第2章插值法ppt课件.ppt

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1、第2章 插 值 法( Interpolation),一、问题的提出,第一类问题 函数 y= f(x) 表达式未知, 通过观察、实验或测量得到上n+1个互异点 xi 的值 yi=f(xi) ( i=0, 1,., n) .,第二类问题 函数 y= f(x)表达式已知, 但太复杂, 计算得到其(容易计算)在n+1个互异点xi 的值 yi=f(xi) ( i=0, 1,., n) .,2.1 引 言,如三角函数表、对数表、平方根和立方根表等.,两类问题可归结为：已知一个表格函数,1. 问题: 如何确定函数f(x) 在任意点处的函数值?,y =f(x),y=p(x),y=f(x),2. 方法,简单函数

2、 y= p(x),满足条件 p(xi) = yi ( i=0, 1,., n),插值和数据拟合,用一个简单函数 y= p(x)近似代替函数y=f(x), 即,f(x) p(x),3. 插值法的思想,插值条件,例如, 用计算机程序控制加工机械零件。 根据设计可给出零件外形曲线的某些型值点(xi, yi) (i=0,1,.,n), 加工时为控制每步走刀方向及步数, 就要算出零件外形曲线其它点的函数值, 才能加工出外表光滑的零件, 这就是求插值函数的问题.,定义已知函数y= f(x)在区间a , b 上互异个点x0, x1, xn上的值y0, y1, yn, 若存在一简单函数P(x)满足,P(xi)

3、=yi (i=0,1, ., n) (2.1),就称P(x)为f(x)的插值函数, 点x0, x1, xn称为插值节点, (xi, yi) 称为插值点, a, b称为插值区间, 求插值函数P(x)的方法称为插值法, 式(1.1)称为插值条件. 多项式插值、分段插值、三角插值等.,本章只讨论多项式插值与分段插值.,从几何上看，插值法就是求曲线 y=P(x)， 使其通过给定的n+1个点(xi, yi), i=0,1, ,n，并用它近似已知曲线y=f(x)，见下图.,已知函数 y= f(x)在n+1个互异点xi 的值yi=f(xi) ( i=0,1,., n) ,求一个多项式p(x), 使其满足,(

4、x)是一个次数不超过n 的多项式; p(xi)=yi (i=0,1, ., n),定义,则 p(x) 称为f(x) 的n次插值多项式, 用Pn(x)表示, 即,2.1.2 多项式插值 (polynomial interpolation),Pn(x)=a0+a1x+a2x2+.+anxn (2.2),a=minxi, b=maxxi.,(1) 插值多项式是否存在? 若存在, 是否唯一?,所须讨论的问题：,(2) 如何求插值多项式?,(3) 插值多项式近似代替 f(x) 的误差?,定理1 设节点 xi (i=0,1, ,n)互异, 则满足插值条件 Pn(xi)=yi (i=0,1, ., n),证

5、 设所求的插值多项式为,Pn(x)= a0+a1x+a2x2+.+anxn,的次数不超过 n 的多项式存在且唯一.,由Pn(xi)=yi (i=0,1, ., n), 得,插值多项式的存在性与唯一性,其系数行列式为Vandermonde 行列式：,由克莱姆法则，方程组(1.3)有唯一解. 证毕,先讨论n=1的情形. 假定给定一个区间x0, x1 及端点函数值 y0=f(x0), y1=f(x1),要求线性插值多项式L1(x)，使它满足,L1(x0)=y0, L1(x1)=y1.,y=L1(x)的几何意义就是通过两点(x0, y0)与(x1, y1)的直线，如右图.,对给定的插值点(xi, yi

6、), i=0,1, ,n，求插值多项式可以有不同方法。,(点斜式方程),可写为,(对称式方程),约瑟夫拉格朗日, 全名约瑟夫路易斯拉格朗日(Joseph-Louis Lagrange)法国数学家、物理学家。,Lagrange法1736-1813,2.2 拉格朗日插值,1736年1月25日生于意大利都灵, 1813年4月10日卒于巴黎. 他在数学、力学和天文学三个学科领域中都有历史性的贡献,其中尤以数学方面的成就最为突出.,n=1时, 由对称式方程,线性组合得到的, 其系数分别为y0及y1, 即,l0(x)及l1(x)是一次多项式, 在节点x0及x1上分别满足,2.2.1 线性插值与抛物线插值,

