数值分析中的(插值法).ppt

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1、数值分析第二章插值法,8 三次样条插值,2 Lagrange插值,1 引言,7 分段低次插值,6 Hermite插值,5 差分与等距节点插值公式,4 均差与Newton插值公式,3 逐次线性插值法(自学),9 评述,第二章 插 值 法,数值分析第二章插值法,第一节 引 言,一、一个实例,那么如何计算？,数值分析第二章插值法,二、插值问题的一般性提法,即简单函数P(x)的曲线要经过 上已知的n+1个点,数值分析第二章插值法,同时在其它点 上估计误差为,数值分析第二章插值法,若p(x)是次数不超过n的代数多项式,即（2.12）则称p(x)为插值多项式，相应的插值法称为多项式插值。若p(x)为分段多

2、项式，就是分段插值。若p(x)为三角多项式，就是三角插值,还有有理插值等。本章主要讨论多项式插值与分段插值。,注：插值法还有其他许多用途，如函数的近似表示；曲线曲面拟合；导出其它数值方法的依据（导出数值积分、数值微分、微分方程数值解）等。,数值分析第二章插值法,若满足条件的 存在，又如何构造？,三、多项式插值问题中需要研究的问题,满足插值条件的多项式 是否存在？唯一？,用 近似代替 的误差估计？,数值分析第二章插值法,定理1 设节点xi(i=0,1,n)互异,则满足插值条件Pn(xi)=yi 的次数不超过n的多项式存在且唯一。,下面先研究第一个问题,定理1不仅解决了问题1，其证明过程也给出了问

3、题2求插值多项式的一种方法。但一般不用这种方法，因为范得蒙矩阵一般是病态的。即使求解过程是精确的，多项式求值的误差也是可观的。,数值分析第二章插值法,拉格朗日插值多项式的优缺点,截断误差,拉格朗日插值多项式,数值实例,第二节 拉格朗日插值,数值分析第二章插值法,一、拉格朗日插值多项式,其中,1.两个互异节点(x0,y0),(x1,y1),且满足：,数值分析第二章插值法,2.三个节点(x0,y0),(x1,y1)，(x3,y3),其中：,令,满足：,数值分析第二章插值法,3.有n+1个互异节点(x0,y0),(x1,y1)(xn,yn),我们称n次多项式Ln(x)为拉格朗日插值多项式，Li(x)

4、为插值基函数。,数值分析第二章插值法,注：（1）插值基函数l i(x)(i=0,1,n)仅由插值节点xi(i=0,1,n)确定,与被插函数 f(x)无关.,（3）对于插值节点,只要求它们互异,与大小次序无关。,（2）以 xi(i=0,1,n)为插值节点,函数 f(x)1作插值多项式,则由插值多项式的唯一性立即得到基函数的一个性质,数值分析第二章插值法,数值分析第二章插值法,关于截断误差Rn(x)=f(x)-Ln(x)有下面定理。,定理2 设f(x)在区间a,b上存在n+1 阶导数,xia,b(i=0,1,n)为n+1个互异节点,则对任何x a,b,有,且与x 有关),二、截断误差（插值余项）,

5、数值分析第二章插值法,证 由插值条件和n+1(x)的定义,当x=xk 时,式子显然成立。且x0,x1,xn 都是函数n+1(x)的零点,也是Rn(x)的零点，从而 Rn(x)可表示为,其中K(x)是待定函数。,对于任意固定的xa,b,xxk,构造自变量t 的辅助函数,数值分析第二章插值法,由式 n+1(xk)=0 和式 Ln(xk)=yk(k=0,1,n),以及,可知：x0,x1,xn和x是(t)在区间a,b上的n+2个互异零点,因此根据罗尔(Rolle)定理,至少存在一点=(x)(a,b),使,即,所以,数值分析第二章插值法,数值分析第二章插值法,例 已知 sin0.32=0.314567,

