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1、第五章 极点配置与观测器设计,5.1 概述5.2 单输入系统的极点配置5.3 多输入系统的极点配置5.4 观测器及其设计方法5.5 用状态观测器的反馈系统,第一节 概述,一、问题的提出,系统的描述主要解决系统的建模、各种数学模型(时域、频域、内部、外部描述)之间的相互转换等；系统的分析，则主要研究系统的定量变化规律(如状态方程的解，即系统的运动分析等)和定性行为(如能控性、能观测性、稳定性等)。综合与设计问题则与此相反，即在已知系统结构和参数(被控系统数学模型)的基础上，寻求控制规律，以使系统具有某种期望的性能。,一般说来，这种控制规律常取反馈形式，因为无论是在抗干扰性或鲁棒性能方面，反馈闭环
2、系统的性能都远优于非反馈或开环系统。在本章中，我们将以状态空间描述和状态空间方法为基础，仍然在时域中讨论线性反馈控制规律的综合与设计方法。,由于系统的极点决定系统的稳定性，因此，为了改善系统的动态性能，可以通过构造状态反馈来调整系统的极点。,二、状态反馈与输出反馈的形式,1.状态反馈,反馈规律,开环系统：,状态反馈后的闭环系统：,开环极点：,闭环极点：,2.输出反馈,问题：,1.状态反馈会不会改变系统的能控性？状态反馈会不会改变系统的能观性？2.是否所有的系统都可以通过状态反馈任意配置极点？若不可以，什么条件下，可任意配置极点？什么条件下，不可任意配置极点？不能任意配置极点时，能否部分配置极点
3、使闭环稳定？3.如何选择K？4.如何实现状态反馈？,定理5-1：开环系统完全能控 经过状态反馈后的闭环系统完全能控。即：,因为：,开环系统完全能控 闭环系统完全能控,即，状态反馈不改变系统的能控性 但状态反馈改变系统的能观性,举例：,能控,能观系统,取状态反馈:,能控,不能观,系统开环极点：,状态反馈律：,系统闭环极点：,其中：,开环能控极点可任意配置,开环不能控极点无法改变,从而有如下结论：1.状态反馈只改变能控性极点；2.只有开环系统完全能控时，所有的极点都可改变，即开环系统完全能控时，可任意配置极点；3.不能控极点不稳定时（不能控极点有实部0），无论如何选择K，闭环系统都不会稳定；,4.
4、只有不能控部分都具有负实部（此时称能稳系统），反馈才有意义。,定理5-2：能任意配置极点 开环系统完全能控。,推理5-1：当开环不完全能控，能通过状态反馈使闭环稳定 不能控极点具有负实部。,第二节 单输入系统的极点配置,开环系统：,（完全能控）,状态反馈：,闭环系统：,若希望(给定)闭环极点多项式为：,进行状态反馈后，应该有：,即：,例：,分析：,一、能控标准形的极点配置,设n阶系统为：,开环极点多项式：,希望闭环极点多项式：,设反馈增益矩阵：,闭环系统为：,仍为底友阵,闭环极点多项式：,应有：,即：用开环极点多项式系数闭环极点多项式系数，从常数项开始,归纳步骤：,例：,解：,由劳斯判据，显然
5、开环不稳定。,例：,能控标准形,要求闭环满足：,根据闭环指标，选闭环系统极点,设闭环极点多项式：,超调量：,峰值时间：,阻尼振荡频率：,则由自控知识：,取：,满足要求,开环系统：,二、非能控标准形的极点配置,开环系统：,状态反馈：,闭环系统：,希望极点：,化能控标准形,归纳步骤：,P的求法：,方法一：,方法二：,第三章方法,MATLAB中采用,例：,解：,容易验证系统是能控的，但不是能控标准形,（4）求变换矩阵P,第三节 多输入系统的极点配置,一、(A,B)能控,极点配置是找适当K，使：,若(A,b1)能控，即：,对(A,b1)完全能控，找 行向量，使,为希望的极点。,其余不妨取：,则：,但存
6、在问题:(A,B)能控时，不能得证(A,b1)能控。,解决办法:,定理5-3给出了证明。（略）,能控,重排Qc：,顺序选n个线性无关列向量构成Q：,满足：,Q：nn阶满秩阵,构造：,练习Q,S的取法：,例:,取4个线性无关的列向量构成Q,有：,例:,取4个线性无关的列向量构成Q,有：,例:,不用反馈，对第一输入就是能控。,设计步骤:,判断(A,b1)是否完全能控，是则直接反馈求k1；否则:,定理5-4,注意：,例：,解：显然(A,B)能控，(A,b1)不完全能控。,例：,解：显然(A,B)能控，(A,b1)不完全能控。,例：,解：,二、(A,B)不完全能控,说明只能对能控部分配置极点,归纳：,
