称为非齐次方程;,时,称为齐次方程.,复习:一阶线性方程,通解:,非齐次方程特解,齐次方程通解Y,机动 目录 上页 下页 返回 结束,证毕,二、线性齐次方程解的结构,是二阶线性齐次方程,的两个解,也是该方程的解.,证:,代入方程左边,得,(叠加原理),定理1.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,是
8、不是所给二阶方程的通解？,问题：,说明:,不一定是所给二阶方程的通解.,例如,是某二阶齐次方程的解,也是齐次方程的解,并不是通解！,但是,则,为解决通解的判别问题,下面引入函数的线性相关与,线性无关概念.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,定义:,是定义在区间 I 上的,n 个函数,使得,则称这 n个函数在 I 上线性相关,否则称为线性无关.,例如，,在(,)上都有,故它们在任何区间 I 上都线性相关;,又如，,若在某区间 I 上,则根据二次多项式至多只有两个零点,必需全为 0,可见,在任何区间 I 上都 线性无关.,若存在不全为 0 的常数,机动 目录 上页 下页 返回 结束,两个函数在区
9、间 I 上线性相关与线性无关的充要条件:,线性相关,存在不全为 0 的,使,线性无关,常数,思考:,中有一个恒为 0,则,必线性,相关,(证明略),线性无关,机动 目录 上页 下页 返回 结束,定理 2.,是二阶线性齐次方程的两个线,性无关特解,则,数)是该方程的通解.,例如,方程,有特解,且,常数,故方程的通解为,(自证),推论.,是 n 阶齐次方程,的 n 个线性无关解,则方程的通解为,机动 目录 上页 下页 返回 结束,三、线性非齐次方程解的结构,是二阶非齐次方程,的一个特解,Y(x)是相应齐次方程的通解,定理 3.,则,是非齐次方程的通解.,证:将,代入方程左端,得,复习 目录 上页
10、下页 返回 结束,是非齐次方程的解,又Y 中含有,两个独立任意常数,例如,方程,有特解,对应齐次方程,有通解,因此该方程的通解为,证毕,因而 也是通解.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,定理 4.,分别是方程,的特解,是方程,的特解.(非齐次方程之解的叠加原理),定理3,定理4 均可推广到 n 阶线性非齐次方程.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,定理 5.,是对应齐次方程的 n 个线性,无关特解,给定 n 阶非齐次线性方程,是非齐次方程的特解,则非齐次方程,的通解为,齐次方程通解,非齐次方程特解,机动 目录 上页 下页 返回 结束,*四、常数变易法,复习:,常数变易法:,对应齐次方程的
11、通解:,设非齐次方程的解为,代入原方程确定,对二阶非齐次方程,情形1.已知对应齐次方程通解:,设的解为,由于有两个待定函数,所以要建立两个方程:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,令,于是,将以上结果代入方程:,得,故,的系数行列式,P10 目录 上页 下页 返回 结束,积分得:,代入 即得非齐次方程的通解:,于是得,说明:,将的解设为,只有一个必须满足的条件即方程,因此必需再附加一,个条件,方程的引入是为了简化计算.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,情形2.,仅知的齐次方程的一个非零特解,代入 化简得,设其通解为,积分得,(一阶线性方程),由此得原方程的通解:,代入 目录 上页 下页
12、返回 结束,常系数,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第七节,齐次线性微分方程,基本思路:,求解常系数线性齐次微分方程,求特征方程(代数方程)之根,转化,第七章,二阶常系数齐次线性微分方程:,和它的导数只差常数因子,代入得,称为微分方程的特征方程,1.当,时,有两个相异实根,方程有两个线性无关的特解:,因此方程的通解为,(r 为待定常数),所以令的解为,则微分,其根称为特征根.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2.当,时,特征方程有两个相等实根,则微分方程有一个特解,设另一特解,(u(x)待定),代入方程得:,是特征方程的重根,取 u=x,则得,因此原方程的通解为,机动 目录 上页 下页
13、 返回 结束,3.当,时,特征方程有一对共轭复根,利用解的叠加原理,得原方程的线性无关特解:,因此原方程的通解为,机动 目录 上页 下页 返回 结束,这时原方程有两个复数解（欧拉公式),小结:,特征方程:,实根,以上结论可推广到高阶常系数线性微分方程.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,若特征方程含 k 重复根,若特征方程含 k 重实根 r,则其通解中必含对应项,则其通解中必含,对应项,特征方程:,推广:n阶常系数齐次线性方程,机动 目录 上页 下页 返回 结束,由于n次代数方程有n个根，而每个根对应着通解中的一项，且每一项各含一个任意常数。将上表中各对应项相加，就得到n阶微分方程的通解。,
14、小结:解法,内容小结,特征根:,(1)当,时,通解为,(2)当,时,通解为,(3)当,时,通解为,可推广到高阶常系数线性齐次方程求通解.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,思考与练习,求方程,的通解.,答案:,通解为,通解为,通解为,作业 P310 1(3),(6),(10);2(2),(3),(6);3,第九节 目录 上页 下页 返回 结束,常系数非齐次线性微分方程,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第八节,一、,二、,第七章,二阶常系数线性非齐次微分方程:,根据解的结构定理,其通解为,求特解的方法,的待定形式,代入原方程比较两端表达式以确定待定系数.,待定系数法:,机动 目录 上页 下
