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1、3 e(a) kk!f(k )(a)kT8 (a) k对于n元函数，有误差估计e(U) q 步(aa2,., a) e(a) dxii =1i,a，a ),；若一阶偏导全为零或很8 (U) Ri=12dxi1.2误差知识与算法知识1.2.2绝对误差、相对误差与有效数字设a是准确值工的一个近似值，记e = x - a，称e为近似值a的绝对误差，简称误差。如果I e I的一个上界已知，记为，即I e 1，则称8为近似值a的绝对误差限或绝对误差界，简称误差限或误差界。记e = e = 二，称e为近似值a的相对误差。由于x未知，实际上总把e作为a的 r x x rae x a8相对误差，并且也记为e,
2、=-=一厂，相对误差一般用百分比表示。|e,|的上界，即8广 称为近似值a的相对误差限或相对误差界。定义 设数a是数x的近似值。如果a的绝对误差限时它的某一位的半个单位，并且从该位 到它的第一位非零数字共有n位，则称用a近似x时具有n位有效数字。1.2.3函数求值的误差估计一 . . . 一设u = f (x)存在足够高阶的导数，a是x的近似值，则u = f (a)是u = f (x)的近似值。e(u)牝 f，(a)e(a) 若f (a)。0且1 f (a) I/I f(a) I不很大，则有误差估计8 (U) |f (a) |8 (a)f 5(a) / f (k)(a) 不很若 f (a) =
3、 f (a) =. = f (k-1)(a) = 0, f (k)(a)。0，且比值e(U)牝大，则有误差估计8 (U)牝小，则要使用高阶项。1.2.4(1)算法及其计算复杂性要有数值稳定性，即能控制舍入误差的传播。(2) 两数相加要防止较小的数加不到较大的数中所引起的严重后果。(3) 要尽量避免两个相近的近似值相减，以免严重损失有效数字。(4) 除法运算中，要尽量避免除数的绝对值远远小于被除数的绝对值。1.3向量范数与矩阵范数1.3.1向量范数定义定义在Rn上的实值函数| H|称为向量范数，如果对于Rn中的任意向量x和y满足:(1)正定性：IIx|槌0，当且仅当x = 0时，|x| = 0
4、；（2）齐次性：对任一数k e R， 有| |kx| = |k|x|； （3）成立三角不等式：|k+Ml H+|圳。定理L1对R中的任一向量H = H %，记HHq h.i=1|圳=才x221i=1=max h31z n 1则I对，IHI2和眺 都是向量范数。定理12设|、和|p是Rn上的任意两种向量范数，则存在与向量H无关的常数m和 M（0vmvM），使下列关系式成立|H IHII M IHI , Vx e Rn1.3.2定义矩阵范数定义在Rnxn上的实值函数|称为矩阵范数，如果对于Rnxn中的任意矩阵A和B满足:(1)A J NO，当且仅当 A = 0 时，| A| = 0 ；(2)对任一
5、数k e R，有 |kA = |k|A|；(3)IA + 可 W| +|网|;(4)网 9AUBII。定义对于给定的向量范数| H|和矩阵范数|H|，如果对于任一个xe Rn和任一个A e Rnxn满 足|Ax|A|H，则称所给的矩阵范数与向量范数是相容的。定理1.3设在Rn种给定了一种向量范数，对任一矩阵A e Rnxn，令|a| = max|Ax|，则由H=1此定义的I HI是一种矩阵范数，并且它与所给定的向量范数相容。定理 1.4 设 A = % e Rnxn，贝g|A| = max 乎a5 i=i|眺0 max(心)| A = max 才KM j=aij其中人(Ar A)表示矩阵ArA
6、的最大特征值(AA是正定或半正定矩阵，它的全部特征值 max非负)。还有一种常见的矩阵范数IAL =螺a2，且与向量范数11|2相容，但是不从属于任何j=1向量范数。单位矩阵I的任何一种算子范数|/|maxl 闵 T。IX Li定理1.5设矩阵A e Rnx的某种范数A 2)有唯一的Doolittle分解的充分必要条件是A的前n-1个顺序主子式 D。0,(k = 1,2,.,n 1)。k推论矩阵A = aJnxn(n 2)有唯一的Crout分解的充分必要条件是A的前n-1个顺序主子 式 Dk。0,(k = 1,2,., n 1)。2.2.2选主元的Doolittle分解法定理24若矩阵A e