7、例：,例：,(1)能控性分解,返回原坐标系，可得所求状态反馈为：,第四节 观测器及其设计方法,状态观测器实质状态估计器(或动态补偿器)。利用被控对象的输入和输出对状态进行估计，从而解决某些状态变量不能直接测量的难题。,一、开环观测器,最简单、直观的想法是用仿真技术构造一个和上述系统一样的系统，为：,构造状态观测器的目的是 z 可以逼近 x，则最终两者误差应趋于零。,估计器的初始状态(任意)要与系统的初始状态完全一致。,所以，开环观测器在实际应用上无意义。原因：没有反馈,二、闭环观测器,开环系统:只利用了系统的输入信息，没有考虑输出信息；闭环系统:利用输出估计误差作反馈，构成一闭环系统。,整理：
8、,定理5-6：系统存在观测器，且观测器极点可任意配置的充要条件是系统完全能观。,推理5-2：若系统是不完全能观的，则其存在观测器的充要条件是不能观部分的极点具有负实部，称其为能检的。,开环观测器结构图,-,状态估计值,闭环观测器结构图,三、状态观测器设计,1.全阶观测器,定义:如果系统的全部状态x都用观测器的输出z接近，则由于系统是n阶的，那么 也是的方阵。观测器即为n维全阶观测器。,设计思路：利用对偶系统来考虑,总结：,求其对偶系统,例：,解：,例：,解：,对偶系统：,2.降阶观测器,考虑系统C阵为如下形式：,那么利用已知的，不通过反馈，比估计值更精确。即：只由观测器估计x中其它n-p个未知
9、的状态。为此设计的观测器即为降阶观测器。,设计思路：,对于单输出系统，降阶观测器为n-1维。,展开：,(a),(b),(c),(d),(c)(b)为：,降阶观测器方程为：,多输出系统降维观测器设计步骤：,例：,解：,直接利用步骤(4)-(7)计算，无需进行线性变换,例：,解：,单输出 p=1,C1,C2,第五节 用状态观测器的反馈系统,一、用状态观测器的反馈系统性能讨论,在系统实际执行状态反馈时，并不是由被控系统的状态x作状态反馈，而是由其估计值z作反馈。这样的反馈比直接反馈要复杂。,状态观测器为：,问题：,1.当初配置极点时，只考虑系统本身，并没有考虑带有观测器的系统。原来配置的闭环极点会不
10、会受观测器影响而发生变化？2.设计观测器时也是单独进行，这样将两者放在一起，会不会改变观测器性能？下面以全阶观测器为例分析这样的系统，对用最低阶观测器分析结果一样。,(1),(2),(3),(4),(4)代入(1)，(3)；(2)代入(3)得：,矩阵形式：,(*),(6),(5),(6)(5)得：,调整(5)式得：,写成矩阵形式：,图形说明：,结论：,闭环系统的维数是被控系统的维数+观测器维数。（用降阶观测器，结论一样）,闭环极点设计分离性,3.带观测器反馈系统的传函与不带观测器反馈系统传函一样。（传函不变性）,4.带观测器反馈系统的极点具有分离性，可分开独立设计。,5.观测器反馈与直接状态反
11、馈的等效性。,这样，设计时分两部分独立设计，为设计带来方便。带观测器反馈系统的鲁棒性较直接反馈差。鲁棒性：当系统参数有变动时，仍有良好性能（抗干扰能力）。通常，取观测器的极点比闭环极点远23倍。即：,如：,则：,二、动态补偿器的设计,稳定,动态补偿器,问题：当x不能直接反馈时，可用x的估计值z代替，则补偿器为：,带观测器的动态补偿系统,这样设计的系统可以获得稳定的极点，使系统还稳定。设计时，闭环极点与观测器极点具有分离性，分开来设计，最后只不过只用 即可。(),动态补偿器：,例：,解：,设计一个二阶输出动态补偿器，使闭环极点为-1，-2；-3，-3,容易验证系统是能控且能观的，故可设计输出动态反馈，使闭环系统的极点能任意配置，分两步进行：,（1）根据状态反馈配置极点的方法，使闭环系统的极点为-1，-2。,故原系统的状态反馈为：,（2）根据观测器设计方法为对象设计二阶观测器，使观测器的极点为-3，-3。,原系统的对偶系统为：,系统的观测器方程为：,带观测器的输出动态补偿器为：,由此可得在此动态补偿器作用下的闭环系统空间表达式：,例：,解：可以设计最低阶观测器,(2)作最低阶观测器，使极点-5,最低阶观测器：,(3)带观测器输出动态反馈为：,(4)输出动态补偿器：,(5)求在所求出的动态补偿器作用下的闭环系统。在降阶观测器作反馈时，,因此，闭环系统为：,
