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1、二阶常微分方程的数值求解,一.教学要求,掌握利用降阶把二阶常微分方程转化为一阶微分方程组，再利用Euler方法数值求解,并能利用MATLAB软件进行数值计算和符号运算。,二.教学过程,考虑如下的二阶微分方程初值问题,利用Euler方法求解上述方程组可得如下数值格式,利用四阶R-K方法求解上述方程组可得如下数值格式,例1：用 Euler 法求解如下初值问题,当 h=0.1，即 n=20 时，Matlab 源程序见 Euler_sys1.m,解：,clc;clear;h=0.1;a=0;b=2;x=a:h:b;y(1)=1;z(1)=-1;for i=1:length(x)-1 y(i+1)=y(
2、i)+h*z(i);z(i+1)=z(i)+h*y(i);endplot(x,y,r+,x,exp(-x),k-);xlabel(Variable x);ylabel(Variable y);,Euler_sys1.m,数值解与真解如下图,例2：利用4阶R-K方法求解例1，并与Euler方法进行比较。,解 当 h=0.1，即 n=20 时，R-K方法的Matlab 源程序见 RK_sys1.m，数值结果见下图,function w=rightf_sys1(x,y,z)w=y;,clc;clear;h=0.1;a=0;b=2;x=a:h:b;Euler_y(1)=1;Euler_z(1)=-1;
3、%初值RK_y(1)=1;RK_z(1)=-1;%初值for i=1:length(x)-1%*Euler Method*%Euler_y(i+1)=Euler_y(i)+h*Euler_z(i);Euler_z(i+1)=Euler_z(i)+h*Euler_y(i);%*R-K4 Method*%K1=RK_z(i);L1=rightf_sys1(x(i),RK_y(i),RK_z(i);%K1 and L1 K2=RK_z(i)+0.5*h*L1;,rightf_sys1.m,RK_sys1.m,L2=rightf_sys1(x(i)+0.5*h,RK_y(i)+0.5*h*K1,RK_
4、z(i)+0.5*h*L1);%K2 and L2 K3=RK_z(i)+0.5*h*L2;L3=rightf_sys1(x(i)+0.5*h,RK_y(i)+0.5*h*K2,RK_z(i)+0.5*h*L2);%K3 and L3 K4=RK_z(i)+h*L3;L4=rightf_sys1(x(i)+h,RK_y(i)+h*K3,RK_z(i)+h*L3);%K4 and L4 RK_y(i+1)=RK_y(i)+1/6*h*(K1+2*K2+2*K3+K4);RK_z(i+1)=RK_z(i)+1/6*h*(L1+2*L2+2*L3+L4);endplot(x,Euler_y,r+,x
5、,exp(-x),k-,x,RK_y,b*);xlabel(Variable x);ylabel(Variable y);,例3：分别用 Euler 法和R-K4求解如下初值问题,解：,当 h=0.1，即 n=20 时，Matlab 源程序见 RK_sys2.m,数值结果如下图,function w=rightf_sys2(x,y,z)w=-y+2*exp(-x)*(x-1);,clc;clear;h=0.1;a=0;b=2;x=a:h:b;Euler_y(1)=1;Euler_z(1)=1;RK_y(1)=1;RK_z(1)=1;for i=1:length(x)-1%*Euler Meth
6、od*%Euler_y(i+1)=Euler_y(i)+h*Euler_z(i);Euler_z(i+1)=Euler_z(i)+h*rightf_sys2(x(i),Euler_y(i),Euler_z(i);%*R-K4 Method*%K1=RK_z(i);L1=rightf_sys2(x(i),RK_y(i),RK_z(i);%K1 and L1,rightf_sys1.m,RK_sys2.m,K2=RK_z(i)+0.5*h*L1;L2=rightf_sys2(x(i)+0.5*h,RK_y(i)+0.5*h*K1,RK_z(i)+0.5*h*L1);%K2 and L2 K3=RK
7、_z(i)+0.5*h*L2;L3=rightf_sys2(x(i)+0.5*h,RK_y(i)+0.5*h*K2,RK_z(i)+0.5*h*L2);%K3 and L3 K4=RK_z(i)+h*L3;L4=rightf_sys2(x(i)+h,RK_y(i)+h*K3,RK_z(i)+h*L3);%K4 and L4 RK_y(i+1)=RK_y(i)+1/6*h*(K1+2*K2+2*K3+K4);RK_z(i+1)=RK_z(i)+1/6*h*(L1+2*L2+2*L3+L4);endplot(x,Euler_y,r+,x,cos(x)+x.*exp(-x),k-,x,RK_y,b*
8、);xlabel(Variable x);ylabel(Variable y);,dsolve 的调用格式,y=dsolve(eq1,eq2,.,cond1,cond2,.,v),其中 y 为输出，eq1、eq2、.为微分方程，cond1、cond2、.为初值条件，v 为自变量，如果不指定v作为自变量，则默认t为自变量。,例 4：求微分方程 的通解，并验证。,y=dsolve(Dy+2*x*y=x*exp(-x2),x),syms x;diff(y)+2*x*y-x*exp(-x2),利用dsolve 函数求微分方程解析解,几点说明,如果省略初值条件，则表示求通解；,如果省略自变量，则默认自变
9、量为 t,dsolve(Dy=2*x,x);dy/dx=2xdsolve(Dy=2*x);dy/dt=2x,若找不到解析解，则返回其积分形式。,微分方程中用 D 表示对 自变量 的导数，如：,Dy y；D2y y；D3y y,例 5：求微分方程 在初值条件 下的特解，并画出解函数的图形。,y=dsolve(x*Dy+y-exp(x)=0,y(1)=2*exp(1),x)ezplot(y);,例 6,在Matlab中的命令窗口中输入下面的命令 syms x y S=dsolve(D2y=cos(2*x)-y,y(0)=1,Dy(0)=0,x),则可以得到如下的结果S=4/3*cos(x)-1/3*cos(2*x),注意：只有很少一部分微分方程（组）能求出解析解。大部分微分方程（组）只能利用数值方法求数值解。,作业,利用Euler方法和R-K方法求解一个二阶常微分初值问题，并比较数值结果，计算数值解和解析解的误差。利用dsolve函数求解一些微分方程的通解,