7、Rnxn非奇异，则存在置换矩阵Q,使QA可做Doolittle分解。2.2.3三角分解法解带状线性方程组定理2.5(保带状结构的三角分解)设A =叩心是上半带宽为s、下半带宽为r的带状矩阵， 且A的前n-1个顺序主子式均不为零，则A有唯一的Doolittle分解a a111,s+1a.A = nJ . an-s ,na . an ,n-r1-u u . u11121,s+1l 1. .2,1. u=n-snl .r +1,1. un - 1,nl. l1un,n-rn,n-1nn为节省空间，用C(m,n)存储A的带内元素，其中m=r+s+1，并且 *5+1”。2.2.5拟三对角线性方程组的求解
8、方法a c11d2a2 c2dn-1cnP1d2. dn - 1r . r2n-2q2s1s2n-21sn-2sn - 112.3矩阵的条件数与病态线性方程组2.3.1矩阵的条件数与线性方程组的性态定义对非奇异矩阵A，称量II A Illi A-1II为矩阵A的条件数，记作cond( A) =11 A Illi A-1II。矩阵A的条件数与所取的矩阵范数有关，常用的条件数是cond( A) =11 AII II A-1II , cond( A) =11 AII II A-1II888222性质1对任何非奇异矩阵A, cond( A) 1。性质2设A是非奇异矩阵，k 0是常数，则有cond(kA
9、) = cond( A)。人性质3设A是非奇异的是对称矩阵，则有cond(A)2 = -b，其中和分别是矩阵A的 n模为最大和模为最小的特征值。性质4设A是正交矩阵，则有cond( A)2=1。2.3.2关于病态线性方程组的求解问题(1) 米用高精度的算术运算。(2) 平衡方法(行平衡，取每行绝对值最大数的倒数组成对角阵，乘在原方程左右两边)。(3) 残差校正。2.4迭代法2.4.1迭代法的一般形式及其收敛性X (k+1)= Gx (k) + d (k = 0,1,.)定义设nxn矩阵G的特征值是-,-，,-，称P(G) = maxI - I为矩阵G的谱半径。1 2 n1i n 定理2.9对任
10、意的向量d，迭代法收敛的充分必要条件是P (G) 1。定理29如果矩阵G的某种范数IIGIIV1，则 (1)方程组的解x *存在且唯一;(2)对于迭代公式，有limx(k) = x*, Vx(0) e R，且下列两式成立 k sIIG IIkII x(k) - x*IIII x一x(0) II1- II GIIIIGIIII x(k) 一 x* II II x(k) 一 x(k-1) II1- II G II2.4.2 Jacobi 迭代法A = D + L + Ux (k+1) = 一 D-1 (L + U) x (k) + D-1b(k = 0,1,.)G =- D-1( L + U) j
11、定理210 Jacobi迭代法收敛的充分必要条件是P (G 1。定理211如果IIGjII 1，则Jacobi迭代法收敛。引理21若矩阵A e Rnxn是主对角线按行(或按列)严格占优阵，则A是非奇异矩阵。定理2.12如果方程组的系数矩阵式主对角线按行(或按列)严格占优阵，则用Jacobi迭代法 求解必收敛。2.4.3 Gauss-Seidel 迭代法A = D + L + Ux( s) = (D + L)-iUx( k)+ (D + L)-1 b(k = 0,1,.)G =-( D + L)-1U G定理213 GS迭代法收敛的充分必要条件是P (Gg) 1。定理214如果IIGgII 1，
12、则Jacobi迭代法收敛。定理2.15如果方程组的系数矩阵式主对角线按行(或按列)严格占优阵，则用GS法求解必收 敛。定理2.16如果方程组的系数矩阵A是正定矩阵，则用GS法求解必收敛。2.4.4逐次超松弛迭代法A = -1 D + L + (1-1) D + UX (k+1) =-(L D + L)-1(1-1) D + U X (k) + (1D + L)-1 b( k = 0,1,.) -G =-(- D + L)-1(1- -) D + U s 实际使用的形式 x(k+1) = D-1Lx(k+1) (1- ) I + D-1U x(k) + D-1b(k = 0,1,.)j=i+1a
13、 b 、 lx(k) + (k = 0,1,.) aj aSa1、_ _，一、 一 x(k+1) (1-)x(k)一、,a j/j=1 ii定理2J7 SOR方法收敛的充分必要条件是P (Gs) 1。定理2.18如果IIGJI 1，则SOR方法收敛。定理219 SOR方法收敛的必要条件是0 VV 2。定理2.20如果方程组的系数矩阵A是主对角线按行(或按列)严格占优阵，则用0 V 0,1 一 p + q 0*A为正定矩阵o A的各阶顺序主子式全大于零。3.1幂法和反幂法3.1.1幕法(用于计算矩阵的按模为最大的特征值和相应的特征向量) 第一种慕法迭代格式：V。e Rn & u0 丰 0七-i