6、sin0.34=0.333487,sin0.36=0.352274,用Lagrange插值计算sin0.3367的值，并估计截断误差。,解：f(x)=sinx,取,三、数值实例,数值分析第二章插值法,于是有,可以发现，结果与有六位有效数字的sin x表完全一致。,数值分析第二章插值法,截断误差为其中 故有,数值分析第二章插值法,记,数值分析第二章插值法,四、Lagrange插值公式优缺点,优点：结构清晰、紧凑，适用于作理论分 析；,缺点：当节点个数有所变动，整个插值公式发生变化，在实际应用时不方便。,数值分析第二章插值法,第四节均差与牛顿插值公式,数值分析第二章插值法,一、差商及其基本性质,英

7、1642-1727,数值分析第二章插值法,差商的计算步骤与结果可列成差商表如下:,数值分析第二章插值法,表41,数值分析第二章插值法,性质1 差商可以表示为函数值的线性组合，即,数值分析第二章插值法,性质2 若f(x)在a,b上存在n阶导数,且节点x0,x1,xn a,b,则至少存在一点 a,b 满足下式,例1 f(x)=-6x8+7x5-10,求f 1,2,9及f 1,2,10.,解 f(8)(x)=-68!,f 1,2,9=-6，f(9)(x)=0,f 1,2,10=0.,数值分析第二章插值法,二、牛顿插值多项式,设x是a，b上一点，由各阶差商定义得,数值分析第二章插值法,依次把后式代入前

8、式，最后得,其中：最后一项中,差商部分含有x,为余项部分,记作Rn(x)；而前n+1项中,差商部分都不含有x,因而前n+1项是关于x 的n次多项式,记作Nn(x)。,数值分析第二章插值法,可见,Nn(x)为次数不超过n 的多项式,且易知 Rn(xi)=0 即 Nn(xi)=yi,(i=0,1,n)满足插值条件,称Nn(x)为牛顿均差插值多项式。,由插值多项式的唯一性知:Ln(x)Nn(x),即：,数值分析第二章插值法,余项公式,数值分析第二章插值法,数值分析第二章插值法,三、拉格朗日插值与牛顿插值的比较,（1）与 均是n次多项式,且均满足插值条件:由插值多项式的唯一性,因而两个公式的余项是相等

9、的,即,数值分析第二章插值法,则可知n 阶差商与导数的关系如下（性质2）：,（2）当插值多项式从 n-1 次增加到n 次时,拉格朗日型插值必须重新计算所有的所有的插值基函数;而对于牛顿型插值,只需用表格再计算一个n阶差商,然后加上一项即可。节省计算量，便于编程。,（3）牛顿型插值余项公式对是由离散点给出或导数不存在时均适用。因此更具一般性。,数值分析第二章插值法,五、数值实例,例1 根据下表建立不超过三次的拉格朗日插值多项式和牛顿插值多项式，并验证插值多项式的唯一性。,例2 教材P24例2.3,数值分析第二章插值法,数值分析第二章插值法,解 从均差表看到四阶均差近似常数。故取四次牛顿插值多项式

10、N4(x)做近似即可,数值分析第二章插值法,第五节 差分与等距节点插值公式,差分及其性质,等距节点的Newton向前插值公式,等距节点的Newton向后插值公式,数值实例,数值分析第二章插值法,一、差分及其性质,数值分析第二章插值法,一阶向前差分：,（一）差分的概念,二阶向前差分：,注：称为向前差分算子，表示向后差分算子。各阶差分可用下表表示。,n 阶向前差分：,数值分析第二章插值法,数值分析第二章插值法,除差分算子外，常用的算子符号还有：不变算子I:;移位算子E：由上面各种算子的定义可得算子间的关系：由可得,同理可得,数值分析第二章插值法,（二）差分的性质（步长均为h）,性质1:各阶差分均可