7、看出, L1(x)是由两个线性函数,称l0(x)及l1(x)为线性插值基函数，它们的图形为,插值基函数的特点：,y=L2(x)在几何上就是通过三点 (x0, y0), (x1, y1), (x2, y2)的抛物线.,n=2时, 假定插值节点为x0, x1, x2，要求二次插值多项式L2(x)，使它满足,L2(x0)=y0, L2(x1)=y1, L2(x2)=y2.,用基函数方法, 此时基函数l0(x), l1(x), l2(x)是二次函数, 且在节点上分别满足条件,满足条件的插值基函数很容易求出. 例如求l0(x), 因它有两个零点x1及x2, 故可表示为,其中A为待定系数，可由条件l0(x

8、0)=1定出,于是,同理可得,n=2时的二次基函数图形为:,利用二次插值基函数l0(x), l1(x), l2(x)，立即得到二次多项式,显然满足 L2(x0)=y0, L2(x1)=y1, L2(x2)=y2.,将上面求得的基函数l0(x), l1(x), l2(x)代入得,2.2.2 拉格朗日插值多项式,对n=1和n=2的情形, 得到了一次与二次插值多项式L1(x)及L2(x), 它们分别是基函数的线性组合, 下面将用基函数表示插值多项式的方法推广到一般情形.,Ln(xj)=yj, j=0,1, ,n.,为了构造Ln(x)，我们先定义n次插值基函数.,构造通过n +1个节点x0 x1xn的

9、n次插值多项式Ln(x)，假设它满足条件,定义1若n次多项式lj(x) (j=0,1,n)在n +1个节点x0 x1xn上满足条件,就称这n +1个n次多项式l0(x), l1(x), , ln(x)在为节点x0, x1, , xn上的n次插值基函数.,用类似的推导方法，可得到n次插值基函数为,构造次数不超过n的多项式,称为拉格朗日插值多项式。,则Ln(x)满足,Ln (xj)= yj , i=0,1, , n,由唯一性得： Ln (x) Pn (x),记,则,于是,Note: n次插值多项式是次数n的多项式, 特殊情况下次数可能小于n. 如过三点(x0, y0), (x1, y1), (x2

10、, y2)的二次插值多项式L2(x),如果三点共线,则y=L2(x)就是一直线, 而不是抛物线, 这时L2(x)是一次多项式.,Remark:(1) 对于插值节点,只要求它们互异,与大小次序无关;,(2) 插值基函数lk(x) 仅由插值节点xk (k=0,1, ,n)确定, 与被插函数 f(x)无关;,(3) 插值基函数lk(x) 的顺序与插值节点xk (k=0,1, ,n) 的顺序一致.,所以,例1 已知 用线性插值(即一次插值多项式)求 的近似值。,插值多项式为,( ),例2 求过点(-1,-2), (1,0), (3,-6), (4,3)的抛物线插值(即三次插值多项式).,解 以,以为节

11、点的,基函数分别为:,则拉格朗日的三次插值多项式为,截断误差 Rn(x)=f (x) -Ln(x) 也称为插值多项式的余项.,2.2.3 插值余项与误差估计,定理2 设f(n)(x)在a ,b上连续，f(n+1)(x)在(a, b)内存在，节点ax0 x1xnb，Ln(x)是满足插值条件(2.6)的插值多项式, 则对任何xa, b, 插值余项,这里(a, b)且依赖于x，n+1(x)由(2.10)式所定义.,证 由插值条件和n+1(x) 的定义, 当x=xk 时 , 式子显然成立, 并且有 n+1(xk)=0 ( k=0,1,n ), 这表明x0 , x1, ,xn 都是函数n+1(x) 的零

12、点, 从而 Rn(x) 可表示为,其中K(x)是与x有关的待定函数.,对于任意固定的xa,b, xxk ,构造自变量 t 的辅助函数,由式 n+1(xk)=0 和式 Ln(xk)=yk ( k=0,1,n ),以及,可知，x0 , x1, , xn 和 x 是(t) 在区间a,b上的 n+2个互异零点, 因此根据罗尔 (Rolle) 定理, 至少存在一点 =(x)(a, b)，使,即,所以,于是得到插值多项式的估计误差限,或,当n=1时，线性插值的余项为,当n=2时，抛物线插值的余项为,推论1 若f (x)是一次数不超过n的多项式, 即f (x) Hn 则f (x)的n次插值多项式就是它本身,

