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1、地下水水文学,主讲：杜发兴 教授,Groundwater Hydrology,电话：13886728457,第5讲,第二章 地下水运动,2.2 包气带水运动的基本方程,2.2 包气带水运动的基本方程,水分特征曲线包气带水的基质势或吸力是其含水率的函数，基质势m或吸力S与含水率关系的曲线即称为水分特征曲线(图2-14)。包气带土壤水分特征曲线须由实验室测出，不同土壤质地的水分特征曲线不同(图2-14a)，即使是同一土壤由于结构不同、干容重不等，其水分特征曲线也不相同(图2-14b)。,许多实验表明，对于同一个土样，即使在其它外界条件不变的情况下，土壤在由湿变干的脱湿过程，以及由干变湿的吸湿过程所
2、测得的水分特征曲线是不相同的，产生所谓的滞后现象(图2-15)水分特征曲线斜率的倒数(或负倒数)称为(比)容水率，即,或,容水率或比容水率表示单位基质势(或吸力)的变化引起的含水量变化值，它随土壤含水率或包气带水基质势m(或吸力S)而变化，可记为C()、C(m)或C(S)。,2.2 包气带水运动的基本方程,包气带水渗流的基本定律包气带流动的达西定律1931年，理查德(LARichards)最早提出，可以将达西定律引伸应用于包气带水的运动。不过，这时的渗透系数K不再是一个常值，而是一个与包气带含水率 有关的函数值，记为K=K()。因此，包气带水运动的达西定律可表示为,式中 V包气带水运动的断面平
3、均渗透速度；K()与包气带含水率有关的包气带渗透系数，也称导水率；l包气带水的渗透距离；()与包气带含水率有关的包气带水的土壤水势，=z+m；()则指相距l的两处包气带水的土壤水势差，而 则为其土壤水势梯度。,在笛卡尔坐标系中，包气带水的达西公式沿三个垂直方向的表达式记为,2.2 包气带水运动的基本方程,包气带的渗透系数因包气带水的渗透系数K是包气带含水率的函数，而包气带基质势m也是含水率的函数。因此，包气带的渗透系取K也基质势的函数，即K=K(m)。,实验证明，包气带的渗透系数随含水率的减小而降低，其原因为：随着含水率的减小，包气带孔隙的实际过水面积将减少，因此在单位时间内通过包气带。单位断
4、面积的水量相应减小在包气带含水率减小的过程，较大孔隙中的水分率先排出，余下的水分必将在较小的土壤空隙中流动，其所受的阻力相应增大；随着水分愈趋于在小孔隙中流动，其流程必然更加弯曲，从而使实际流速相应降低。非饱和状态的包气带渗透系数K()恒低于饱和状态的饱水带渗透系数K，两者的比值称之为相对渗透率Kr。其与土壤含水率的关系曲线，如图2-16,2.2 包气带水运动的基本方程,包气带水运动的基本微分方程,边长为x、y、z；时段 tP点:渗透速度=V(Vx,Vy,Vz)，水的密度=,x方向两侧面的流速分别为：,左侧面：,右侧面：,y方向两侧面的流速分别为：,后侧面：,前侧面：,z方向两侧面的流速分别为
5、：,下侧面：,上侧面：,x方向两侧面的径流量(质量)：,左侧面(流入)为：,右侧面(流出)为：,x方向质量差：,流入量-流出量=,y方向质量差：,流入量-流出量=,z方向质量差：,流入量-流出量=,2.2 包气带水运动的基本方程,设t时刻微元体的含水率为，t时间段内的含水率变化为,则 t时间段内的水量变化为:,根据质量守恒原理，有,化简得：,将包气带水运动的达西公式(即下面三式)代入上式，,可得：,将=z+m代入上式，得,上式为均质各向异性包气带介质中包气带水运动的基本微分方程式，也称为理查德(Richards)方程,2.2 包气带水运动的基本方程,2.2 包气带水运动的基本方程,各种形式的R
6、ichards方程以基质势m为变量的基本方程,包气带渗透系数K和容水率C均可表示为含水率的函数K()和C()，也可表示为基质势m的函数K(m)和C(m)。由此，可将Richards方程的左端改写为,将Richards方程中的K()用K(m)代换，得,将Richards方程中的m 用毛管负压水头hm代换(m=hm)，得,2.2 包气带水运动的基本方程,以含水率为因变量的方程,取包气带渗透系数K()和容水率C()的比值，定义为包气带的扩散系数D()，即,扩散系数D()的量纲为L2T-1，它也是含水率、基质势m或吸力S的函数。先将Richards方程写成以下形式，,由扩散系数D()的定义，可得,对于
7、二维和一维只要在上述方程中降维即可。,对于一维垂向流动可写为,对于一维水平流动可写为,包气带水运动方程的应用,包气带水运动方程的应用,包气带水运动方程的应用,包气带水运动方程的应用,包气带水运动方程的应用,包气带水运动方程的应用,包气带水运动方程的应用,包气带水运动方程的应用,2.3 地下水稳定流运动,裘布依公式 地下水流向井内的平面流稳定运动公式。这个公式是法国水力学家裘布依（Jules Dupuit，18041866)在达西定律的基础上导出的。裘布依推导公式时的假定条件是：含水层是均质、各向同性、等厚、水平的；地下水为层流，符合达西定律，地下水运动处于稳定状态；静水位是水平的，抽水井具有圆