11、用函数值表示。,数值分析第二章插值法,性质3:各种差分之间可以互化。如,性质4,性质2:可用各阶差分表示函数值。,如：,数值分析第二章插值法,称为牛顿前插公式。,插值节点为 xi=x0+ih(i=0,1,n),如果要计算 x0附近点 x 处的函数值f(x),可令 x=x0+th(0 t 1),代入牛顿插值公式,可得,二、Newton向前插值公式,数值分析第二章插值法,其余项为,数值分析第二章插值法,及其余项,三、Newton向后插值公式,类似地,若计算 xn 附近的函数值 f(x),可令 x=xn+th(-1 t 0)，可得牛顿后插公式,数值分析第二章插值法,例 设 y=f(x)=ex,xi=

12、1,1.5,2,2.5,3,用三次牛顿插值多项式求f(1.2).,相应的函数值及差分表如下:,四、数值实例,解 用牛顿前插公式,由 1.2=1+0.5t,得t=0.4,数值分析第二章插值法,数值分析第二章插值法,第六节 埃尔米特(Hermite)插值,数值分析第二章插值法,一、Hermite插值问题的提出,由于理论与实践的需要，在构造插值函数时，不但要求在节点上函数值相等，而且还要求它的（高阶）导数值也相等（即要求在节点上具有一定的光滑度），使得插值函数与被插函数贴近程度更好，满足这种要求的插值多项式就是Hermite 插值多项式，有时也称为具有重节点插值或切触插值。,数值分析第二章插值法,二

13、、三次 Hermite 插值,问题：求作三次多项式，使之满足：称之为两点三次Hermite插值问题，称满足插值条件（）的 为三次 Hermite 插值多项式。下面采用构造基函数的方法来确定多项式。,数值分析第二章插值法,设则若 满足则H3(x)即为所求。,数值分析第二章插值法,由于由（）可设再由（）可求得,(2.6.2),(2.6.3),数值分析第二章插值法,同理可得,数值分析第二章插值法,故,数值分析第二章插值法,三、2n+1 次Hermite 插值多项式,数值分析第二章插值法,由,点,数值分析第二章插值法,数值分析第二章插值法,数值分析第二章插值法,数值分析第二章插值法,数值分析第二章插值

14、法,四、Hermite插值余项,数值分析第二章插值法,例1 已知 f(x)=x1/2 及其一阶导数的数据见下表，用埃尔米特插值公式计算 1251/2 的近似值，并估计其截断误差。,五、数值实例,数值分析第二章插值法,解,数值分析第二章插值法,得,数值分析第二章插值法,数值分析第二章插值法,第七节 分段低次插值,数值分析第二章插值法,一、多项式插值的问题,前面介绍了构造插值公式的方法，并分析了它们的余项。在实际应用插值函数作近似计算时，总希望插值公式余项的绝对值小一些，即使得误差尽量小一些。从 表达式看，似乎提高插值多项式的次数便可达到目的，但实际上并非如此。,数值分析第二章插值法,例 给定函数

15、取其等距节点，构造的Lagrange插值多项式为,实际上，当 时，只能在 内收敛，而在这个区间以外是发散的。这种畸形现象通常叫做Runge现象。,数值分析第二章插值法,n 越大，端点附近抖动越大，称为Runge 现象,数值分析第二章插值法,在插值过程中有两种误差：1）由插值函数 替代被插函数 所引起的截断误差；2）节点数据的误差。这种误差在插值过程中是否会被扩散或放大呢？这就是插值过程的稳定性问题。对任意的插值节点，当 时，不一定收敛到。事实上，当n变大时，插值过程对于节点的数据误差非常敏感，也就是说高次插值具有数值不稳定性。,数值分析第二章插值法,二、分段线性插值,数值分析第二章插值法,数值

16、分析第二章插值法,因此，在插值区间a，b上有,可以证明：P(x)在a，b上一致收敛于f(x),在区间xi，xi+1上的余项估计式为：,数值分析第二章插值法,例 已知函数 在区间 上取等距插值节点（如下表）,求区间 上分段线性插值函数，并利用它求出 的近似值,数值分析第二章插值法,于是,解 在每个小区间 上，,数值分析第二章插值法,三、分段三次Hermite插值,(i),数值分析第二章插值法,分段三次埃尔米特插值在区间xi，xi+1上的余项估计式为,(i),(i),(i),数值分析第二章插值法,因此，在插值区间a，b上有,可以证明：3(x)在a,b上一致收敛于f(x),数值分析第二章插值法,四、