14、=一 13 Lk 一i/ 七 一 iu = Aykk-1P = yT u kk -1 k、（k = 1,2,.）第二种幂法迭代格式：Vu =（h（0）,.,h（0）T & u 001n0I h（k-1）|= max I h（k-1）|1* y = u /1 h（k-1）Iu = Ay = （h（ k）,.,h（ k）tP = sgn（hk-1）h（ k）（k = 1,2,.jP作为人的近似值，y作为A的属于人的特征向量。 k1k-113.1.2反幕法第一种反幂法迭代格式：Vu e Rn & u 丰 0气-1 =小；-1。-1，*-1 = uk-1/1-1 Auk = yk-1 p = yT u
15、kk-1 k(k = 1,2,.)-作为人的近似值，y 作为a的属于人的特征向量。还可以用带原点平移的反幂法求 nk-1nk矩阵A的某个特征值气。3.3 QR方法3.3.1矩阵的QR分解设v e Rn是单位向量，令H = I 2vvT，则H是对称正交矩阵，称为Householder矩阵。引理3.1设有非零向量s e Rn和单位向量e e Rn，必存在Householder矩阵H，使得s 一以eHs =a e，其中a是实数，并且I a |=sTs。(可取v =, ，)：( s a e)T (s a e)定理3.2任何nxn实矩阵A总可以分解为一个正交矩阵Q与一个上三角矩阵R的乘积。设a1(i =
16、 2,3,., n)不全为零，令s = (a ,., a )c1 = - sgn( a1 1；sTs1 (取 sgn(0) = - 1)u = s - c ei i i iH = I - 2u ut / (utu )1111a (2).a (2)121n.iA = H A =0 a.an 2nn对第 j 列，a (i = j +1,.,n)不全为零，令s = (0,.,0, a(j),.,a(j)t，并继续计算。最终得到A = H H.H A是一个上三角矩阵。则Q = H H .H,R = A，且nn-1 n - 211 2n-1nA = QR。3.3.2矩阵的拟上三角化设ai = 3,4,.
17、, n)不全为零，令s = (0,a ,., a )tc = -sgn(a )lls II (取 sgn(0) = - 1 )12112H = I - 2u ut / (utu )11111a a .a c.1A(2)=气 A = 0.0 a .a n 2nn对第 j 列，a.(i = j + 2,.,n)不全为零，令s. = (0,.Q a(* .,.,a(j)t，并继续计算。最终得到人(n-1) = H.H H AH H .H为拟上三角矩阵，令P = H H .H ，n-22112n - 212n - 2则 A(n-1) = PtAP。3.3.3带双步位移的QR方法基本QR方法的迭代公式是
18、A = A E Rnxnk Q/kAk 广 RQ、(k = 1,2,.)4.1非线性方程的迭代解法4.1.2简单迭代法及其收敛性定理4.1设函数中(x) E Ca,b,在(a,b)内可导，且满足两个条件：(1) 当 x e a, b时，中(x) e a, b；(2) 当 x e (a,b)时，I 甲(x) L 1,其中 L 为一常数。则有如下结论：(1) 方程x=(x)在区间a, b上有唯一的根s ；(2) 对任取x0 e a,b，简单迭代法xk+=9(xk)产生的序列xj u a, b且收敛于s ；(3) 成立误差估计式LIs-x II x - x Ik 1 - L 10I s-x I I
19、x - x Ik 1 - L kk-1定理4.2设s=?(s)，中(x)在包含s的某个开区间内连续。如果m (s)I 0，当x e s-5,s + 5时，由简单迭代法x =中(x )产生的序列x u s-5,s + 5且收敛 0k +1kk于s。4.1.3简单迭代法的收敛速度定理4.3设函数中(x) e Ca,b，中(x) e Ca,b，且满足如下条件：(1) 当 x e a, b时，中(x) e a, b；(2) 当 x e (a,b)时，中(x)。0，I 甲(x) I L 2)。如果甲(/)(s) = 0(i = 1,2,., m -1) 甲(m)(s)丰 0则存在6 0，当x0 e s-