13、 即,推论2 若f (x)是一次数为n+1的多项式, 且最高项系 数an+10, 则f (x)的n次插值多项式为,特别当k=0时, 有,例 当 f(x)=xk (kn)时, 由推论1得,例1 证明 其中li(x)是关于点x0 , x1, , x5的插值基函数.,证明利用公式(2.17)可得,例2 已给 sin0.32=0.314567, sin0.34=0.333487, sin0.36=0.352274, 用线性插值及抛物线插值计算sin0.3367的值并估计截断误差.,解由题意取x0=0.32, y0=0.314567， x1=0.34, y1=0.333487， x2=0.36, y2=

14、0.352274，,用线性插值计算,由于0.3367介于之间x0, x1, 故取x0, x1进行计算,其截断误差,其中 因,可取,于是,用抛物线插值计算sin0.3367 得,这个结果与6位有效数字的正弦函数表完全一样，这说明查表时用二次插值精度已相当高了.,由(2.14)式得其截断误差限,其中,于是,例3设f(x)C2a, b，试证：,证明通过两点(a, f(a)及(b, f(b)的线性插值为,其中其中C2a, b表示在区间a, b上二阶导数连续的函数空间.,于是,利用插值基函数很容易得到拉格朗日插值多项式优点：公式结构紧凑，在理论分析中甚为重要. 缺点：当插值节点增减时，计算要全部重新计算

15、, 甚为不便.,拉格朗日插值多项式的优缺点：,为了计算方便重新设计一种逐次生成插值多项式的方法牛顿插值多项式.,牛顿（Isacc Newton，16421727）是英国数学家、天文学家和物理学家， 1642年12月25日出生于英国北部林肯郡埃尔斯索普村。,2.3 均差与牛顿插值多项式,27岁的牛顿当了数学教授，1703年任英国皇家学会会长，1706年受英国女王安娜封爵， 1727年3月31日，牛顿在伦敦病逝，享年84岁。,Newton英1642-1727,2.3.1 插值多项式的逐次生成,先考察的n=1情形，此时线性插值多项式记为P1(x), 它满足条件P1(x0)=f(x0), P1(x1)

16、=f(x1),用(2.1)式的点斜式表示为,它可看成是零次多项式的修正P0(x)=f(x0)，即,其中 是函数f(x)的差商.,再考察三个节点的二次插值P2(x)，它满足条件,可表示为,显然它满足条件P2(x0)=f(x0)及P2(x1)=f(x1). 令P2(x2)=f(x2)，则得,系数a2是函数f 的“差商的差商”.,一般情况已知f在插值点上xi (i=0,1, ,n)的值为f(xi)(i=0,1, ,n)，要求次插值多项式满足条件,则Pn(x)可表示为,其中a0,a1, an为待定系数,可由插值条件确定. 与拉格朗日插值不同,这里的Pn(x)是由基函数1, x-x0, , (x-x0)

17、(x-xn-1)逐次递推得到的. 为了给出系数ai (i=0,1, ,n)的表达式, 需引进均差(即差商)的定义.,2.3.2 均差及其性质,定义2 称 为函数 f (x)关于点x0, xk的一阶均差. 一阶均差的均差(差商),称为函数f (x)关于点x0, x1, xk 的二阶均差. 一般地, 称,一般f(xk)称为f(x) 在点xk的零阶均差，记作fxk.,为函数f (x)在点x0 , x1 , , xk的 k 阶均差.,均差的基本性质：,(1) k阶均差可表示为函数值 f(x0), f(x1), , f(xk)的线性 组合, 即,可用归纳法证明此性质. 这个性质也表明均差与节点的排列次序

18、无关, 称为均差的对称性. 即,fx0 , x1 , x2 , ., xk= fx1 , x0 , x2 , ., xk= = fx1 , x2 , ., xk , x0 ,这个公式可直接用罗尔定理证明.,(2),(3) 若f(x)在a, b上存在n阶导数, 且节点xia, b (i=0,1, ,n), 则n阶均差与导数的关系为,例如 f (x)=-6x8+7x5-10, 求f 1,2, ,9及f 1,2, ,10.,解 因为 f (8)(x)=-68 !, 所以 f 1,2, ,9=-6, 因为 f (9)(x)=0, 所以 f 1,2, ,10=0.,表2-1（均差表）,均差计算可列均差表

