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1、第十章 线性反馈系统的时间域综合,10.1 输出反馈与状态反馈 10.2 极点配置问题 10.3 状态重构与状态观测器设计 10.4 最优控制问题概论 10.5 MATLAB在线性反馈系统时间域综合中的应用 小结 习题,图 10-1 输出反馈系统结构图,图 10-2 状态反馈系统结构图,10.2 极点配置问题,系统的动态特性与系统极点在复平面上的分布密切相关。合理地配置极点的位置能获得满意的动态性能。所谓的极点配置问题,就是通过选取适当的状态反馈增益矩阵K,使闭环系统(A-BK,B,C)的极点,即A-BK的特征值恰好位于所希望的一组极点位置上。因为希望的极点具有任意性,所以极点的配置也应当做到
2、具有任意性。事实上,经典控制理论中采用的综合法,无论是根轨迹法还是频域法,从本质上讲都是一种极点配置方法。,证明 重点证明充分性。由于线性非奇异变换不改变矩阵的特征值,所以不妨设状态完全可控系统(A,B,C)的系数矩阵已经为可控标准型,即,其传递函数为,(3)由受控系统和闭环系统的传递函数G0(s)和GK(s)的表达式可知,对状态完全可控系统引入状态反馈,任意配置极点,并不改变其零点在复平面上的位置,即在按状态反馈组成的闭环系统中,其闭环零点等同于开环零点。,图 10-3 状态观测器结构图,10.3.2 状态观测器的设计问题 1.状态观测器极点任意配置的条件 定理10-2(观测器的存在条件)线
3、性定常系统(10.11)具有式(10.13)形式的状态观测器的充分必要条件是系统不可观部分是渐近稳定的。这个定理说明了一个线性定常系统如果其不可观部分的状态是渐近稳定的,则可以构造一个状态观测器来重构系统的实际状态,从而实现状态反馈。但是通常情况下,要求齐次方程(10.14)的解(10.15)尽快衰减,即希望重构状态 能在足够短的时间内趋近于x(t)。从线性系统时域分析的角度讲,这一过渡过程要求是由系统(10.14)的系统矩阵(AGC)的特征值(或系统极点)决定的。为了实现这一快速性要求,希望(AGC)的特征值或状态观测器的极点可以任意配置。,从线性代数的知识可知,矩阵(AGC)的特征值与其转
4、置矩阵(ATCTGT)的特征值相同。若记ATA1,CTB1,GTK,则(ATCTGT)的特征值就是(A1B1K)的特征值。由10.2节的极点配置定理可知,存在一个线性状态反馈矩阵K使系统极点可以任意配置的充分必要条件是系统(A1,B1)完全可控,即(AT,CT)完全可控。根据对偶原理,系统(AT,GT)完全可控等价于系统(A,C)完全可观。因此有如下定理：,定理10-3(状态观测器极点任意配置定理)线性定常系统(10.11),如果其状态观测器的状态方程为(10.13),则状态观测器可以任意配置极点,即具有任意逼近速度的充分必要条件是系统(10.11)状态完全可观。这个定理是线性状态反馈系统(A
5、BK,B,C)极点任意配置定理的对偶形式,其证明与定理10-1类似,并且对于单变量系统有如下结论:如果单变量系统(A,B,C)已经为可观标准型形式,设系统矩阵A的特征方程式为,解 状态观测器的任意极点配置要求系统是状态完全可观的。所以首先应当检测系统的状态可观性。如果系统可观,并已经具有可观标准型,则可以利用系统的特征方程和以希望配置极点为根的多项式,根据式(10.17)就可以确定状态观测器的反馈矩阵G,从而确定系统的状态观测器方程。对于不具有可观标准型的系统,可采用如下的方法设计状态观测器:,确定变换矩阵T。根据第九章化可观标准型的方法,变换矩阵T可确定如下:,2.带状态观测器的闭环控制系统
6、,图 10-4 带状态观测器的闭环控制系统结构图,由于通常要求状态观测器的输出重构状态能快速地逼近系统的实际状态,在状态观测器的极点配置时常常要求观测器的特征值远离虚轴,但是考虑到抗干扰能力,又不能使观测器的极点过于远离虚轴,因此要在快速性和抗干扰性之间进行权衡。按照一般的工程经验,状态观测器的极点距虚轴的距离为系统希望极点距虚轴距离的5倍以上。,10.4 最优控制问题概论,最优控制是现代控制理论的核心。最优控制研究的主要问题是:根据已经建立的被控对象的数学模型,选择一个容许的控制规律,使得被控对象按预定的要求运行,并使给定的某一性能指标达到最优值(极大值或极小值)。如果设计的控制系统可以使某
7、个性能指标达到最佳值,则这个控制系统就称为最优控制系统。在最优控制中,性能指标的确定是一个比较复杂的实际问题。最常用的性能指标是由状态变量和控制变量的二次型函数的积分表示的,这也是一种常见的最优状态调节器问题。,图 10-5 例 10-4 最优控制系统结构图,10.5 MATLAB在线性反馈系统时间域,1.极点配置 设A、B分别为系统矩阵和输入矩阵,p是指定的一组极点,状态反馈控制u-Kx。MATLAB函数Kplace(A,B,p)或Kacker(A,B,p)可求得反馈矩阵K,实现极点配置。其中place()可求解多变量系统,但不适用于多重极点的情况;acker()可求解多重极点,但不能求解多