20、6, s + 6 但x0丰s时，由简单迭代法x+1=9牌)产生的序列xj 以m阶收敛速度收敛于s。4.1.4 Steffensen 迭代法yk =9 *),匕=9 (yk)x = x - (气)2 (k = 0,1,.)k+1k z - 2 y + x定理4.5 （局部）设5=9 （s）,中3）在包含s的某个开区间内具有连续的二阶导数，并且片L则存在6 0，当x0 e s-6, s + 6 但x0 s时，由Steffensen迭代法产生的序列x 至少以二阶收敛速度收敛于s。 k4.1.5 Newton 法x = x - f(气)(k = 0,1,.)k+1k f(x )k定理4.6 （局部）
21、设s是方程f （x） = 0的根，在包含s的某个开区间内f （x）连续且广。0，则存在6 0，当x0 e s-6,s + 6 时，由Newton法产生的序列七收敛于s ； 若f，。0且x0 s，则序列气是平方收敛的。定理4.7（大范围）设函数f （x）在区间a,b上存在二阶连续导数，且满足条件:（1）f (a) f (b) 0。则由Newton法产生的序列x 单调收敛于方程f （x） = 0在a,b内唯一的根s，并且至少是 k平方收敛的。4.1.7割线法x = x - f L (k = 0,1,.)k+1k f (x ) - f (x )kk-1定理4.8设f (s) = 0 ,在s地某邻域内
22、f (x)连续且f(x)。0 ,则存在e 0 ,当 七,x0 e人时，由割线法产生的序列气收敛于s，且收敛速度的阶至少为1.618。4.1.8单点割线法xk+1(k = 1,2,.)定理4.9设函数f (x)在区间a,b上存在二阶连续导数，且满足条件: f (a) f (b) 0，f (x ) f (x ) 0。010001则有单点割线法产生的序列xj单调收敛于方程f (x) = 0在a,b内唯一的根s，并且收敛 速度是一阶的。4.2非线性方程组的迭代解法4.2.2简单迭代法定理4.13(压缩映像原理)设G : D u Rn Rn在闭区域D0 u D上满足两个条件：(1) G把D0映入它自身，
23、G(D0) u D0 ；(2) G在D0上是压缩映射，即存在常数L e (0,1)，使对任意的x, y e D，有II G(x) - G(y)ll LII x - y II则有下列结论：(1) 对任取的x(0) e D0，由迭代公式x(k+1) = G(x(k)(k = 0,1,.)产生的序列x(k) u D0，且收敛于方程组x = G(x)在D内的唯一解x*；0(2) 成立误差估计式II x* 一 x(k) II II x(1) 一 x(0) II1 - LII x* 一 x(k) II II x(k) 一 x(k-1) II1 - L定理4.14(局部)设G : D u Rn Rn，x*
24、e int(D)是方程组x = G(x)的解，G在x*处 可微。若 G (x*)的谱半径 p (G(x*) v 1,则存在开球 D0 = x III x - x*ll 0 u D , 使对任意的x(0) e D0，由迭代法x(k+d = G(x(k)(k = 0,1,.)产生的序列x(k) u D0且收敛 于x*。4.2.3 Newton 法x (k+1) = x (k) 一 F,(x(k)-i F(x(k)(k = 0,1,.)定理4.15设x* e int(D)是方程组F(x) = 0的解，F : D u Rn Rn在包含x*的某个开区 域S u D内连续可微，且F (x*)非奇异，则存在
25、闭球D0 = x Ill x- x* ll 0 u S， 使对任意的的x(0) e D0，由Newton法产生的序列x(k) u D0且超线性收敛于x*；若更有 F(x)在域S内二次连续可微，则序列x(k)至少是平方收敛的。5.1代数插值5.1.1 一元函数插值(Lagrange、Newton)定理5.1设x ,x，x是互异的实数，对于给定的实数x，实值函数f (t)在区间I上具有 01 nxn+1阶导数，则插值公式f (x) - Pn (x)的余项为f (n+1)(E )Rn=Wr 财x)其中 & e Ix 且依赖于 x，w +1(x) = (x 一 x0)(x - x1).(x - x )
