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1、第十一章,无穷级数,无穷级数,无穷级数是研究函数的工具,表示函数,研究性质,数值计算,数项级数,幂级数,傅氏级数,常数项级数的 基本概念和性质,二、收敛级数的性质,一、常数项级数的概念,第十一章,第一节,引例1,一、常数项级数的概念,1.引例,引例2,用圆内接正多边形面积逼近圆面积.,依次作圆内接正,边形,这个和逼近于圆的面积：,设 a0 表示,ak 表示边数,则圆内接正,引例3,内接正三角形面积,增加时增加的面积,一般项：,级数的和,2.定义,给定数列,无穷级数:,部分和：,无穷级数收敛：,记作,级数的余项：,无穷级数发散：,级数收敛时，,例1,(几何级数),1)若,知,故级数收敛,知,则部
2、分和,故级数发散.,其和为,证明等比级数,当 时收敛,当 时发散.,证,2)若,级数发散;,n 为奇数,n 为偶数,结论：,时收敛,时发散.,则,级数为,不存在,等比级数,等比级数,因此级数发散.,拆项相消,解,所以级数发散.,例2,判别级数 的敛散性.,部分和,证(方法1),例3,发散.,un,(方法2),(方法3),(方法4),见后面.,二、收敛级数的性质,性质1 若,收敛,证 令,则,收敛,其和为 c S.,推论1,其和为 c S.,收敛，则,故,敛散性相同.,性质2 设收敛级数,则,也收敛,其和为,注,的敛散性规律：,收收为收，,收发为发，,发发不一定发.,例如,1 收敛级数可逐项相加
3、(减).,2,性质3,级数前面加上,不影响级数的敛散性.,证,去掉前 k 项,的部分,数敛散性相同.,收敛时,其和,故新旧级,新级数,同敛散，,有限项不影响级数的敛散性,（去掉、或修改）有限项,和为,性质4,收敛级数加括弧后,原级数的和.,证 设,收敛，任意加括弧,所成的级数仍收敛于,推论2 若加括弧后的级数发散,但,例如，,则原级数必发散.,用反证法,注,？,收敛级数去括弧后所成的级数不一定收敛.,收敛,发散,例3,的敛散性.,解(方法4),例4 判断级数的敛散性,解 加括号级数为,故加括号级数发散,从而原级数发散.,性质5（级数收敛的必要条件）,设,收敛，则,证,注,非级数收敛的充分条件.,例如,调和级数,发散，,故所给级数发散.,则级数 必发散.,推论3 若,例5(1),解(1),故原级数发散.,小结:,收敛,发散,例6 判断敛散性,若收敛求其和:,解 令,则,故级数发散.,例7 判断级数的敛散性：,解,原级数收敛,其和为 3.,内容小结,1.无穷级数概念：,级数收敛、发散，部分和，余项,2.两个常见级数的敛散性：,(1)等比级数,(2)调和级数,3.级数性质：,(1),敛散性相同,(2)收敛级数可以逐项相加，,(3)级数加,不影响其敛散性.,（去或改）有限项,(4)收敛级数加括弧后,仍收敛于原级数的和.,(5)级数收敛的必要条件:一般项的极限为零,