15、页 返回 结束,根据 f(x)的两种特殊形式,一、,为实数,设特解为,其中 为待定多项式,代入原方程,得,(1)若 不是特征方程的根,则取,从而得到特解,形式为,为 m 次多项式.,Q(x)为 m 次待定系数多项式,机动 目录 上页 下页 返回 结束,(2)若 是特征方程的单根,为m 次多项式,故特解形式为,(3)若 是特征方程的重根,是 m 次多项式,故特解形式为,小结,对方程,此结论可推广到高阶常系数线性微分方程.,即,即,当 是特征方程的 k 重根 时,可设,特解,机动 目录 上页 下页 返回 结束,简例,二、,第二步 求出如下两个方程的特解,分析思路:,第一步 将 f(x)转化为,第三
16、步 利用叠加原理求出原方程的特解,第四步 分析原方程特解的特点,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第一步,利用欧拉公式将 f(x)变形,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第二步 求如下两方程的特解,是特征方程的 k 重根(k=0,1),故,等式两边取共轭:,为方程 的特解.,设,则 有,特解:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第三步 求原方程的特解,利用第二步的结果,根据叠加原理,原方程有特解:,原方程,均为 m 次多项式.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第四步 分析,因,均为 m 次实,多项式.,本质上为实函数,机动 目录 上页 下页 返回 结束,小 结:,对非齐次方程,则可设
17、特解:,其中,为特征方程的 k 重根(k=0,1),上述结论也可推广到高阶方程的情形.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,内容小结,为特征方程的 k(0,1,2)重根,则设特解为,为特征方程的 k(0,1)重根,则设特解为,3.上述结论也可推广到高阶方程的情形.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,思考与练习,时可设特解为,时可设特解为,提示:,1.(填空)设,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2.求微分方程,的通解(其中,为实数).,解:特征方程,特征根:,对应齐次方程通解:,时,代入原方程得,故原方程通解为,时,代入原方程得,故原方程通解为,机动 目录 上页 下页 返回 结束,3.已知
18、二阶常微分方程,有特解,求微分方程的通解.,解:将特解代入方程得恒等式,比较系数得,故原方程为,对应齐次方程通解:,原方程通解为,机动 目录 上页 下页 返回 结束,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第十节,欧拉方程,欧拉方程,常系数线性微分方程,第十二章,欧拉方程的算子解法:,则,计算繁!,机动 目录 上页 下页 返回 结束,则由上述计算可知:,用归纳法可证,于是欧拉方程,转化为常系数线性方程:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,思考:如何解下述微分方程,提示:,原方程,直接令,作业 P319 2;6;8,第11节 目录 上页 下页 返回 结束,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第十一
19、节,微分方程的幂级数解法,一、一阶微分方程问题,二、二阶齐次线性微分方程问题,微分方程解法:,积分法,只能解一些特殊类型方程,幂级数法,本节介绍,数值解法,计算数学内容,本节内容:,第十二章,一、一阶微分方程问题,幂级数解法:,将其代入原方程,比较同次幂系数可定常数,由此确定的级数即为定解问题在收敛区间内的解.,设所求解为,本质上是待定系数法,机动 目录 上页 下页 返回 结束,常系数线性微分方程组,机动 目录 上页 下页 返回 结束,*第十二节,解法举例,解方程组,高阶方程求解,消元,代入法,算子法,第十一章,常系数线性微分方程组解法步骤:,第一步 用消元法消去其他未知函数,得到只含一个 函
20、数的高阶方程;,第二步 求出此高阶方程的未知函数;,第三步 把求出的函数代入原方程组,注意:一阶线性方程组的通解中,任意常数的个数=未知函数个数,一般通过求导,得其它未知函数.,如果通过积分求其它未知函数,则需要讨论任意常数,的关系.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例1.,解微分方程组,解:,由得,代入,化简得,特征方程:,通解:,将代入,得,机动 目录 上页 下页 返回 结束,原方程通解:,注意:,1)不能由式求 y,因为那将引入新的任意常数,(它们受式制约).,3)若求方程组满足初始条件,的特解,只需代入通解确定,即可.,2)由通解表达式可见,其中任意常数间有确定的关系,机动 目录
21、上页 下页 返回 结束,全微分方程,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第五节,一、全微分方程,二、积分因子法,第十二章,判别:,P,Q 在某单连通域D内有连续一阶偏导数,为全微分方程,则,求解步骤:,方法1 凑微分法;,方法2 利用积分与路径无关的条件.,1.求原函数 u(x,y),2.由 d u=0 知通解为 u(x,y)=C.,一、全微分方程,则称,为全微分方程(又叫做恰当方程).,机动 目录 上页 下页 返回 结束,二、积分因子法,思考:如何解方程,这不是一个全微分方程,就化成例2 的方程.,使,为全微分方程,在简单情况下,可凭观察和经验根据微分倒推式得到,为原方程的积分因子.,但若在方程两边同乘,若存在连续可微函数,积分因子.,例2 目录 上页 下页 返回 结束,常用微分倒推公式:,积分因子不一定唯一.,例如,对,可取,机动 目录 上页 下页 返回 结束,