19、如下:,性质(4) n次多项式f(x)的k阶差商, 当kn时是一个n-k次多项式; 当kn时恒等于0, 即,当kn时是一个n-k次多项式; 而当kn时, 由性质3得其恒等于0.,2.3.3 牛顿插值多项式,设x是a，b上一点，由一阶均差定义得,同理，由二阶均差定义,如此继续下去，可得一系列等式,得,得,依次把后式代入前式，最后得,(3.6),(3.7),可见, Pn(x)为次数不超过n 的多项式,且易知 Rn(xi)= 0 即 Pn(xi)= yi , (i=0,1, ,n) 满足插值条件, 故其为插值问题的解, Pn(x)称为牛顿插值多项式。,Rn(x)称为牛顿型插值余项。,由插值多项式的唯

20、一性知，它与拉格朗日插值多项式(2.12)是等价的，即 Ln(x) Pn(x),且有如下递推形式,和余项公式,由此即得性质(3). 且,例4 已知f(x)=shx的数表,求二次牛顿插值多项式,并由此计算f(0.596)的近似值.,解 由上表可得过前三点的二次牛顿插值多项式为,又,还可得过前四点的三次牛顿插值多项式,可得P3(x)的截断误差,用插值法计算x约为多少时f(x)=1（小数点后至少保留4位）.,例 已知单调连续函数 y=f(x)的如下数据,1.58,1.17,0.10,1.23,1.80,1.50,0.00,0.11,解:(反插值法)作辅助函数 g(x)=f (x)-1, 则问题转化为

21、x为多少时g(x)=0, 此时可作新的关于g(xi)的函数表，由f(x)单调连续知也单调连续, 因此可对g(x)的数值进行反插值. 由数据表,作出均差表,得牛顿型插值多项式为,故,2.3.4 差分与等距节点的牛顿插值,设函数y=f(x)在等距节点xi=x0+ih (i=0,1, ,n)上的函数值为fi=f(xi)(h为步长),一般地, f(x) 在点 xk 处的 m 阶向前差分和 m 阶向后差分分别为,定义2分别称为函数f(x)在点xk处的一阶向前差分和一阶向后差分.,表2-2,性质1 mfi= mfi+m,性质2,差分有如下基本性质,称为牛顿前插公式，其余项为,插值节点为 xi=x0+ih

22、(i=0,1, ,n), 令 x=x0+th (0 t n), 代入牛顿插值公式 ,可得,类似地, 可令 x=xn+th (- n t 0) ，可得牛顿后插公式,及其余项,例5 设 y=f(x)=ex, xi=1, 1.5, 2, 2.5, 3, 用3次牛顿前插公式计算f(1.2) 的近似值并估计误差.,解 相应的函数值及差分表如下:,取x=1.2, h=0.5,且由 1.2=1+0.5t, 得t=0.4，得,由(3.14)式可得误差估计为,先计算,埃尔米特(Charles Hermite，18221901) 法国数学家，1822年12月24日出生在洛林的小村庄Dieuge。巴黎综合工科学校毕

23、业，曾任法兰西学院、巴黎高等师范学校、巴黎大学教授。法兰西科学院院士。,2.4 埃尔米特(Hermite)插值,在函数论、高等代数、微分方程等方面都有重要发现。1858年利用椭圆函数首先得出五次方程的解。1873年证明了自然对数的底e的超越性。在现代数学各分支中以他姓氏命名的概念（表示某种对称性）很多，如“埃尔米特二次型”、“埃尔米特算子”等。,Hermite法1822 -1901,插值多项式要求在插值节点上函数值相等，有的实际问题还要求在节点上导数值相等，甚至高阶导数值也相等，满足这种要求的插值多项式称为埃尔米特(Hermite)插值多项式.,2.4.1 重节点均差与泰勒插值,定理3 设fC

24、na ,b, x0, x1, , xn为a ,b上的互异节点, 则fx0, x1, , xn是其变量的连续函数.,如果区间a ,b的节点互异, 根据均差定义, 若f(x)C1a ,b, 则有,由此定义重节点均差,类似地可定义重节点的二阶均差，当x1 x0时，有,当x1x0时，有,一般地, 可定义n阶重节点的均差,在牛顿均差插值多项式中, 若令xix0 (i=1,2, ,n), 则可得泰勒多项式,它实际上是在点x0附近逼近f(x)的一个带导数的插值多项式, 满足条件,称为泰勒插值多项式, 它是一个埃尔米特插值多项式, 其余项为,一般地, 只要给出m+1个插值条件(含函数值和导数值), 就可求出次