17、小结,分段插值简便易行，收敛性能得到保证，只要节点间的间距充分小，就能保证它的误差要求。分段插值具有局部性质。如果修改某个数据，插值曲线仅在与该数据有关的相邻两个区间内受到影响。而前面讲的代数插值确会影响整个区间。,数值分析第二章插值法,问题的提出,三次样条函数,三弯矩方程,三转角方程（自学）,数值实例,第八节 三次样条插值,数值分析第二章插值法,一、问题的提出,数值分析第二章插值法,二、三次样条函数,数值分析第二章插值法,数值分析第二章插值法,数值分析第二章插值法,设 在xi，xi+1上是一次多项式且,三、三弯矩方程,设 在xi，xi+1上是一次多项式且,x,i,i,i,i,i,i,i,i,

18、i,i,i,i,i,i,i,h,x,x,M,h,y,h,x,x,M,h,y,M,h,x,x,Mi,h,x,-,-,+,-,-,+,-,+,-,+,+,+,+,+,),6,(,),6,(,6,),(,6,),(,1,2,1,1,2,1,3,1,S(x)=,xxi,xi+1(i=0,1,n-1),3,数值分析第二章插值法,所以,数值分析第二章插值法,数值分析第二章插值法,即,1、,数值分析第二章插值法,所以有,从中解出Mi(i=0,1,.,n)代入S(x)的表达式即可。,数值分析第二章插值法,2、M0、Mn已知（即满足边界条件）,从中解出 Mi(i=1,2,.,n-1)代入S(x)的表达式即可。,

19、数值分析第二章插值法,3、满足边界条件,，得,由,整理得,其中,数值分析第二章插值法,注意到：M0=Mn,故有：,解出Mi(i=1,.,n)代入S(x)的表达式即可,数值分析第二章插值法,四、数值实例,数值分析第二章插值法,解,(1)边界条件为,故得方程组,数值分析第二章插值法,并注意到边界条件,数值分析第二章插值法,（2）边界条件为 则 由,数值分析第二章插值法,得,故得方程组,解得,数值分析第二章插值法,注意到 求得三次样条函数如下：,x,i,i,i,i,i,i,i,i,i,i,i,i,i,i,i,h,x,x,M,h,y,h,x,x,M,h,y,M,h,x,x,Mi,h,x,-,-,+,-

20、,-,+,-,+,-,+,+,+,+,+,),6,(,),6,(,6,),(,6,),(,1,2,1,1,2,1,3,1,S(x)=,xxi,xi+1(i=0,1,n-1),3,数值分析第二章插值法,评 述,本章按插值函数的特征，分别介绍了多项式插值、分段多项式插值和三次样条插值。,插值函数是数值分析的基本工具，是函数逼近、数值积分、数值微分和微分方程解的基础。Lagrange插值多项式虽然计算量大，但表示式简单明确，便于理论推导，理论上较重要。Newton 插值多项式便于逐步增加节点，并且计算过程中能估计误差。带导数的插值多项式适合于已知导数值的情形。所有插值多项式次数不宜太高，否则误差,数值分析第二章插值法,可能很大。分段低次插值具有良好的稳定性和良好的收敛性，因此便于应用。三次样条插值也是分段插值多项式，且进一步保证了光滑性，它在实际应用中是很重要的。至于B样条和一般样条函数本书未涉及，如有需要可参看专门文献。关于插值误差估计，论述了微分形式和均差形式。对于充分光滑的被插值函数，采用微分形式的误差估计可以给出实用的误差界。均差形式的误差估计虽不能给出实用的误差界，但在数值积分和数值微分的推导中将有重要应用。,