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1、第九章,多元函数的基本概念,多元函数的微分法则,多元函数微分学的应用,多元函数微分法,及其应用,上页 下页 返回 结束,预备知识,多元函数的极限,第九章 多元函数微分法,多元函数的连续性,第一节,上页 下页 返回 结束,多元函数的基本概念,多元函数的概念,1.邻域,一、预备知识,设P0(x0，y0)是x o y 平面上的一个点，是某一正数，与点P0(x0，y0)的距离小于的点P（x，y）的全体，称为点P0（x0，y0）的邻域，记为U(P0,)，即,上页 下页 返回 结束,2.区域,（1）内点和开集,设E 是平面上的一个点集，P是平面上的一个点。如果存在点 P 的某一邻域U(P)E，则称P为E
2、的内点.,E 的内点属于E.,如果属于点集E 的点都是内点，则称E为开集.,上页 下页 返回 结束,（2）边界点和边界,如果点P 的任一个邻域内既有属于E 的点，也有不属于E 的点（点P 本身可以属于E，也可以不属于E），则称P 为E 的边界点.,E 的边界点的全体为E 的边界.,上页 下页 返回 结束,说明：,E 的边界点可能属于E，也可能不属于E.,例如,对于集合,E 的边界为,其中边界点,都不属于E，,而边界点,都属于E.,上页 下页 返回 结束,D,（3）连通,设D是点集，如果对于D内任何两点，都可用折线连接起来，且该折线上的点都属于D，则称点集D是连通的。,（4）开区域和闭区域,连通
3、的开集称为区域或开区域,开区域连同它的边界一起所构成的点集称为闭区域,上页 下页 返回 结束,例如，,开区域,闭区域,上页 下页 返回 结束,整个平面,点集,是开集，,是最大的开区域,也是最大的闭区域；,但非区域.,E U（O，r），其中O 是坐标原点，则称E为有界集.否则称E为无界集.,（5）有界集与无界集,对于平面点集E,若存在某一正数 r,使得,上页 下页 返回 结束,是有界闭区域；,是无界开区域,例如，,上页 下页 返回 结束,（6）聚点,内点一定是聚点；,说明：,边界点一定是聚点；,设E是平面上的一个点集，P是平面上的一个点，如果点P的任何一个邻域内总有无限多个点属于点集E，则称P为
4、E 的聚点。,点集E 的聚点可以属于E，也可以不属于E,上页 下页 返回 结束,3.n维空间,设n为取定的一个自然数，我们用Rn表示n 元有序数组 的全体所构成的集合，称其为n 维空间，即,上页 下页 返回 结束,从而可定义n 维空间中的领域、内点、边界点、区域、聚点等概念,下面给出 n 维空间中两点间距离公式的定义.,特殊地当 时，便为数轴、平面、空间两点间的距离,定义这两点的距离公式为,定义：,上页 下页 返回 结束,二、多元函数的概念,引例:,圆柱体的体积,长方体的质量,三角形面积的海伦公式,记密度为d,上页 下页 返回 结束,设 D 是R 2 的一个非空子集，若存在对应法则 f，,点集
5、 D 称为函数的定义域;,数集,称为函数的值域.,则称 f 为定义在 D 上的 二元函数,记作,上页 下页 返回 结束,对任意的,总有唯一确定的z 值与之对应，,定义,x,y 称为自变量,z 称为因变量;,例如，二元函数,定义域为,圆域,2.二元函数 z=f(x,y),(x,y)D,图形为中心在原点的上半球面.,的图形一般为空间曲面.,上页 下页 返回 结束,注：1.类似可定义三元函数以及三元以上的函数.,二元及二元以上的函数统称为多元函数.,例1 求 的定义域,解,所求定义域为,上页 下页 返回 结束,三、二元函数的极限,定义：,为 D 的聚点，若 D 中的点P(x,y)按任意方式趋于P0时
6、，,上页 下页 返回 结束,函数f(x,y)总趋向于某个确定的数值A，则称 A 为函数,时的极限（二重极限），,f(x,y)当,或,或,设二元函数 f(P)=f(x,y)的定义域为D，P0(x0,y0),定义(略),记作,上页 下页 返回 结束,注：1.上述二重极限存在与否与f(x,y)在P0(x0,y0)是否有定义无关.,表示点P 以任何方式趋向于,时函数的极限值都等于A.,选择一条路径，使得极限不存在；,故验证二重极限,不存在，方法有二：,选择不同路径，使得极限不相等.,2.,解 沿曲线,不存在.,取极限,故原极限不存在.,例1.验证极限,上页 下页 返回 结束,取 P(x,y)沿直线 y
7、=k x3 趋于点(0,0),则有,在点(0,0)的极限.,k 值不同，极限值不同!,在(0,0)点极限不存在.,例2.讨论函数,上页 下页 返回 结束,解：,二元函数极限的四则运算法则、夹逼准则等均与一元函数类似，可借助一元函数求极限的方法求一些简单的二元函数的极限.,例4.求极限：,解：,原式,上页 下页 返回 结束,例3.求极限：,解：,（注：不能用取特殊路径来求极限值！）,解 原式,例5.,求极限,上页 下页 返回 结束,有理化,注：二元函数求极限不能用洛比达法则.,例6.函数,解：,由夹逼准则，得,，求,四、二元函数的连续性,设二元函数 f(P)=f(x,y)的定义域为 D,如果,则
8、称函数 f(x,y)在点P0(x0,y0)连续.若f(x,y)在点,上页 下页 返回 结束,定义：,P0(x0,y0)不连续,则称 P(x0,y0)为函数的间断点.,例如,函数,在点(0,0)极限不存在,又如,函数,上间断.,故(0,0)为其间断点.,在圆周,上页 下页 返回 结束,见例2,注：二元函数的间断点可能为孤立点或一条曲线.,上页 下页 返回 结束,区域上连续函数的图形是一张没有点洞，也没有裂缝的连续曲面.,如果函数在D 上各点处都连续,则称此函数在D上连续.,定理 一切多元初等函数在定义区域内连续.,性质1（有界性与最大最小值定理）,闭区域上多元连续函数的性质:,上页 下页 返回 结束,在有界闭区域D上的多元连续函数，必在D上有界，,且能取得它的最大值和最小值.,性质2（介值定理）,在有界闭区域D上的多元连续函数必取得介于最大,值和最小值之间的任何值.,多元函数极限的概念,多元函数连续的概念,闭区域上连续函数的性质,（注意趋近方式的任意性）,多元函数的定义,内容小结,思考题,若点（x,y）沿着无数多条平面曲线趋向于点（x0,y0）,时，函数 f（x,y）都趋向于A，能否断定,？,