25、数不超过m次的埃尔米特插值多项式.,求一般的Hermite插值多项式的方法,1. 待定系数法,2. 基函数法,3. 余项校正法,4. 利用均差表,2.4.2 两个典型的埃尔米特插值,例1 求满足条件 的插值多项式P(x)及其余项表达式.,解 由给定条件, P(x)为次数不超过3的多项式.,其中A为待定常数. 由条件P(x1)=(x1)可得,由于P(x)过点 (x0,f(x0), (x1,f(x1), (x2,f(x2) ,故其形式为,为了求出余项R(x)=f(x)-P(x)的表达式, 可设,其中k(x)为待定函数,构造辅助函数,则它在(a,b)内有5个零点x0, x1(二重), x2, x,

26、反复应用罗尔定理, 得到,得,余项表达式为,例6,三次埃尔米特插值多项式,设 y=f(x)是区间a, b上的实函数, x0, x1 是a, b上相异两点, 且 x0 x1, y=f (x) 在xi上的函数值和一阶导数值分别为 yi=f (xi) (i=0,1)和mi = f (xi) (i=0,1), 求三次多项式 H3(x), 使其满足：,H3(x)称为三次埃尔米特(Hermite)插值多项式。,基函数法：构造三次埃尔米特插值多项式如下:,定理3 满足条件式 的三次埃尔米特插值多项式存在且唯一。,由,可将它写成,即,可得满足条件的三次埃尔米特插值多项式为,定理4 设f(x)在包含x0、x1的

27、区间a,b内存在四阶导数，则当xa,b时有,设,则当x(x0 , x1)时,余项有如下估计式,且与x有关),例 已知f(x)=x1/2及其一阶导数的数据见下表，用埃尔米特插值公式计算1251/2的近似值,并估计其截断误差.,解,得,由,可求得,2.5 分段低次插值,2.5.1 高次插值的病态性质,根据区间a,b上给出的节点做插值多项式Ln(x)近似f(x), 一般总认为Ln(x)的次数n越高, 逼近f(x)的精度越好, 但实际上并非如此.,先看下面的例子,对(x)=(1+x2)-1, 在区间-5, 5上取等距节点 xi=-5+ih (i=0,1,10)，h=1，作(x)关于节点 xi的10次插

28、值多项式 L10(x), 如图所示,x,y,o,5,-5,0.5,1,1.5,y=L10(x),这个现象被称为龙格(Runge)现象. 表明高次插值的不稳定性.,2.5.2 分段线性插值,(1) Ih(x)Ca, b；(2)Ih(xk)=fk (k=0,1, ., n);(3) Ih(x)在每个小区间xk, xk+1 上是线性函数.则称满足上述条件的函数Ih(x)为分段线性插值函数.,分段线性插值插值点用折线段连接起来逼近函数f(x). 设已知,记求一个折线函数Ih(x), 使其满足:,分别作线性插值得,在每个子区间xk, xk+1,已知,或,由线性插值的误差即得分段线性插值在区间xk, xk

29、+1上的余项估计式为,因此，在插值区间a,b上有余项,分段线性插值在插值区间a,b上的余项,由此还可得到,在a, b上一致成立, 故Ih(x)在a, b上一致收敛到f(x).,2.5.3 分段三次Hermite插值,若在节点xk(k=0,1, ., n)上除已知函数值 fk外, 还给出f(x)的导数值 (k=0,1, ., n), 这样就构造一个导数连续的分段插值函数Ih(x), 它满足条件：,(1) Ih(x)C1a, b；(2)Ih(xk)=fk, (k=0,1, ., n);(3) 在每个小区间xk, xk+1上, Ih(x) H3.则称满足上述条件的函数Ih(x)为分段三次埃尔米特插值

30、函数.,或,在每个小区间xi，xi+1上,分段三次埃尔米特插值在区间xi, xi+1上的余项估计式为,因此, 在插值区间a, b上有余项估计式为,例 构造函数f(x)=lnx在1x10上的数表, 应如何选取步长h,才能使利用数表进行分段插值时误差不超过0.510-4 。,解,欲使,即进行分段线性插值时, 应取h210-2, 误差不超过0.510-4。,欲使,即进行分段三次埃尔米特插值时, 应取误差不超过0.510-4 .,分段三次埃尔米特插值比分段线性插值效果明显改善. 但这种插值要求给出节点上的导数值, 所要提供的信息太多, 其光滑度也不太高 (只有一阶导数连续), 改进这种插值以克服其缺点