26、。f (n+1) (& )* f x0, x1,., xn，x = 7n+UT , Ix定理5.2设x ,x，x是互异的实数，对于给定的实数x，实值函数f (t)在区间I上具有 01 nxm+n+2阶导数，H(x)则是满足条件Cm+n+1(/、七/)、的Hermite插m+n+1H(x ) = y ,(k = 0,1,.,m)m+n+1 l l值多项式，则用Hm+n+1(x)近似代替f (x)的余项为f (m+n+2)化)mr(x)=(x) n (x - x)(m + n + 2)! n+1k=0k其中&e Ix且依赖于x。5.3样条插值5.3.1样条函数定义步长为1、内节点等距的k次B样条c
27、 ,、1明，a.仕+北 左+ 1Q (X) ( 1)7(X +k k! jJ2j=077j),-oox时，13)三0；当Ev2上k + 1 t 亍时Q (%) 0。k定义 步长为h、内节点等距的k次B样条住+1) (-l)v .尤尤1 XiQ (i-(k-m )=乙k h khkj=o(X-X ),-00X+00ik+j +性质1对称轴为1=尤ox-x f= 0,x (x ,x ) 性质2 0() 0,x e (x ,x )ik z+1空间、常用的两组基底及表示L =Xk,(x-X )k,.(x-x )k )1 +n-1 +s(i) = q Xi +1 c x-x y a xb j k j j
28、 +7=07=1x XL =Q( ),a x b(j = Q,l,.,n + k -1)k hs(jr) = Yc Q ( ),axbj k h j=o5.3.3 B样条为基底的三次样条插值函数第一种边界条件s (x ) = y槌(% )=” ： 00 n nc =2c c + hy0120h2c =y y1 o 6 0如c =y - y+1n q nc = 2c -c +h2yn+2+1 nn解线性方程组Ac = d其中A =c2c3h206*6y26y36 y1-y y6 yn-16 yn-2h 2-yn+t yn第二种边界条件s ) = y:,s (x)= y:c0 = c2-2hy0c
29、 = c + 2hy解线性方程组Bc = v其中B =c1c26 y + 2hy6y16y2c .n+16yn - 16 y - 2hy第三种边界条件 s(x+)= s (x-),s ”(x +)= s ”(x-):c = c , c = c , c n+2 2 1 n+1 0解线性方程组Pc = u其中P=c2c36y16 y26 y36 yn-16y0则 s( x) = ?2j=05.3.4三弯矩法求三次样条插值函数y Mh)(x -x) + (土-ih )(x-x )i ih 6 ii-1MMy Ms (x) = -hl (x x )3 + -h (x - x 1)3 + (千-iii其
30、中 x, x x,(i = 1,2,., n)=|3,(i = 1,2,., n -1)由定义得到n-1个三弯矩方程：Y片1 + 2m, +aiMi+1其中第一种边界条件:以=,y = 1 一以i h + h i i pAtcyi h + h 1i+1hi+1y -y 、,i-1)hi2M +以 M =Py M 1 + 2M = p其中a =0，P =2y,y =000 n0, p =2 y2 a一0y12a1 -M -MM1=*: 1y 2 ay 2 1Mn-1L Mnp 1&n第二种边界条件：以0=1，p0 = h6( y1 h yo 一yp形式与第一种边界条件相同，其中-1 _y = 1
31、，p =(y - y ” 7 七 t)n n h n h第三种边界条件：a M +y M + 2M =pM o=m n n n ny = 1 -aha =1，其中n h + hp =工(工4 -匕-yn h1 + hnh1一 2Y2以12.a2.Y1 1-M -M2.=41 p2. 以Yn-12Y以n-12Mn-1L Mp&nnnn5.5正交多项式5.5.1正交多项式概念与性质幂函数系xk (k = 0,1,.)在任何区间上线性无关，可采用Gram-Schmidt正交化方法由幂函数系产生在指定区间a,b上带权函数P (x)的正交多项式系抑k (x)(k = 0,1,.)，其中甲k(x)是最高次
