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1、简明数值计算方法,漳州师范学院计算机科学与工程系,第二讲 插值法与曲线拟合,主要内容,插值法拉格朗日插值差商与差分牛顿插值公式逐次线性插值法三次样条插值 曲线拟合曲线拟合的最小二乘法,2.1 插值法,在实际问题中，我们会遇到两种情况变量间存在函数关系，但只能给出一离散点列上的值 例如:从实验中得到一个数据表,或是一组观测数据变量间的函数关系可以表示,但计算复杂,只能计算特殊点的函数值 例如:求指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数值等为了研究自变量与因变量间的变化关系，我们需要建立变量间的函数关系，从而可以计算原始数据以外需要处的值，这就是我们研究插值的目的。,2.1 插值法,设函数 在区间
2、 上有定义,已知在点 上的函数值,即。,插值问题:求一个简单函数 使得,插值条件,插值函数,插值节点,如果是多项式,则称为插值多项式,求插值函数的方法称为插法,a,b称为插值区间,如何构造P(x)?,2.1 插值法,设函数 在区间 上有定义,已知在点 上的函数值,即。,当n=0时,只有一个插值节点的情形,当n=1时,有两个插值节点的情形,当n=2时,有三个插值节点的情形,插值多项式的存在唯一定理：在次数不超过 n 的多项式集合 中，满足插值条件的插值多项式 是存在并且唯一的。,是否任意给定n+1个不同的插值 节点都可以构造出满足插值条件的插值多项式?,2.1 插值法,例1:给定数据表如下(1)
3、用一次插值多项式计算 f(0.7)的近似值(2)用二次插值多项式计算 f(0.7)的近似值(3)用三次插值多项式计算 f(0.7)的近似值,求三次插值多项式要解一个四阶线性方程组,计算量大太了,有没有更简便的办法?,2.1 插值法,拉格朗日(Lagrange)插值多项式,例2:数据如例1,应用拉格朗日多项式重新计算(1)(2)(3),拉格朗日插值的优缺点:公式结构紧凑,在理论分析中方便,但如遇节点增减,所有数据需全部重算,2.1 插值法,牛顿(Newton)插值多项式记函数 在 的值，称 为 关于 的零阶差商。称 为函数 关于点 的一阶差商一般地，关于 的 k阶差商 为,2.1 插值法,差商表
4、,例3:数据如例1 写出差商表,应用牛顿插值多项式重新计算(1)(2)(3),2.1 插值法,设函数 在等距节点 上的值 为已知，这里 为常数，称为步长。在前面的讨论中，节点是任意分布的，但实际上经常遇到等距节点的情况，这时插值公式可以得到简化。,2.1 插值法,差分的定义 称为在 处以 为步长的向前差分 称为在 处以 为步长的向后差分 称为在 处以 为步长的中心差分下面以向前差分为例,向后差分和中心差分的情形相似用一阶差分可以定义二阶差分一般地可定义 m 阶差分为,2.1 插值法,差分表,牛顿向前差分插值公式,例4:数据如例1 写出差分表,应用上式重新计算(1)(2)(3),2.1 插值法,
5、高次插值的病态性质 对于一个确定的区间,插值节点越多,插值多项式的次数越高插值。20世纪初，Runge(龙格)就给出了一个等距节点插值多项式 不收敛到 的例子。设，在区间 上取 个等距节点,构造拉格朗日插值多项式为 其中,2.1 插值法,龙格现象,如何避免高次插值的病态问题?,2.1 插值法,分段线性插值:从几何上看，就是用折线逼近曲线。设 是区间 上的函数，在节点 上的函数值为，记 则 的分段线性插值函数定义为:在区间 上 显然有,2.1 插值法,分段线性插值示意图,例5:数据如例1,应用分段线性插值计算f(0.5),f(0.75)的近似值,2.1 插值法,分段二次插值:设 是区间 上的函数
6、，在节点 上的函数值为，记 则 的二次插值函数定义为:在区间 上显然有,2.1 插值法,分段二次插值示意图,例6:数据如例1,应用分段二次插值计算f(0.5),f(0.75)的近似值,2.1 插值法,三次样条插值函数定义：对于区间 上给定的一个分划 如果函数 在子区间 上都是不超过3次的多项式，并且 2 阶导数 在内节点 处连续，则称 为区间 上以 为节点的三次样条函数。对于函数，若 还满足插值条件：则称 为 在区间 上的 三 次样条插值函数。,2.1 插值法,三次样条插值示意图:例7:数据如例1,如何求三次样条插值函数?,2.1 插值法,三次样条 是节点 上的分段三次多项式，故可写成:其中
7、为待定系数，共有 个未知数，而 应满足的条件为：(1)插值和函数连续条件 个；(2)内节点处一阶导数连续 个条件；(3)内节点处二阶导数连续 个条件；总共由 个条件，因此，要确定 个系数，还需要附加两个条件。,用待定系数法需要解一个4n阶的线性议程组,有没有更简便 的方法?,2.1 插值法,求三次样条插值函数的三弯矩算法记经过推导可得根据 的一阶导数在内节点的连续性,可得到,2.1 插值法,在实际应用中，我们一般使用如下三种类型的条件。(1)固支条件:即已知两个端点的一阶导数值(2)已知两个端点的二阶导数值:特别地，当 时称为自然边界条件(3)周期条件:同时要求,2.1 插值法,应用第一种边界
8、条件得到的三弯矩方程,2.1 插值法,应用第二种边界条件得到的三弯矩方程,2.1 插值法,例8:设 给定边界条件 试求三次样条函数 解：先求出三弯矩方程的参数:于是，三弯矩方程组为:求出的解为:,2.1 插值法,代入 的分段表示式，得到:,边界条件修改为f(0)=-1,f(3)=1时得到的三次样条曲线,边界条件为f(0)=0.2,f(3)=-1,2.1 插值法,练习 给定数据表如下(同例1),求三次样条函数 S(x)(1)边界条件为 f(0.2)=0,f(1.2)=0(2)边界条件为 f(0.2)=-20,f(1.2)=20(3)边界条件为 f(0.2)=0,f(1.2)=0,曲线拟合的最小二
9、乘法:在中 找一函数,使得误差平方和 最小。这里,2.2 曲线拟合的最小二乘法,设函数 在区间 上有定义,已知在离散点 上的实验数据。上的线性无关函数族。,2.2 曲线拟合的最小二乘法,通常在最小二乘法中 都考虑为加权平方和 这里 是a,b上的权函数,它表示不同点 处的数据比重不同,例如 可表示在 点处重复观测的次数。求解最小二乘拟合问题的方法(1)计算向量加权内积(2)列出法方程(正规方程)(3)得到解向量 即,2.2 曲线拟合的最小二乘法,例9 考虑下表给出的离散点,2.2 曲线拟合的最小二乘法,S*(x)=-0.276+1.517 x,2.2 曲线拟合的最小二乘法,例10 考虑下表给出的离散点,S*(x)=1.0052+0.8641 x+0.8437 x2,2.2 曲线拟合的最小二乘法,例11 考虑下表给出的离散点可以假设模型为 从而 即 是 和 的线性组合,2.2 曲线拟合的最小二乘法,正规方程如下:解得:拟合曲线为:,试一试直接用a0+a1x或a0+a1x+a2x2进行拟合,比较一 下哪种模型更精确?,2.2 曲线拟合的最小二乘法,S*1(x)=1.6238+3.365953 x,S*2(x)=3.5171+0.693376 x+0.89113 x2,S*(x)=3.071 exp(0.5056 x),在各种模型下拟合曲线的比较,