31、就导致三次样条插值的提出.,2.6 三次样条插值,对于像高速飞机的机翼形线, 船体放样等型值线往往要求有二阶光滑度, 即有二阶连续导数. 早期工程师制图时, 把富有弹性的细长木条(所谓样条)用压铁固定的样点上, 在其他地方让它自由弯曲, 然后延木条画下曲线, 称为样条曲线. 样条曲线实际上是由分段三次曲线并接而成, 在连接点即样点上要求二阶导数连续, 从数学上加以概括就得到数学样条这一概念. 下面我们讨论最常用的三次样条函数.,2.6.1 三次样条函数,定义3 设a=x0 x1xn=b 是给定节点, 若函数S(x)满足,三次样条插值函数S(x)为一分段三次插值多项式.,(2) S(xi )=y

32、i (i=0,1,n);(3) 在xi, xi+1 (i=0,1,n-1)上是次数不超过3的多项式.,则称S(x)为三次样条插值函数.,(1) S(x)C2a, b;,从定义知道所求的三次样条插值函数S(x)必须满足以下3条：,在每个内节点xi (i=1,2,.,n-1)上具有二阶连续导数; S(xi )=yi (i=0,1,n);在每个小区间xi, xi+1 (i=0,1,.,n-1)上是次数不超过3的多项式.,S(x)在每个小区间xi , xi+1 上是一个次数不超过3的多项式, 因此需确定4个待定常数, 一共有n个小区间,故应确定4n个系数, S(x)在n-1个内节点上具有二阶连续导数,

33、 应满足条件,即有3n-3个连续条件, 再加上S(x) 满足的插值条件n+1个, 共计4n-2个, 因此还需要2个条件(两个端点各1个)才能确定S(x), 通常补充两个边界条件.,常见的三种边界条件：,(1) 已知两端一阶导数值，即,(2) 已知两端二阶导数值，即,特殊情况为自然边界条件,(3) 周期边界条件(y0=yn), 即,2.6.2 样条插值函数的建立,构造满足插值条件及相应边界条件的三次样条插值函数S(x)的表达式可以有多种方法.,方法1因为S(x)在xi , xi+1上是次数不超过3的多项式, 所以可以设,为参数, 这种通过确定Mi 来求 S(x) 的方法称为三弯矩法。,在xi ,

34、 xi+1上是一次多项式, 且可表示为,对 积分两次并利用S(xi)=yi和S(xi+1)=yi+1定出积分常数得,对S(x)求导得,所以,(i=1, 2, ., n-1),由,得,其中,由公式,1. 第一种边界条件,得,得,从中解出Mi (i=0,1,.,n) 得三次样条函数S(x).,从中解出Mi(i=1,2,.,n-1)得三次样条函数S(x).,2、对第二种边界条件(6.4),3、对第三种边界条件(6.5)周期函数 有 M0 =Mn ，,整理得,其中,从中解出Mi(i=1,2,.,n) 得三次样条函数S(x).,线性方程组(6.13), (6.14.1)和(6.16)是关于Mi的三对角线

35、性方程组，Mi在力学上解释为细梁在xi截面处的弯矩，称为S(x)的矩. 线性方程组(6.13), (6.14.1)和(6.16)称为三弯矩方程. 方程组(6.13), (6.14.1)和(6.16)的系数矩阵中元素i ,i已完全确定. 并且满足i0,i0,i+i=1,. 因此系数矩阵为严格对角占优矩阵，从而方程组6.13), (6.14.1)和(6.16)有唯一解. 求解方法可见5.3节追赶法，将解得结果代入(6.8)式即可得S(x).,例7 设f(x)为定义在27.7, 30上的函数，在节点及函数值为,试求满足边界条件S(27.7)=3.0, S(30)=-4.0的三次样条函数S(x).,解

36、 由条件知 h0=0.3, h1=h2=1,由此得矩阵形式的线性方程组(6.13)为,2.6.3 误差界与收敛性,三次样条函数的收敛性与误差估计比较复杂，这里不加证明地给出一个主要结果.,定理5 设f(x)C4a, b，S(x)为满足第一种或第二种边界条件(6.3)或(6.4)的三次样条函数，则有估计式,其中,误差有如下估计式,设f(x)在a, b上有直到四阶的连续导数，有,这个定理不但给出了三次样条插值函数S(x)的误差估计，而且说明了一致收敛性，即有,补充介绍 三转角方程,所以,同理,同三弯矩方程一样，有三种条件：,1、已知,其中：,由S(x)二阶连续可微，即,则方程组化为：,即矩阵形式为：,3、已知,则有：,