8、变量系统。,解 求解此例的MATLAB程序如下:%ex-10-5 A=0 1 0;0 0 1;0-2-3;B=0;0;1;p=-5;-2+2i;-2-2i;K=place(A,B,p)运行结果为 K=40.0000 26.0000 6.0000,解 设计此给定系统状态观测器的MATLAB程序如下:%ex-10-6 A=0 1;-2-3;B=0;1;C=2 0;A1=A;B1=C;C1=B;p=-3-3;K=acker(A1,B1,p);G=K程序运行结果为 G=1.5000-1.0000,解 求解此问题的MATLAB程序如下:%ex-10-7 A=0 1;0-5;B=0;1;C=1 0;A1=
9、A;B1=C;C1=B;ps=-1+i-1-i;po=-5-5;K=acker(A,B,ps)G1=acker(A1,B1,po);G=G1运行结果为 K=2-3 G=5 0,程序运行结果为 K1=100.0000 53.1200 11.6711 K2=10.0000 16.5022 8.9166,小 结,本章从状态空间的角度研究了线性反馈控制系统的时间域综合问题。所讨论的主要内容有以下几个方面:(1)反馈的两种基本形式。系统的反馈量可以是系统输出,也可以是系统的内部状态,相应的反馈形式分别称为输出反馈和状态反馈。以传递函数为基础的数学模型,由于只研究系统的输入输出特性,因此采用的反馈形式是输
10、出反馈。而以状态空间表达式描述的系统,以反映系统的内部特性,在满足一定的条件时,可以将系统的状态变量作为反馈量,构成状态反馈。状态反馈提供的信息远多于输出反馈提供的信息,因此通常情况下,采用状态反馈控制方式可以取得比较好的控制效果。,(2)线性定常系统的极点配置问题。系统的极点在一定程度上反映了系统的性能要求,如果通过某种控制策略能使闭环系统的极点与希望的极点重合,那么就可以保证闭环系统具有期望的性能。线性定常系统的极点配置就是在状态反馈控制策略下,使得系统闭环极点与期望极点重合。线性定常系统极点任意配置的条件是系统状态完全可控。,(3)状态重构和状态观测器设计问题。状态反馈可以获得比较好的闭
11、环系统特性,但是如果系统的内部状态不可直接测量,就需要根据一定的等价指标重构系统的状态。实现状态重构的装置称为状态观测器。由于要求重构状态能快速地反映系统的真实状态,所以对状态观测器提出了一定的设计要求,这一要求通常也可以通过一组希望的观测器极点来体现。状态观测器极点任意配置的条件是控制对象状态完全可观。,(4)二次型性能指标的最优控制问题。最优控制是现代控制理论中很重要的一个内容。一个最优控制系统可以使被控系统按照一定的要求运行,并且实现某个性能指标最优。系统状态和控制量的二次型积分函数是一种典型的性能指标。在这种性能指标的要求下,系统的最优性可以通过求解一个代数黎卡提方程的解,利用一定的状
12、态反馈方式实现,这也是常见的最优状态调节器问题。(5)MATLAB在线性反馈控制系统时间域综合中的应用。线性系统极点配置、状态观测器设计以及最优状态调节器问题都可以通过MATLAB提供的函数实现。本章通过几个例子说明了MATLAB在线性反馈控制系统时间域综合中的应用。,习 题10-1 线性定常系统的传递函数和希望配置的极点如下,试分别确定反馈矩阵K。(1)，希望的极点位置为(-4,-1j)。(2)，希望的极点位置为(-3,-12 j)。,10-2 线性定常系统的传递函数为试用状态反馈构成闭环系统,并计算当状态反馈系统具有阻尼比及无阻尼振荡频率时的反馈矩阵K。10-3 已知受控对象的系数矩阵为设
13、计状态反馈矩阵K,使闭环极点为(-4,-5)。,10-4 设系统的状态方程为能否通过状态反馈任意配置极点？如果可以,设指定闭环极点为(-10,-1j),求状态反馈矩阵K,并画出反馈系统的结构图。,10-5 对于如下系统,请分别设计全维状态观测器,使其极点处在指定位置：(1)x，观测器极点为(-1,-1)。(2)x，观测器极点为(-5,-5)。(3)x，观测器极点为(-3,-3,-4)。,(4)x，观测器极点为(-1,-1,-2)。(5)x，观测器极点为(-3,-4,-5)。,10-6 已知系统的传递函数为(1)若状态不能直接量测到,试采用全维观测器实现状态反馈控制,使闭环系统的传递函数为取观测器的极点为(-5,-5)。(2)画出闭环系统的结构图。,10-7 控制对象的状态方程与输出方程为试设计全维状态观测器,并用重构状态进行状态反馈,使系统的闭环极点为(-5j4),观测器的极点为(-20,-25)。,10-8 设系统的状态方程为系统的性能指标为其中q0,r0。求最优控制u(t)使得J最小。,10-9 设系统的状态方程为性能指标为求最优控制u(t)使得J最小。10-10 试用MATLAB求解习题10-1。10-11 试用MATLAB求解习题10-5。10-12 试用MATLAB求解习题10-7。10-13 试用MATLAB求解习题10-9。,