32、项系数为1的k次多项式。方法如下:)三1t (xk+1,甲)平(x) = xk+1-EV甲(x)(k = 0,1,.)k+1. | (甲，甲)j=1 j j5.5.2几种常见的正交多项式1、Legendre 多项式dnL (x) = 1Ln(x)=我.dn (x2 - 1)n(n = 1,2,.)性质1 L (x)是区间-1,1上的正交多项式系 nj1 L (x) L (x)dx = 1时,n为偶数时L (x)为偶函数。有L 3)=2xL (x)-L (x) +1 n +1 n n +1 n-1L (x) = 1L (x) = x2、Chebyshev 多项式T (x) = cos(n arc
33、cos x),-1 x 1时，T( x)的最高次项系数为a”= 2n-1性质2 T (x)是区间-1,1上带权.的正交多项式系n1 - X 2j 1 T(xTx dx=1 -1 V1x 2兀A,m = n 02兀，m = n = 0曾三1性质3满足递推关系T (x) = x1T (x) = 2xT (x) -T (x)(n = 1,2,.) n+1nn-1性质4当n 1时，T (x)在开区间(-1,1)内有n个互异实零点，它们是 nx = g2(n 2：)+ 1 (i = .)性质5当n为奇数时TQ)是奇函数，当n为偶数时T(x)为偶函数。3、Laguerre 多项式Un (x)=exne-x
34、) (n = 0,1,.) dxn性质1 U (x)是x的n次多项式，并且最高次项系数为a = (-1)n nn性质2 U (x)是在区间0,8)上带权e-x的正交多项式系 n.0, m 丰 nMe-xU (x)U (x)dx = j( !)U。三1性质3 Un (x)满足递推关系匕3) = -x +1U(x) = (2n +1 - x)U (x) - n2U (x)(n = 1,2,.)n+1nn-14、Hermite多项式H (x) = (-1 * (n = 0,1,.)性质1 H (x)是x的n次多项式，并且它的最高次项系数为a = 2n nn性质2 H (x)是在区间(-8,+ 8)上
35、带权e-x2的正交多项式系 n10, m nte-x2Hm Hn (x)dx =2nn L-, m = n一、I三1性质3 HJx)满足递推关系 Hx) 2XnI H (x) 2xH (x) - 2nH (x)(n 1,2,.)n+1nn-15.6函数的最佳平方逼近5.6.1最佳平方逼近的概念与解法定理5.7设f (x) g Ca,b，p*(x) e H”是子空间丑中对于f (x)的最佳平方逼近元素的 充分必要条件是(f P*,中.)=0, j (0,1,.,n)或对任一个P(x) e Hn，总有(f - P*, P) 0*除 Legendre、Chebyshev(最经济展开)，还可以用1,c
36、osx,sin x,.,cos nx,sin nx，它是区间0,2兀上的正交函数系。5.6.3样条函数在最佳平方逼近中的应用可以选用空间D的k次B样条函数组，但是由于这一函数组不是正交函数系，所以使用k，兀过程稍有不同，但仍然遵循定理57。5.6.4曲线拟合与曲面拟合(最小二乘)1、曲线拟合定理5.11设函数组加.(x)( j 0,1,., n)在点集七(i 0,1,., m)(n m)上线性无关，则 c* e Rn+1实现最小二乘法求拟合曲线的充分必要条件是AMc* -加y。. (R(x,R(气),.,R(x )T(j = 0,1,.,n)A -七中.,气y = (y , y，y )T 01
37、 mc* (c*, c*,., C*)T拟合函数为y*(x) = c叩(x)，拟合精度用误差平方和描述，即b =Y y*( x ) - y 2。j ji ij=1i=02、曲面拟合设在三维直角坐标系 Oxyu 中给定(m+1)*(n+1)个点(x., y, u )(i = 0,1,., m; j = 0,1,., n)乘积型基函数平(x)W (y)(r = 0,1,.,M;s = 0,1,.,N) r sB =虬(xi)( 5(M +1)ij (m+1)x(n+1)G = K ( A n+1)、( N+1)C = ( BtB )-1 BtUG (GtG )-1拟合函数为P*(x, y)=艺尤。*甲(x )w (y )，拟合精度为b =彦m p*(x, y ) u 2。 rs r i s ji j ijj=0 i=0s=0 r=06.2插值型求积公式jb f (x)dx E 人(n) f (x )k kak =0其中人(n) =j bl (x)dx(k = 0,1,.,n) ka kR =j人虫些2出(尤_尤gn a S +1)!jj=0其中& g (a,b)定理6.1 n+1个节点的插值型求积公式至少具有n次代数精度。推论 对于n+1个节点的插值型求积公式的求积系数，必满