8、柱形定水头补给边界；对于承压水，顶底板是完全隔水的，对于潜水，井边水力坡度不大于1/4，底板完全隔水,2.3 地下水稳定流运动,均质岩层中地下水的稳定流运动底板水平的潜水运动,假设潜水流动近似水平(如下图所示)，,对上式积分,或,(2-49),(2-50),根据达西公式，在x处的单宽流量q为,(2-51),如果已知渗透系数K及h1、h2、l，则可由(2-50)计算出单宽流量q。,(2-48),或,如果(2-48)式的积分上限为x和h，即,则得,由于为稳定流，则各断面的单宽流量q相等，有,整理得,或,(2-53),由(2-53)式，取不同的x值，可算出对应的h值，从而获得潜水位线(或浸润曲线)，
9、它是一条抛物线。,2.3 地下水稳定流运动,等厚含水层承压水稳定流运动,隔水底板水平、等厚的均质承压含水层，如图2-18所示，其单宽流量为,图2-18 承压水稳定流模型,K,对上式积分,同样，对任一断面x，有,根据稳定流定义，可得承压水头线方程,它是一条直线,(2-55),(2-54),(2-58),2.3 地下水稳定流运动,非均质岩层中地下水的稳定流运动水平层状含水层中的渗流,对于层状承压含水层(图2-19)，各层有共同的承压水位，在整个断面上的单宽流量是各层单宽流量之和，即,2.3 地下水稳定流运动,图2-19 水平层状含水层中的渗流模型,式中，,对于二元结构的含水层(双层含水层)，上层为
10、潜水运动，下层可看作是承压水运动，则单宽流量q为,2.3 地下水稳定流运动,图2-20 二元结构含水层中的渗流模型,垂直层状含水层中的渗流,根据潜水运动单宽流量计算，,因为稳定流，,由上两式得,从而可得,对于n层结构的含水层，不难导出,2.3 地下水稳定流运动,图2-21 垂直层状含水层中的渗流模型,称为等效渗透系数,式中，,渗透性变化复杂含水层中的渗流,根据潜水运动单宽流量公式，,在这种情况下，K和h都在变化，不仿用一个函数f(H)表示Kh，则上式可写为,如前，对上式积分,根据中值定理，得,式中f(Hm)为Kh的中值，采用算术平均值，即,代入上式后，得,2.3 地下水稳定流运动,图2-22
11、复杂含水层中的渗流模型,2.4 河渠附近地下水非稳定流运动,2.5 河渠附近地下水非稳定流运动,设有渠道过水，水位瞬时上升H，由此引起附近地下水位上升，如图226所示。假设垂直入渗或潜水蒸发0，并且考虑在一维流条件下，则由布氏方程,化简为,在给定具体的河渠水位上升条件下，可对上式进行求解,图2-26河渠水位上升时的地下水流动,式中，,H0,S=h-H0,河渠水位迅速上升时的非稳定流计算求河渠附近地下水位上升高度,假设在河渠沟水位上升前，地下水位与河渠沟水位处于同一水平状态(图238)，则上式可改写为,图2-38 河渠水位上升时的地下水流动,式中 S地下水位上升值或下降值(下降时取负值),初始条
12、件(I.C.)和边界条件(B.C.)为,(I.C.),(B.C.),H0,S=h-H0,采用拉普拉斯变换求得,式中 河渠沟补给地下水位的影响系数，它是时间t和距离x的函数，即,在已知含水层的压力传导系数a，并且给定距离x和时间t，可根据上式先算出Z，由Z值查表25得，将 代入式(2104)即可求出S值来。表25是根据误差函数事先算出的。,(2-104),(2-105),(2-106),求河渠附近地下水单宽流量q,有了上述公式可以求出任意时刻t，通过距离河渠x处的单宽断面的地下水流量q(x，t)，根据达西定律经变换有,(2-107),将(2-108)代入(2-107)，得,(2-108),(2-
13、109),分子分母同乘以，而，把z值代入，整理得,在x0处的地下水单宽流量(即在时刻t时河渠补给一侧地下水的流量)q0为,(2-110),(2-110),所以q(0,t)与q(x,t)的关系为,求河渠补给地下水一侧的单宽总水量,从0时刻开始到t时间内，通过河渠沟附近任一断面x处的单宽总水量为,或,式中,G(Z)函数值见表2-6,从开始到t时间，在河长取单宽条件下，从河渠的一侧，补给地下水的总量为,(2-111),(2-111),(2-112),(2-113),河渠水位等速上升时非稳定流计算,在河渠沟水位上涨速度V0是一常数的条件下，在t时间内，上升的高度H=V0t，在这种情况下，同样可以求解地
14、下水位上升值、地下水流量等。,地下水非稳定流的基本方程仍为,(一)求河渠附近地下水位上升高度,初始条件和边界条件为,求得解为,(2-114),M(Z)为一特殊函数，可自表27中查得，式(2114)表示河渠沟附近地下水位上升 高度S(x,t)等于河渠水位上升高度V0t乘以河渠沟对地下水位的影响系数。,(二)求河渠沟附近地下水的渗透速度与单宽流量,在t时刻，距河渠沟岸x断面处的地下水渗透速度,(2-115),距岸x处的地下水单宽流量为,在x0处，河渠沟补给地下水的单宽流量为,(2-118),(三)求河渠沟补给一侧地下水的单宽总水量,从开始到时间t，通过河渠沟附近x处断面的单宽总水量为,可自表2-8中查得,在t时间内，在x=0处，河渠沟补给地下水的单宽总水量为,(2-121),第5讲结束,图2-14,图2-15 土壤水分特征曲线的滞后现象,S,图2-16 非饱和砂的相对渗透率Kr与土壤含水率、饱和度Sw的关系,Z,
